Método Simplex Resolução Algébrica. Prof. Ricardo Santos

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1 Método Simplex Resolução Algébrica Prof. Ricardo Santos

2 Método Simplex A função objetivo f(x) pode ser expressa considerando a partição básica: f(x)=c T x= [ ] c T c T x B c T x c T x B N = + x B B N N N c T B : coeficientes das variáveis básicas na função objetivo c T N : coeficientes das variáveis não básicas na função objetivo Como x B =B b B Nx N então: f(x)=c T B(B b B Nx N )+c T Nx N () x B Valor da função objetivo em x*: f(x*)= c T B x* B +ct N x* N = ct B (B b)+c T N ()=ct B B b

3 Método Simplex Definição (vetor multiplicador simplex): O vetor λ de ordem mx, dado por λ T = c T B B é chamado de vetor multiplicador simplex (ou também, vetor de variáveis duais) O vetor multiplicador simplex pode ser obtido pela resolução do sistema de equações lineares λb T = c B, que é obtido ao se tomar a transposta de λ T = c T B B e multiplicar ambos os termos da igualdade por B T Utilizando o vetor multiplicador simplex em () temos que: f(x)=f( ) c T B B Nx N )+c T N x N = f(x*) λt Nx N +c T N x N = f(x*)+ (ct N λt N)x N f(x)=f(x*)+ (c N λ T a N )x N + (c N2 λ T a N2 )x N (c Nn m λ T a Nn m )x Nn m (2)

4 Método Simplex Definição 2(custos relativos): Os coeficientes c* NJ = (c NJ λ T a NJ ) das variáveis não básicas da função objetivo (2) são chamados custos relativos ou custos reduzidos f(x)=f(x*)+ c* N x N + c* N2 x N c* Nn m x Nn m (3) Propriedade (condição de otimalidade): Condição uma partição básica A=[B N] em que a solução básica associada x* B =B b>= (solução básica factível), e seja λ T o vetor multiplicador simplex. Se c NJ λ T a NJ >= (todos os custos relativos são nãonegativos), então a solução básica é ótima.

5 Método Simplex Definição 3(estratégia simplex): Chamamos de estratégia simplex a perturbação de uma solução básica factível que consiste em alterar as variáveis não básicas por: x Nk =ε >=, (variável com custo relativo negativo) x Nj =, j=,2,,,,.n m, j k Ou seja, apenas uma variável não básica, x Nk, deixa de ser nula. Com isso, a função objetivo (3) passa a ser: f(x)=f(x*)+ c* N +...+c* Nk x Nk +...+c* Nn m f(x)= f(x*)+c* Nk ε<f(x*) Observe que a função objetivo decresce quando ε cresce Isso justifica a escolha da variável não básica a ser perturbada com o menor custo relativo

6 Método Simplex Definição 4(direção simplex): Chamamos de direção simplex o vetor y=b a Nk, o qual fornece os coeficientes de como as variáveis básicas são alteradas pela estratégia simplex. A direção simplex é solução do sistema de equações lineares By=a Nk Observe que as variáveis básicas podem ser escritas como: x B =B b B Nx N =x* B B a Nk ε=x* B yε, onde y=b a Nk (4) Reescrevendo a equação vetorial (4) em cada uma de suas coordenadas e considerando a não negatividade das variáveis básicas Assim, x Bi =x* Bi y i ε>=, i=,...,m Se y i <=, então x Bi >=, para todo ε>= Se y i >, como x Bi =x* Bi y i ε>=, então ε=x* Bi /y i

7 Método Simplex Logo, o maior valor para ε é dado por ε*=x* Bl /y l =minimo(x* Bi /y i tal que yi>)

8 Fase I: Determine inicialmente a partição básica factível A=[B N]. A rigor, precisamos de dois vetores de índices básicos e não básicos: (B, B 2,..., B m ) e (N, N 2,..., N n m ) Os vetores das variáveis básicas e não básicas são, respectivamente: x T B =(x B, x B2,..., x Bm ) e xt N = (x N, x N2,..., x Nn m ) Faça iteração= Fase II: {início da iteração simplex} Passo : {cálculo da solução básica} x* B =B b //ou, equivalentemente, resolve o sistema Bx B =b x* N = Passo 2: {cálculo dos custos relativos} 2.) {vetor multiplicador simplex} λ T = c T B B 2.2) {custos relativos} c* NJ =c NJ λ T a NJ j=,2,..., n m 2.3) {determinação da variável a entrar na base} c* Nk =minimo(c* NJ, j=,2,..., n m) //a variável x Nk entra na base

9 Fase II: {continuação} Passo 3: {teste da otimalidade} Se c* Nk >=, então: pare //solução na iteração atual é ótima Passo 4: {cálculo da direção simplex} y=b a Nk Passo 5: {determinação do passo e variável a sair da base} Se y<=, então: pare //problema não tem solução ótima finita. f(x) > Caso contrário, determine a variável a sair da base pela razão mínima ε*=x* Bl /y l =minimo(x* Bi /y i tal que y i >) //a variável x Bl sai da base Passo 6: {atualização: nova partição básica, troque a l ésima coluna de B pela k ésima coluna de N} Matriz básica nova: B=[a B...a B l a Nk a Bl+... a Bm ] Matriz não básica nova: N=[a N...a Nk a Bl a Nk+... a Nn m ] iteração=iteração+ Retorne ao passo

