4-1 PESQUISA OPERACIONAL MÉTODO SIMPLEX
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- Maria dos Santos Leveck da Rocha
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1 4-1 PESQUISA OPERACIONAL MÉTODO SIMPLEX
2 4-2 MÉTODO SIMPLEX Dado o problema: x I = (A I )-1 *b - (A I )-1 *A J * x J Se x J = 0 então x I = (A I )-1 *b Vamos dividir as variáveis em: I = conjunto das variáveis básicas J = conjunto das variáveis não básicas Então: max f = c I *x I + c J *x J s/a A I *x I + A J *x J = b x I, x J >= 0 max f = c*x s/a A*x = b x >= 0 Solução Básica: x I = (A I )-1 *b x J = 0 Solução Básica Factível x I = (A I )-1 *b x I >= 0 x J = 0 Solução Degenerada: Se algum x I = 0
3 MÉTODO SIMPLEX 4-3 Início Dada uma solução básica factível De vértice em vértice até a solução ótima Iteração Solução ótima? Fim Encontrar uma solução básica factível melhor
4 Problema dos Sapatos e Botinas Uma indústria quer planejar a sua produção. Os produtos que essa indústria fabrica, os recursos necessários e o lucro unitário são fornecidos abaixo. Qual o plano de produção ótimo? matéria prima produto 1 : sapato produto 2 : botina disponibilidade couro borracha cola lucro unitário 1 1
5 Resolução Gráfica max f = x1 + x2 s/a 2*x1 + x2 <= 8 x1 +2*x2 <= 7 x2 <= 3 x1, x2 >= 0 Solução x1 = 3, x2 = 2, f = 5 Sapatos e Botinas Ponto C x2 E Solução Única Região Factível = Polígono ABCDE Soluções Básicas Factíveis = A, B, C, D, E Gradiente da função-objetivo = (1, 1) D C Solução ótima f = 5 Variáveis Básicas: x1 = 3, x2 = 2, x5 = 1 Variáveis Não Básicas: x3 = 0, x4 = 0 E se f = x1 + 2*x2? A B x1 F Solução Múltipla f = 7 Aresta CD f= 7 2*x1 + x2 + x3 = 8 x1 + 2*x2 + x4 = 7 x2 + x5 = 3
6 Pontos Extremos ANÁLISE Ponto A Variáveis Variáveis Ponto B Variáveis Variáveis Ponto C Variáveis Variáveis Não Básicas Básicas Não Básicas Básicas Não Básicas Básicas x1 = 0 x3 = 8 x2 = 0 x1 = 4 x3 = 0 x1 = 3 x2 = 0 f = 0 x4 = 7 x5 = 3 x3 = 0 f = 4 x4 = 3 x5 = 3 x4 = 0 f = 5 x2 = 2 x5 = 1 Ponto D Variáveis Variáveis Ponto E Variáveis Variáveis Ponto F Variáveis Não Básicas Básicas Não Básicas Básicas x4 = 0 x1 = 1 x1 = 0 x2 = 3 x5 = 0 f = 4 x2 = 3 x3 = 3 x5 = 0 f = 3 x3 = 5 x4 = 1 f = 7 Solução Básica Factível Ótima 2*x1 + x2 + x3 = 8 x1 + 2*x2 + x4 = 7 x2 + x5 = 3 Variáveis Não Básicas Básicas x2 = 0 x1 = 7 x4 = 0 x3 = -6 x5 = 3 Solução Básica infactível
7 SIMPLEX 4-7 Sapatos e Botinas max f = x1 + x2 2*x1 + x2 + x3 = 8 x1 + 2*x2 + x4 = 7 x2 + x5 = 3 1 1ª Iteração Base 1 = {3, 4, 5} Solução: x1 = 0 x3 = 8 f= 0 x2 = 0 x4 = 7 x5 = 3 Candidatas a entrar na base = x1, x2 Escolhida: x2 (então x1 = 0) Até que valor x2 pode crescer? x3 = 8-2*x1 - x2 >= 0 x2 <= 8 x4 = 7 - x1-2*x2 >= 0 x2 <= 3.5 x5 = 3 - x2 >=0 x2 <= 3 Então: x2 <= 3 (linha de bloqueio) Conclusão: x2 entra na base x5 sai da base Pivô x1 x2 x3 x4 x f x x x f-3 x x x E A
