1 Métodos Diretos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Departamento de Computação Cálculo Numérico - BCC760 Lista 1 - Sistemas Lineares

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Departamento de Computação Cálculo Numérico - BCC760 Lista - Sistemas Lineares Métodos Diretos - Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de substituição retroativa ou o método de substituição progressiva (sucessiv: 2 = 4 +5 = 6 +8 = x 4 = 6 b) x 4 = x 4 = x 4 = 28 +2x 4 = Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de eliminação de Gauss sem pivotação, usando 4 casas decimais. Verifique também a exatidão da solução através do cálculo do resíduo = 8 50 b) = = 0 = 0 - Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de eliminação de Gauss com pivotação, usando casas decimais. Verifique também a exatidão da solução através do cálculo do resíduo = b) x 4 = 4- Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de eliminação de Gauss. O que você pode dizer em relação a quantidade de soluções destes sistemas? = 8 4 b) = 5- Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de decomposição LU sem pivotação, usando quatro casas decimais. Verifique a exatidão da solução. 2 6, = b) x 4 5 =

2 6 - Utilizando o método da decomposição LU, com pivotação parcial, resolva o sistema de equações a seguir: = Utilizando o método da decomposição LU, calcule o determinante e a matriz inversa das matrizes abaixo: [ ] b) O primeiro registro histórico associado a formulação de um problema através de um sistema de equações algébricas lineares encontra-se no antigo livro chinês Chiu-chang Suan-shu (Nove capítulos em aritmétic, que se estima ter sido escrito por volta de 200 a.c. No começo do Capítulo VIII, aparece um problema da seguinte forma: Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre, e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 9 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre, e um da ruim foram vendidos a 4 dou; e um da boa, dois da medíocre, e três da ruim foram vendidos a 26. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim?? Resolva este problema usando o método de Eliminação de Gauss. 9- Deseja-se fazer o planejamento de uma refeição diária, de forma que a quantidade de cada alimento a ser ingerindo corresponda as necessidades de vitamina C, cálcio e magnésio necessárias por dia. Três diferentes tipos de ingredientes serão empregados na refeição, sendo que cada ingrediente possui uma determinada quantidade de nutriente (expressa em miligramas) por unidade de ingrediente, conforme apresentado na tabela abaixo: Determine a quantidade de unidades de cada ingrediente necessárias para satisfazer plenamente a quantidade de nutrientes estipulada na dieta. Utilize o método da decomposição LU com pivtação. 0- Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4.800, e m de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para um projeto de construção. Existem três minas de onde esses materiais podem ser obtidos. A composição dessas minas é: Areia (%) Cascalho fino (%) Cascalho grosso (%) Mina Mina Mina

3 Quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para atender as necessidades do engenheiro? Utilize o método de Eliminação de Gauss. - Um engenheiro eletricista supervisiona a produção de três tipos de componentes elétricos. Três tipos de material - metal, plástico e borracha - são necessários para a produção. As quantidades necessárias para produzir cada componente são: Componente Metal (g/componente) Plástico (g/componente) Borracha (g/componente) 5 0,25, ,,2 9 0,42,6 Se um total de 2, 2, 0, 044 e 0, 64 kg de metal, plástico e borracha, respectivamente, estiver disponível a cada dia, quantos componentes poderão ser produzidos por dia? Utilize o método de Eliminação de Gauss com pivotação. 2 6 = Dadas as equações a seguir: + 7 = = 20 Resolva por eliminação de Gauss com pivotação parcial. b) Utilize os resultados obtidos, para escrever a fatoração LU da matriz A e calcular o determinante. c) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar a resposta = 2 - Dado o sistema linear: = 20 6 = 26 Obtenha a fatoração LU da matriz A. b) Multiplique as matrizes L e U resultantes para verificar que A é produzida. c) Utilize a decomposição LU para resolver o sistema linear. d) Resolva o sistema linear para um vetor do lado direito alternativo: B 2 = [2 8 6] t 2 Métodos Iterativos - Para cada um dos sistemas lineares a seguir faça: Verifique a condição suficiente para convergência dos métodos de Jacobi e Gauss- Seidel. Resolva o sistema utilizando o método de Jacobi, com erro < 0, 00 ou K max = 6. Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel, com erro < 0, 00 ou K max = 6. Compare os resultados obtidos por cada método indicando o método que obteve o resultado mais satisfatório.