10 Exemplo: Minimizar f(x,x 2 )= x 2x 2 x +x 2 <=6 x x 2 <=4 x +x 2 <=4 x >=, x 2 >= Após introduzir as variáveis de folga x 3, x 4 e x 5, temos o problema na forma padrão Na Fase I, obtemos uma partição básica factível: (B, B 2, B 3 )=(3, 4, 5), (N, N 2 )=(, 2), Ou seja, B=I. Fazendo (x, x 2 )=(,), temos (trivialmente) os valores das variáveis básicas

11 Fase II: a. Iteração Índices Básicos Não básicos B =3 B 2 =4 B 3 =5 N = N 2 =2 b [B N] [c B c N ] 2 f=

12 Fase II: a. Iteração Passo : {cálculo da solução básica} = x B =(x 3, x 4, x 5 ) Resolver o sistema Bx B =b x B =(6, 4, 4) Avaliação da função objetivo: f(x)=c B x B + c B2 x B2 + c B3 x B3 =*6+*4+*4= Passo 2: {cálculo dos custos relativos} 2.) {vetor multiplicador simplex}:(c B =(c B,c B2,c B3 )=(c 3,c 4,c 5 )=(,, )). Solução do sistema B T λ=c B é λ T =(,,) 2.2) {custos relativos}: (N =, N 2 =2) c =c λ T a = ( ) =, c 2 =c 2 λ T a 2 = 2 ( ) = 2, k=2. (variável x N2 =x 2 entra na base) 2.3) {determinação da variável que entra na base} Como c 2 =c N2 =minimo{c Nj, j=,2}= 2<, então a variável x 2 entra na base

13 Fase II: a. Iteração Passo 3: {teste de otimalidade} Como os custos relativos (c =, c 2 = 2)são negativos, a solução atual não é ótima! Passo 4: {cálculo da direção simplex} Resolver o sistema By=a 2 e obtenha y= O vetor y mostra como as variáveis básicas são alteradas: x B =x B yε As variáveis não básicas (x e x 2 ) se alteram conforme a estratégia simplex: x = e x 2 =ε Passo 5: {determinação do passo e variável a sair da base} ε*=minimo(x B /y, x B3 /y 3 )=minimo(6/, 4/)=4= x B3 /y 3 x B3 =x 5 sai da base

14 Fase II: a. Iteração Passo 6: {atualização: nova partição básica, troque a l ésima coluna de B pela k ésima coluna de N} (B, B 2, B 3 )=(3, 4, 2), (N, N 2 )=(, 5), {novo valor da função objetivo: f(x)=f(x*)+c Nk ε*= 2*4= 8} Nova Tabela: Índices Básicos Não básicos B =3 B 2 =4 B 3 =2 N = N 2 =5 b [B N] [c B c N ] 2 f= 8

15 Fase II: 2 a. Iteração Passo : Solução básica: x B =(x 3, x 4, x 2 ) Resolver sistema Bx B =b e obter x* B = Passo 2: 2.) {vetor multiplicador simplex} (c B =(c B,c B2,c B3 )=(c 3,c 4,c 2 )=(,, 2)). Resolver sistema B T λ=c B é λ T =(,, 2) 2.2) {custos relativos}: (N =, N 2 =5) c =c λ T a = ( 2) = 3, k=, x entra na base c 5 =c 5 λ T a 5 = ( 2) =2, 2.3) {determinação da variável que entra na base} Como c <, solução básica não é ótima e x entra na base 2 8 4

16 Fase II: 2 a. Iteração Passo 3: {teste de otimalidade} Como há custos relativos (c = 3, c 5 =2) negativos, a solução atual não é ótima! Passo 4: {cálculo da direção simplex} Resolver o sistema By=a e obtenha y= O vetor y mostra como as variáveis básicas são alteradas: x B =x B yε As variáveis não básicas (x e x 5 ) se alteram conforme a estratégia simplex: x 5 = e x =ε Passo 5: {determinação do passo e variável a sair da base} Como somente y >, então ε*=minimo(x B /y )=minimo(2/2)= x B =x 3 sai da base 2

17 Fase II: 2 a. Iteração Passo 6: {atualização: nova partição básica, troque a l ésima coluna de B pela k ésima coluna de N} (B, B 2, B 3 )=(, 4, 2), (N, N 2 )=(3, 5), {novo valor da função objetivo: f(x)=f(x*)+c Nk ε*= 8 3*= } Nova Tabela: Índices Básicos Não básicos B = B 2 =4 B 3 =2 N = N 2 =5 b [B N] [c B c N ] 2 f=

18 Fase II: 2 a. Iteração Passo : Solução básica: x B =(x, x 4, x 2 ) Resolver sistema Bx B =b e obter x* B = 8 5 Passo 2: 2.) {vetor multiplicador simplex} (c B =(c B,c B2,c B3 )=(c,c 4,c 2 )=(,, 2)). Resolver sistema B T λ=c B é λ T = ( 3/2,, /2) 2.2) {custos relativos}: (N =3, N 2 =5) c 3 =c 3 λ T a 3 = ( 3/2,, /2) =3/2, c 5 =c 5 λ T a 5 = ( 3/2,, /2) =/2,

19 Fase II: 2 a. Iteração Passo 2: 2.) {vetor multiplicador simplex} (c B =(c B,c B2,c B3 )=(c,c 4,c 2 )=(,, 2)). Resolver sistema B T λ=c B é λ T = ( 3/2,, /2) 2.2) {custos relativos}: (N =3, N 2 =5) c 3 =c 3 λ T a 3 = ( 3/2,, /2) =3/2, c 5 =c 5 λ T a 5 = ( 3/2,, /2) =/2, 2.3) {determinação da variável que entra na base} Como minimo{c Nj, j=,2}=/2>, segue se que a solução atual» x* B = e x* N = ou x=