Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Métodos Computacionais Marcelo Nogueira

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Adriana Camelo Sequeira
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1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Métodos Computacionais Marcelo Nogueira

2 Método de Jacobi Método iterativo: produz uma sequencia de soluções,,,, que aproximam a solução do sistema a partir de uma solução aproximada inicial Para tal, o sistema é transformado da forma matricial usual para a forma 1º Passo Dado o sistema, temos que isolar na equação 1, na equação, e assim sucessivamente

3 Sistema original Após transoformações

4 º Passo Escolher a solução inicial (geralmente º Passo Utilizar as equações do 1º Passo para gerar a sequencia de soluções até que o critério de parada seja atingido Ao utilizar as equações, só atualizamos a solução atual ao final de cada passo Critérios de parada Solução estabilizada max Número máximo de iterações N Tolerancia (nº pequeno)

5 Ex: Resolva o sistema pelo método de Jacobi com 0,, e em seguida calcule o resíduo 1 3 Quadro

6 Solução , ,5 0,5 1,5 max 1,5 1 1,5 3 0,5 1,5 1,5 1,5 1,5 max 0,75 1 1,5 3 1,5 1,15 0,875

7 1,15 0,875 max 0, , ,15 0,938 0,938 0,938 0,938 max 0,188 0, PAROU! Solução final: 0,938 0,938 Resíduo ,938 0,938 0,06 0,186

8 Exercício: Resolva o seguinte sistema, utilizando Jacobi, com 0,5 e depois calcule o resíduo 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

9 Algoritmo Método de Jacobi Entrada: matriz de coeficientes A, vetor de termos independentes b, solução inicial, tolerancia e número máximo de iterações [l,c] = tamanho(a); para i=1 ate l b(i) = b(i)/a(i,i); para j= 1 ate l se i ~= j C(i,j) = -A(i,j)/A(i,i); senao C(i,j) = 0; fim_se fim_para cont = 0; xa = xn = ; faça xa = xn; xn = b + C*xa; cont = cont +1; Enquanto max(vabsoluto(xn-xa)) > & cont < N saída( a solução do sistema é x);

10 Método de Gauss-Seidel Semelhante ao método de Jacobi (a partir de produz uma sequencia de soluções,,,, que aproximam a solução do sistema) No método de Gauss-Seidel, sempre utilizamos os valores de mais atuais possíveis. Ou seja, a solução é atualizada durante a iteração Converge mais rápido que Jacobi Ex: Resolva o sistema pelo método de Jacobi com 0, 1 3 Quadro

11 Solução ,5 0,5 1,5 0,5 1,5 max 1,5 1 1,5 3 1,15 1,15 0,938 1,15 0,938 max 0,65 1 0, ,969 0,969 1,016 0,969 1,016 max 0,156 0, PAROU!

12 Algoritmo Gauss-Seidel Entrada: matriz de coeficientes A, vetor de termos independentes b, solução inicial, tolerancia e número máximo de iterações [l,c] = tamanho(a); para i=1 ate l b(i) = b(i)/a(i,i); para j= 1 ate l se i ~= j C(i,j) = -A(i,j)/A(i,i); senao C(i,j) = 0; fim_se fim_para cont = 0; xa = xn = ; faça xa = xn; xn(1) = b(1) + C(1,:)*xa; para i=:l xn(i) = b(i) + C(i,:)*xn; fim_para cont = cont +1; enquanto max(vabsoluto(xn-xa)) > & cont < N saída( a solução do sistema é x);

13 Convergencia dos método Iterativos Escrevemos o sistema na forma e utiliamos esta para gerar a forma iterativa Subtraindo as formulas obtemos 1 Definindo o erro da solução dada pela k-ésima iteração por (onde é a solução real do sistema) e substituindo em 1, obtemos Portanto, o erro só tenderá para zero caso

14 Na prática podemos utilizar dois critérios para saber se o sistema converge Ambos são critérios suficientes Critério das linhas Critério das colunas 1,,, 1,,, Ex: Resolva o seguinte sistema utilizando Gauss-Seidel Quadro

15 Solução Teste do critério das linhas Para a primeira linha: 1 > 4+1? Não. Falhou! Teste do critério das colunas Para a prmeira coluna: 1 > 6+1? Não. Falhou! Podemos tentar rearranjar as linhas do sistema: Teste do critério das linhas Para a primeira linha: 6 > +1? Sim! Para a segunda linha: 4 > 1+1? Sim! Para a terceira linha: 3 > 1+1? Sim! Passou! Resolver normalmente por Gauss-Seidel

16 Exercício: O calculo da inversa de uma matriz pode ser reduzido a uma série de sistemas lineares da seguinte forma: Achar a inversa da matriz significa achar a matriz tal que, onde é matriz identidade Sejam, 1,,.., as colunas da matriz, para determinar a inversa temos que resolver sistemas lineares dados por Com esta informação, calcule a inversa da matriz 3 5 7

17 Mal Condicionamento Resíduo informa a qualidade da solução obtida Existem sistemas em que um resíduo pequeno não é garantia de uma boa solução (próxima da solução real do sistema) Tais sistemas são denominados mal condicionados Uma maneira de verificar o mal condicionamento de um sistema é através do determinante normalizado de sua matriz dos coeficientes,, onde.., onde Se este for muito menor que 1, a matriz será mal condicionada

18 Ex: O sistema 1,001,001 0,999 1,999 possui a solução 1 1. Calcule o resíduo para a solução 0 e verifique que o resíduo é pequeno, o que significa que o sistema é mal condicionado. Confirme o mal condicionamento do sistema através do determinante normalizado da matriz dos coeficientes do sistema. Quadro

19 Solução Resíduo,001 1, ,001 0, ,001 0,001 Determinante normalizado 1 1,001 1,415 0, ,414 0, ,415 1,

20 Exercício: Verifique se os seguintes sistemas são ou não mal condicionados. Em seguida calcule o resíduo da solução indicada:,01 1,8 Solução real: 0,1;. Calcule o resíduo de x 0,4; 1,85 3 1,0001 3,0001 Solução real: 1; 1. Calcule o resíduo de 0,7; 1,15

21 Comparação entre os métodos diretos e iterativos Métodos diretos Recomendados para sistemas de pequeno porte com matrizes de coeficiente densas Métodos Iterativos Bastante vatajosos para sistemas de grande porte cuja matriz de coeficiente seja esparsa. Necessário verificar condições de convergencia

22 Exercício: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss e em seguida Gauss-Seidel. Qual seria o tipo de método recomendado, e por que?

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