Lista de Exercícios 03: Álgebra Linear

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1 Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciências e Tecnologias Agroalimentar - CCTA Unidade Acadêmica de Ciências e Tecnologia Ambiental - UACTA Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professor: Paulo Pamplona Lista de Exercícios 0: Álgebra Linear Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 0) Representar explicitamente a matriz quadrada de ordem, cujo elemento genérico é dado { i, se i j, se i < j { i j, se i j a ij = b) a ij =, se i = j c) a ij = j, se i = j j i, se i < j, se i > j 0 0) Dadas as matrizes A =, B = e C =, determinar a matriz X tal que 4 5 X A = B C 0) Dada a matriz A =, determine a matriz X tal que (X + A) = X 4A 4 04) Dadas as matrizes A e B abaixo, determinar AB e BA, se possível 0 6 A = e B = b) A = e B = ) Dadas as matrizes A = e B =, use o fato que A = AA para determinar 0 (A + B) e A + (AB) + B Note que (A + B) A + (AB) + B 06) Determinar os valores de a, b, c e d que satisfazem a equação a b 0 = c d ) Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas Depois determine o número de linhas (m) e o número de colunas (n) da matriz dos coeficientes, o posto da matriz dos coeficientes (Pc), o posto da matriz ampliada (P, ese o sistema for possível, determinar seu grau de liberdade 0 0 b) c) d) ) Determine o valor de k de modo que o sistema abaixo admita solução 4x + y = 5x 4y = 0 x y = k

2 09) Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade x + y 4z = x y + z = x + y + z = 0 x + 5y = 4x y + z = 0 x y + z = x + 6y + z = 0 b) x + z = c) d) x y z = x y z = 0 x + y + z = 6 5x + y z = 0 x + y 5z = 0 x + y + z = 4 x + y + z = 0) Calcule o determinante de cada matriz abaixo: c) b) 4 5 d) e) 4 f) g) h) x ) Determine os valores de x para os quais det = 0 4 x ) Determine a matriz adjunta das seguintes matrizes: b) 4 0 c) d) ) Determine a matriz inversa das seguintes matrizes: b) c) d) e) ) Use a regra de Cramer ou escalonamento para determinar soluções dos sistemas abaixo: y w + z = 0 { x y = 5 x + y z = x + y + z = x + y + w + z = 6 b) x y + z = c) 4x + y + 5z = d) x + y = x + y + z = 7 x + 4y + w z = 6x + 5y + 5z = x + y w + z = Espaços Vetoriais, Transformações Lineares, Autovalores e Autovetores 5) Verifique se o conjunto A é subespaço de V em cada caso abaixo: A = {(x, 0); x R}; V = R d) A = {(x, y, z) R R ; x + y 6z = }; V = R b) A = {(x, y) R ; x + y = }; V = R c) A = {(x, y, z) R ; z = x + y}; V = R e) A = {(x, y, z, w) R 4 ; x + y = 0, z w = 0}; V = R 4 f) A = {(x, y, z, w) R 4 ; x + y w = 0, z = 0}; V = R 4 6) Escreva o vetor w como combinação linear dos vetores v, v e v em cada caso abaixo: w = (, 4) e v = (, ); v = (, ); v = (, 0) b) w = ( 4, ) e v = (, ); v = (, ); v = (5, 4) c) w = (9, 6, ) e v = (,, 5); v = (,, 0); v = (, 6, 4)