8 SIMPLEX 4-8 Sapatos e Botinas max f-3 = x1 - x5 2*x1 + x3 - x5 = 5 x1 + x4-2x5 = 1 x2 + x5 = 3 1 2ª Iteração Base 2 = {3, 4, 2} Solução: x1 = 0 x2 = 3 f= 3 x5 = 0 x3 = 5 x4 = 1 Candidatas a entrar na base = x1, x5 Escolhida: x1 (então x5 = 0) Até que valor x1 pode crescer? x3 = 5-2*x1 + x5 >= 0 x1 <= 2.5 x4 = 1 - x1 + 2*x5 >= 0 x1 <= 1 x2 = 3 - x5 x2 = 3 Então: x1 <= 1 (linha de bloqueio) Conclusão: x1 entra na base x4 sai da base Pivô x1 x2 x3 x4 x f-3 x x x f-4 x x x E D A
9 SIMPLEX 4-9 Sapatos e Botinas max f-4 = - x4 + x5 + x3-2*x4 + 3*x5 = 3 x1 + x4-2x5 = 1 x2 + x5 = 3 1 3ª Iteração Base 3 = {3, 1, 2} Solução: x4 = 0 x1 = 1 f= 4 x5 = 0 x2 = 3 x3 = 3 Candidatas a entrar na base = x5 Escolhida: x5 (então x4 = 0) Até que valor x5 pode crescer? x3 = 3 + 2*x4-3*x5 >= 0 x5 <= 1 x1 = 1 x4 + 2*x5 >= 0 x5 >= -0.5 x2 = 3 - x5 x5 <= 3 Então: x5 <= 1 (linha de bloqueio) Conclusão: x5 entra na base x3 sai da base Pivô x1 x2 x3 x4 x f-4 x x x /3-1/3 0 f-5 x /3-2/3 1 1 x /3-1/3 0 3 x /3 2/3 0 2 Todos c<=0 Solução ótima E D A C
10 SIMPLEX 4-10 Quadro Resumo Sapatos e Botinas Pivô Entrou x2 Saiu x5 Entrou x1 Saiu x4 Entrou x5 Saiu x3 Todos c<=0 Solução ótima x1 x2 x3 x4 x f x x x f-3 x x x f-4 x x x /3-1/3 0 f-5 x /3-2/3 1 1 x /3-1/3 0 3 x /3 2/3 0 2 Base 1
11 SIMPLEX 4-11 SOLUÇÃO DEGENERADA max f = 5*x1 + 2*x2 s/a x1 <= 3 x2 <= 4 4*x1 + 3*x2 <= 12 x1, x2 >= 0 x1 x2 x3 x4 x f x x x f-15 x x x /3 0-2/3 f-15 x x /3 1-1/3 4 x /3 0 1/3 0 Variável na Base com valor 0 2
12 SIMPLEX 4-12 max f = x1 + 2*x2 s/a x1 <= 3 x2 <= 4 x1 + 2*x2 <= 9 x1, x2 >= 0 SOLUÇÃO MÚLTIPLA Variável não básica com custo 0 x1 x2 x3 x4 x f x x x f-8 x x x f-9 x x x f-9 x /2 1-1/2 1 x /2 0 1/2 3 x Toda a aresta é solução ótima
13 SIMPLEX 4-13 max f = 3*x1 + x2 s/a x1-6*x2 <= 6-4*x1 + x2 <= 4 x1, x2 >= 0 SOLUÇÃO ILIMITADA Tem variável para entrar na Base, mas não tem variável para sair da Base x1 x2 x3 x f x x f-18 x x
14 SIMPLEX 4-14 SOLUÇÃO INFACTíVEL x1 x2 x3 x f x x max f = x1 + x2 s/a -3*x1 + 2*x2 >= 6 x1-5*x2 >= 5 x1, x2 >= 0 ver exercício 4 adiante 10 Não há Base inicial factível para iniciar o SIMPLEX Não tem região factível FASE 1 FASE 2 identifica PROBLEMA INFACTÍVEL a seguir 10
