Método Simplex Resolução Algébrica. Prof. Ricardo Santos

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1 Método Simple Resolução Algébria Prof. Riardo Santos

2 Método Simple Dada uma solução fatível: Essa solução é ótima? Caso não seja ótima omo determinar uma melhor? Considere uma solução básia fatível: em que E a solução geral usando a mesma partição básia tal que ˆ ˆ b b ˆ ˆ ˆ

3 Método Simple A função objetivo f( pode ser epressa onsiderando a partição básia: f( [ ] + ˆ : oefiientes das variáveis básias na função objetivo : oefiientes das variáveis não-básias na função objetivo Como - b- - então: f( (- b- - + ( O primeiro termo de ( orresponde ao valor da função objetivo em ˆ : f ( ˆ ˆ + ˆ ( b + ( b

4 Método Simple Definição (vetor multipliador simple: O vetor λ de ordem m dado por λ - é hamado de vetor multipliador simple (ou também vetor de variáveis duais O vetor multipliador simple pode ser obtido pela resolução do sistema de equações lineares λ que é obtido ao se tomar a transposta de λ - e multipliar ambos os termos da igualdade por λ - λ ( - λ Utilizando o vetor multipliador simple em ( temos que: f ( f ( + f ( ˆ λ + f ( ˆ + ( λ

5 Método Simple Utilizando o vetor multipliador simple em ( temos que: ote ainda que: e obtemos f f f f ( ( ˆ ( ˆ ( ( λ λ ( ( ( m n m n m n m n a a a a a a λ λ λ λ λ ( 2 m n m n m n m n a a a f f ( ( ( ( ˆ ( λ λ λ

6 Método Simple Definição 2(ustos relativos: Os oefiientes ˆ J ( J λ aj das variáveis não-básias da função objetivo (2 são hamados ustos relativos ou ustos reduzidos f ˆ ˆ ˆ ( f ( ˆ (3 n m nm

7 Método Simple Propriedade (ondição de otimalidade: Considere uma partição básia A[ ] em que a solução básia assoiada ˆ - b> (solução básia fatível e seja λ o vetor multipliador simple. Se J -λ a J > j...n-m (todos os ustos relativos são nãonegativos então a solução básia é ótima. Pergunta: Como determinar uma solução básia fatível melhor? Considere uma solução básia fatível e suponha que a ondição de otimalidade seja violada (aso ontrário a solução é ótima isto é suponha que eista k tal que: ˆ λ a < k k k

8 Método Simple Definição 3(estratégia simple: Chamamos de estratégia simple a perturbação de uma solução básia fatível que onsiste em alterar as variáveis não-básias por: k ε > (variável om usto relativo negativo j j2...n-m j k Ou seja apenas uma variável não-básia k deia de ser nula. Com isso a função objetivo (3 passa a ser: f f ( ˆ + ˆ + + ˆ ε + + ˆ ( k nm f ( ˆ + k ε < f ( ˆ Observe que a função objetivo derese quando ε rese Isso justifia a esolha da variável não-básia a ser perturbada om o menor usto relativo

9 Método Simple Definição 4(direção simple: Chamamos de direção simple o vetor y - a k o qual fornee os oefiientes de omo as variáveis básias são alteradas pela estratégia simple. A direção simple é solução do sistema de equações lineares ya k Observe que as variáveis básias podem ser esritas omo: (4 b ˆ a ε ˆ yε k Reesrevendo a equação vetorial (4 em ada uma de suas oordenadas e onsiderando a não-negatividade das variáveis básias ˆ yiε i m i i

10 Método Simple Assim Se y i < então i > para todo ε> Se y i > omo ˆ y i i iε então ε ˆ y i i Logo o maior valor para ε é dado por ˆ ˆ l i ˆ ε mínimo tal que yi yl yi >

11 Algoritmo Simple (algébrio Fase I: Determine iniialmente a partição básia fatível A[ ]. A rigor preisamos de dois vetores de índies básios e nãobásios: ( 2... m e ( 2... n-m Os vetores das variáveis básias e não-básias são respetivamente: ( 2... m e ( 2... n-m Faça iteração Fase II: {iníio da iteração simple} Passo : {álulo da solução básia} ˆ - b //ou equivalentemente resolve o sistema b ˆ

12 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: {iníio da iteração simple} Passo 2: {álulo dos ustos relativos} 2. {vetor multipliador simple} λ {ustos relativos} ˆ λ a j 2 n m 2.3 {determinação da variável a entrar na base} Passo 3: {teste da otimalidade} Se ótima k j k j j mínimo{ j n m}(variável j k entra base então: pare //solução na iteração atual é na