3 7) Determine as coordenadas do vetor w em relação a base β em cada caso abaixo: w = (, 0, 0) e β = {(,, ), (,, 0), (, 0, )} b) w = (,, ) e β = {(, 0, 0), (,, 0), (,, )} 8) Verificar se β é uma base de V em cada caso abaixo: β = {(, ), (0, )}, V = R c) β = {[ {(, 0, 0), ] (, [, 0), ] (, [, )}, ] [ V = R ]} b) β = {(, ), (, )}, V = R d) β =,,,, V = M x (R) ) Sejam β = {(, 0), (0, )}, β = {(, ), (, )}, β = {(, 0), (0, )} e β = {(, ), (, )} bases ordenadas de R Determine: As matrizes de mudança de base [I] β β, [I]β β, [I] β β e [I] β β ; b) As coordenadas do vetor v = (, ) em relação às bases β, β, β e β 0 0) Se [I] β α = 0, determine: [v] α, onde [v] β = b) [v] β, onde [v] α = 0 ) Verifique se as funções são transformações lineares em cada caso abaixo: T : R R, onde T (x, y, z) = (x + y, y + z) d) T : R R, onde T (x, y) = xy b) T : R R, onde T (x, y) = x + y e) T : R R, onde T (x) ( = x ) ( ) c) T : R R, onde T (x, y) = (x + y, x y) a b a b f) T : M R, onde T = det c d c d ) Ache a transformação linear T : R R tal que T (, 0, 0) = (, 0), T (0,, 0) = (, ) e T (0, 0, ) = (0, ) Encontre v R tal que T (v) = (, ) ) Ache a transformação linear em cada caso abaixo: T : R R tal que T (, ) = (,, 0), T (, ) = (0, 7, ) b) T : R R tal que T (,, ) = (, ), T (0,, 0) = (0, ) e T (0, 0, ) = (0, ) c) T : R R tal que T (, 0) = (, ) e T (0, ) = (, ) 4) Sejam α = {(, ), (0, )} e β = {(, 0, ), (0,, ), (,, 0)} bases de R e R, respectivamente 0 Determine T se [T ] α β = b) Se S(x, y) = (y, x y, x), ache [S] α β 0 5) Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes: 0 b) c) 0 0 d) ) Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R R, onde T (x, y) = (y, x) b) T : R R, onde T (x, y) = (x + y, x + y) c) T : R R, onde T (x, y, z) = (x + y, x y + z, x + y z) d) T : R 4 R 4, onde T (x, y, z, w) = (x, x + y, x + y + z, x + y + z + w) 7) Ache a transformação linear T : R R que possui autovalores - e associados aos autovetores (y, y) e ( y, y), respectivamente

4 4 Problemas Aplicados 8) Um caminhão transportou em duas viagens, 50 toneladas de soja Na primeira viagem, o caminhão carregado pesou 45 toneladas e na segunda viagem, o caminhão e a carga pesaram 5 toneladas Calcule a quantidade de soja transportada em cada viagem e o peso do caminhão vazio 9) Em um determinado campeonato, um time de futebol obteve, em partidas, 8 vitorias a mais que o número de derrotas e empates a menos que o número de vitórias Determine quantas vitórias, empates e derrotas o time obteve nesse campeonato 0) Uma dieta equilibrada exige diariamente, unidades de proteína, 45 de carboidratos e de gordura para cada 00 gramas de ingredientes Sabe-se que, em cada 00 gramas de ingredientes, tem-se: i) O leite desnatado contém 6 unidades de proteínas, 5 de carboidratos e 0 de gorduras; ii) A farinha de soja contém 5 unidades de proteínas, 4 de carboidratos e 7 de gorduras; iii) O soro de leite contém unidades de proteínas, 74 de carboidratos e, de gorduras Determine a quantidade de cada um dos ingredientes que devem ser ingeridos diariamente para que se tenha uma alimentação equilibrada ) Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 70 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina B, 40 unidades de vitamina C, 80 unidades de vitamina D e 50 unidades de vitamina E Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados cinco alimentos Fixada a mesma quantidade (g) de cada alimento, determinou se: i) O alimento I tem unidade de vitamina A, 0 unidades de vitamina B, unidade de vitamina C, unidades de vitamina D e unidades de vitamina E; ii) O alimento II tern 9 unidades de vitamina A, unidade de vitamina B, unidades de vitamina C, unidade de vitamina D e unidade de vitamina E; iii) O alimento III tem unidades de A, unidades de B, 5 unidades de C, unidade de D e unidades de E; iv) O alimento IV tem unidade de A, unidade de B, unidade de C, uni dades de De unidades de E; v) O alimento V tem unidade de A, unidade de B, unidade de C, 9 uni dades de D e unidades de E Determine quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que se tenha uma alimentação equilibrada