15 6 FASE 1 FASE max f = -x1 + 2*x2 s/a x1 + x2 >= 2 -x1 + x2 >= 1 x2 <= 3 x1, x2 >= 0 Se f=0 Se f>0 Forma Padrão Problema Factível Problema Infactível max f = -x1 + 2*x2 s/a x1 + x2 - x3 = 2 -x1 + x2 - x4 = 1 x2 + x5 = 3 x1, x2, x3, x4, x5 >= 0 Variáveis artificiais max f = -x1 + 2*x2 s/a x1 + x2 - x3 + x6 = 2 -x1 + x2 - x4 + x7 = 1 x2 + x5 = 3 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 >= 0 Fase 1 min f = x6 + x7 Fase 2 max f = -x1 + 2*x2 Se f=0
16 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x FASE 1 Arrumar a Base f min f = x6 + x7 s/a x1 + x2 >= 2 -x1 + x2 >= 1 x2 <= 3 x1, x2 >= 0 Região Factível f-3 x x x f-1 x x x f x /2 1/2 0 1/2-1/2 1/2 x /2-1/2 0 1/2 1/2 3/2 x /2 1/2 1-1/2-1/2 3/2 Base Factível
17 4-17 FASE 2 max f = -x1 + 2*x2 s/a x1 + x2 >= 2 -x1 + x2 >= 1 x2 <= 3 x1, x2 >= 0 Solução ótima Arrumar a Base x1 x2 x3 x4 x f 1 0-1/2 1/2 0 1/ /2-1/2 0 3/ /2 1/2 1 3/ /2 1/2 0 f+1/ /2 1/2 0 1/ /2-1/2 0 3/ /2 1/2 1 3/ /2 3/2 0 f-5/2 x /2 1/2 0 1/2 x /2-1/2 0 3/2 x /2 1/2 1 3/ f-4 x x x f-6 x x x
18 4-18 Exercício 1 Método Simplex max f = 2*x1 + 3*x2 s/a -6*x1 + x2 <= 3-2*x1 + x2 <= 13 2*x1-3*x2 <= 13 x1, x2 >= 0 x1 x2 x3 x4 x f x x x f - 13 x x x1 1-3/ /2 13/2 7 Solução ilimitada
19 4-19 Exercício 2 Método Simplex max f = 2*x1 + 3*x2 s/a -6*x1 + x2 <= 3-2*x1 + x2 <= 13 2*x1-3*x2 <= 13 x1 + 3*x2 <= 74 x1, x2 >= 0 x1 x2 x3 x4 x5 x f x x x x f-13 x x x1 1-3/ /2 0 13/2 x6 0 9/ / / /3-4/3 f-103 x /9 16/9 162 x /9 4/9 56 x /3 1/3 29 x /9 2/ Solução única
20 4-20 Exercício 3 Método Simplex Arrumar a Base min f = 9*x1 + 6*x2 + 12*x3 s/a x1 + 2*x2 + x3 >= 4 2*x1 + x2 + x3 >= 5 2*x1 + 3*x2 + 2*x3 >= 6 xi >= 0 Fase 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x Ø Ø-15 x x x Ø-3 x2 1/2 1 1/2-1/ / x8 3/2 0 1/2 1/ / x9 1/2 0 1/2 3/ / Ø-3 x x x Ø-0 x /3-2/3 1/3 0 2/3-1/3 0 1 x /3-4/3-1/3 1 4/3 1/3 0 1 x /3 1/3-2/3 0-1/3 2/
21 4-21 Exercício 3 Método Simplex x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x Ø-0 x x x Fase 2 Iteração extra x1 x2 x3 x4 x5 x f Arrumar a Base f-45 x x x f-24 x /3-2/3 1/3 0 1 x /3-4/3-1/3 1 1 x /3 1/3-2/3 0 2 Solução única
22 Exercício 4 Método Simplex Mostrar que o problema abaixo é infactível. max f = x1 + x2 s/a -3*x1 + 2*x2 >= 6 x1-5*x2 >= 5 x1, x2 >= 0 Solução ótima f = 11 x1 x2 x3 x4 x5 x f f-11 x x Não é possível eliminar as variáveis artificiais x5 e x6 Arrumar a Base Problema infactível Fase 1
23 4-23 Exercício 5 Método Simplex a) É possível encontrar uma solução ilimitada na Fase 1 do Método Simplex? Explicar. b) Explicar graficamente a existência de uma solução degenerada. 11 min f = x5 + x onde x5, x6,... >= 0 jamais levará a f = - Mais de 2 retas para definir um ponto c) Indicar as condições para que uma solução factível não básica seja ótima. Solução múltipla
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