4 = = = 7 b) + 6 = 2 6 =, 6 = 42 c) d) = = Na região central de certa cidade, dois conjuntos de ruas de mão única se interceptam como mostrado na figura abaixo. O volume horário de tráfego entrando e saindo dessa região durante a hora de pique é dado no diagrama. Faça o que se pede: Modele o problema usando o sistema linear. b) Resolva o sistema linear utilizando o método de eliminação de Gauss. R: x [ ] t c) Resolva o sistema utilizando o método de Jacobi, a partir da solução inicial x (0) = [0 0 0] t, e critério de parada erro < 0, 00 ou K max = 6. d) Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel, a partir da solução inicial x (0) = [0 0 0] t, e critério de parada erro < 0, 00 ou K max = 6. e) Compare os resultados obtidos pelo método de Gauss-Seidel e o método de Jacobi, letras c) e d). - Seja um sistema de equações cuja matriz dos coeficientes e dos termos independentes são: C A = C 20 B = C 6 4

5 Aplicando o critério das linhas, determine em qual intervalo deve estar o valor de C de tal forma que se possa garantir que haverá convergência quando da aplicação de um método iterativo para sua resolução. Tomando um valor para C, no intervalo determinado, resolva o sistema de equações utilizando o método de Jacobi com precisão de 0, 00 e um máximo de 5 iterações. 4- Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 70 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina B, 50 unidades de vitamina C, 80 unidades de vitamina D e 50 unidades de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade ( gram de cada alimento, determinou-se que: O alimento I tem unidade de vitamina A, 0 unidades de vitamina B, unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. O alimento II tem 9 unidade de vitamina A, unidade de vitamina B, 0 unidade de vitamina C, unidade de vitamina D e unidade de vitamina E. O alimento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5 unidades de vitamina C, unidade de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. O alimento IV tem unidade de vitamina A, unidade de vitamina B, unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e unidades de vitamina E. O alimento V tem unidade de vitamina A, unidade de vitamina B, unidade de vitamina C, 9 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. Utilize o método de Gauss-Seidel para determinar quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V deve-se ingerir diariamente para que se possa ter uma alimentação equilibrada? 5

6 Respostas - Métodos Diretos - x = [2 5 ] t b) x = [ 0 2 4] t 2- x = [ 2] t b) x = [ 2 2 4] t - x = [7 6] t b) x = [0, 42 0, 880, 75 0, 6658] t 4- Sistema incompatível b) Sistema compatível indeterminado. 5- x = [, 242 0, 68, 8569] t b) x = [2, , 9475, 9672, 6262] t 6- x = [ 5 2]4 7- det(a) = 0, A = [ 0, 20 0, 0, 4 0, ] b) det(a) = 00, A = 2, 75, 70 0, 0, 70, 6 0, 08 0, 0 0, 08 0, x = [9, 29 4, 22 2, 76] t 9- x = [4, 5455, 552, 22] t 0- = 4005, 8 = 7, 4 = 562, 8m - c = 20 c 2 = 40 e c = x = [4 8 2] t b)det(a) = L = 0, e U = 0 4, , 429 0, 429 0, , 95 c) x = [0, 788, , 6979] t d) x = [0, 97, , 5625] t Respostas - Métodos Iterativos. Jacobi: x = [, 68 2, 4925, 88] t, erro = 0, 50 e k = 6 Gauss-Seidel: x = [, , 826, 898] t, erro = 0, 5 e k = 6 b) Jacobi: não converge Gauss-Seidel: não converge c) Jacobi: não converge. Gauss-Seidel: não converge. d) Jacobi: x = [5, 8, 250 5, 48] t, erro = 2, 750 e k = 6 Gauss-Seidel: x = [, 975, 750 2, 788] t, erro =, 875 e k = 6 2. x = [ ] t Jacobi: x = [ ] t, erro = 0 e k = 5 Gauss-Seidel: x = [ ] t, erro = 0 e k = 4. 5 < C < 4 ou 4 < C < 5 4. x = [9, 644 9, , 262 9, , 977] t 6