5 5 ) Uma transportadora possui cinco tipos de caminhões,que representaremos por I, II, III, IV e V Os caminhões são equipados para transportar cinco diferentes tipos de máquinas A, B, C, D e E A quantidade de máquinas que cada caminhão pode transportar, levando carga plena, está dado abaixo: i) O caminhão do tipo I pode transportar máquina do tipo A, do tipo B, do tipo C, 0 do tipo D e do tipo E; ii) O caminhão do tipo II pode transportar 0 máquina do tipo A, do tipo B, do tipo C, do tipo D e do tipo E; iii) O caminhão do tipo III pode transportar máquina do tipo A, do tipo B, do tipo C, do tipo D e 0 do tipo E; iv) O caminhão do tipo IV pode transportar máquina do tipo A, do tipo B, do tipo C, do tipo D e do tipo E; v) O caminhão do tipo V pode transportar máquina do tipo A, do tipo B, do tipo C, do tipo D e do tipo E Determine quantos caminhões de cada tipo deve-se enviar para transportar exatamente: 7 máquinas do tipo A, do tipo B, do tipo C, do tipo D e do tipo E ) Quatro tipos de produtos podem ser produzidos no decorrer de uma semana Para a produção de cada produto, precisa-se de três tipos diferentes de matérias-primas A, B e C, conforme indicado abaixo: i) Para a produção do produto I necessita-se de unidade de A, de B e 4 de C; ii) Para a produção do produto II necessita-se de unidades de A, 0 de B e de C; iii) Para a produção do produto III necessita-se de 4 unidade de A, de B e de C; iv) Para a produção do produto IV necessita-se de unidade de A, de B e de C Determine quantas unidades de cada produto podem ser produzidas se existem disponíveis, 0, 0 e 40 unidades de A, B e C, respectivamente

6 6 Respostas da lista ) b) c) 5 0) X = 8 0) X = ) AB = BA não é possível b) AB = 7 6 BA = ) 4 5 e ) a = 4, b =, c = e d = ) 0 0 m = n = pa = pc = e g 0 L = 0 b) m = 4, n = p a = p c = e g L = c) 0 m = n =, pa = pc = e g 0 L = d) 9 m = 4, n = p a = p c = e g L = ) k = 6 09) m = n =, p a = p c =, g L = e x = y z b) m = n = p a = p c =, g L = 0 e x = 7 6, y = 6, z = 7 c) m = n = p a = p c =, g L = e x =, y =, z = 5 d) m = n =, p a =, p c = 4 Não 8 existe solução 0) b) 4 c) 0 d) 58 e) 9 f) 0 g) 8 h) 0 ) x = 6 ou x = ) b) c) ) 5 5 b) c) d) ) x = e y = b) x =, y = e z = c) x =, y = e z = d) x =, y =, w = e z = 5) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Sim f) Sim 6) a e a arbitrários, a = (a + ) b) a e a arbitrários, a = 6a +9 7 c) a =, a = e a = 7) a =, a = e a = b) a = 5, a = e a = 8) Sim b) Não c) Sim d) Não 9) [I] β β = 0, [I] β β =, [I] β β =, [I] β β = b) [v] β = 5, [v] β =, [v] β =, [v] β = + 0) [v] α = b) [v] β = 4 ) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Não f) Não ) T (x, y, z) = (x + y, y z) e v = (x, x, x) ) T (x, y) = (x + y, x y, x y) b) T (x, y, z) = ( x, 4x y + z) c) T (x, y) = (x + y, x + y) 0 4) T (x, y) = ( x y, x y, x + y) b) [S]α β = ) λ =, λ =, v = (x, 0), v = (x, x) b) λ = 0, λ =, v = (x, x), v = (x, x) c) λ = e v = (x, 0, 0) d) λ =, λ =, λ =, v = ( y, y, 0), v = (x, x, x), v = (x, 0, x) 6) λ =, λ =, v = (x, x), v = (x, x) b) λ = +, λ =, v = (x, x), v = (x, x) c) λ =, λ =, λ =, v = (x, x, x ), v = (x, x, x), v = (x, x, x) d) λ =, v = (0, 0, 0, w) 7) T (x, y) = ( 6y, x + y) 8) 0, 0 e 5 9) 4; e 5 0) 077; 09 e 0 ) 0g; 0g ; 0g ; 0g e 0g ) 4; 6 ; ; e 5