13 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: {ontinuação} Passo 4: {álulo da direção simple} y - a k Passo 5: {determinação do passo e variável a sair da base} Se y< então: pare //problema não tem solução ótima finita. f(-> - Caso ontrário determine a variável a sair da base pela razão mínima ˆ ˆ i ˆ ε l mínimo tal que yi > i m yl y i //a variável l sai da base Passo 6: {atualização: nova partição básia troque a l- ésima oluna de pela k-ésima oluna de } Matriz básia nova: [a...a l- a k a l+... a m ] Matriz não-básia nova: [a...a k - a l a k+... a n-m ] iteraçãoiteração+ Retorne ao passo

14 Algoritmo Simple (algébrio Eemplo: Minimizar f( <6-2 < <4 > 2 > Após introduzir as variáveis de folga 3 4 e 5 temos o problema na forma padrão a Fase I obtemos uma partição básia fatível: ( 2 3 (3 4 5 ( 2 ( 2 Ou seja I. Fazendo ( 2 ( temos (trivialmente os valores das variáveis básias

15 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: a. Iteração Índies ásios ão-básios b [ ] [ ] - -2 f

16 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: a. Iteração Passo : {álulo da solução básia} ( Resolver o sistema b (6 4 4 Avaliação da função objetivo: f( *6+*4+*4

17 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: a. Iteração Passo 2: {álulo dos ustos relativos} 2. {vetor multipliador simple}:( ( 2 3 ( (. Solução do sistema λ é λ ( 2.2 {ustos relativos}: ( 2 2 ĉ - λ a --( - ĉ λ a 2-2-( -2 k2. (variável 2 2 entra na base 2.3 {determinação da variável que entra na base} ĉ 2 ĉ Como 2 ˆ minimo{ j j2}-2< então a variável 2 entra na base

18 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: a. Iteração Passo 3: {teste de otimalidade} Como os ustos relativos ( - 2-2são negativos a solução atual não é ótima! Passo 4: {álulo da direção simple} Resolver o sistema ya 2 e obtenha y O vetor y mostra omo as variáveis básias são alteradas: ˆ -yε As variáveis não-básias ( e 2 se alteram onforme a estratégia simple: e 2 ε Passo 5: {determinação do passo e variável a sair da base} εˆ minimo( /y ˆ ˆ /y 3 minimo(6/ 4/4 3 ˆ 3 /y sai da base

19 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: a. Iteração Passo 6: {atualização: nova partição básia troque a l- ésima oluna de pela k-ésima oluna de } ( 2 3 (3 4 2 ( 2 ( 5 {novo valor da função objetivo: f(f( + -2*4-8} ˆ ĉ k εˆ ova abela: Índies ásios ão-básios b [ ] [ ] -2 - f-8

20 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: 2 a. Iteração Passo : Solução básia: ( Resolver sistema b e obter Passo 2: 2. {vetor multipliador simple} ( ( 2 3 ( ( -2. Resolver sistema λ é λ ( {ustos relativos}: ( 2 5 ĉ - λ a --( -2-3 k entra na base ĉ λ a 5 -( {determinação da variável que entra na base} Como ĉ < solução básia não é ótima e entra na base ˆ 2 8 4

21 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: 2 a. Iteração Passo 3: {teste de otimalidade} Como há ustos relativos ( ĉ-3 ĉ5 não é ótima! Passo 4: {álulo da direção simple} Resolver o sistema ya e obtenha y 2 negativos a solução atual O vetor y mostra omo as variáveis básias são alteradas: ˆ As variáveis não-básias ( e 5 se alteram onforme a estratégia simple: 5 e ε Passo 5: {determinação do passo e variável a sair da base} Como somente y > então εˆ minimo( ˆ /y minimo(2/2 ˆ sai da base 2 -yε

22 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: 2 a. Iteração Passo 6: {atualização: nova partição básia troque a l- ésima oluna de pela k-ésima oluna de } ( 2 3 ( 4 2 ( 2 (3 5 {novo valor da função objetivo: f(f( *-} ova abela: ˆ ĉ k εˆ Índies ásios ão-básios b [ ] [ ] - -2 f-

23 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: 3 a. Iteração Passo : Solução básia: ( 4 2 Resolver sistema b e obter ˆ 8 5 Passo 2: 2. {vetor multipliador simple} ( ( 2 3 ( 4 2 (- -2. Resolver sistema λ é λ (-3/2 -/2 2.2 {ustos relativos}: ( ĉ λ a 3 -(-3/2 -/2 3/2 ĉ λ a 5 - (-3/2 -/2 /2

24 Algoritmo Simple (algébrio Fase II: 3 a. Iteração Passo 2: 2.3 {determinação da variável que entra na base} ĉ j Como minimo{ j2}/2> segue-se que a solução atual ˆ 8 5» e ou ˆ ˆ 5 8 É ótima!