Álgebra Linear e Geometria Analítica

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1 Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Electrotécnica Ano: 1 o Semestre: 1 o Ano Lectivo: 007/008 Ficha Prática n o 8 - Espaços Lineares (Vectoriais) 1. Sendo v e w vectores quaisquer de um espaço V e α e β escalares, prove que: (a) α(v w) = αv αw; (b) (α β)v = αv βv; (c) α0 = 0; (d) 0v = 0; (e) αv = 0 = α = 0 ou v = 0; (f) (αv = αw e α 0) = v = w; (g) (αv = βv e v 0) = α = β.. Verifique que C n é um espaço linear real mas IR n não é um espaço linear complexo. 3. Diga quais dos seguintes subconjuntos de IR 4 são subespaços de IR 4 : (a){(x 1, x, x 3, x 4 ) : x 1 + x = 0 e x 3 = x 4 }; (b){(x 1, x, x 3, x 4 ) : x 1 + x + x 3 = 0 e x 4 é um inteiro}; (c){(x 1, x, x 3, x 4 ) : x = 0}; (d){(x 1, x, x 3, x 4 ) : x 1 + x + x 3 + x 4 = 1}. 4. Verifique se: {[ ] x y (a) z t } M (C) : x = 3y t = i é subespaço vectorial de M (C) ; (b) {A M (IR) : A é simétrica} é subespaço vectorial de M (IR) ; (c) {A M n n (IR) : A é ortogonal} é subespaço vectorial de M n n (IR) ; {[ ] } x y (d) M z t (IR) : x + y = 0 z = 0 é subespaço vectorial de M (IR). 5. O conjunto de todas as sucessões reais é um espaço vectorial real. Diga quais dos seguintes conjuntos são subespaços desse espaço: (a) o conjunto das sucessões limitadas; (b) o conjunto das sucessões convergentes; (c) o conjunto das sucessões com limite 1; (d) o conjunto das sucessões com limite 0; (e) o conjunto das sucessões (u n ) que satisfazem u n+ = u n+1 + u n para todo o n. 6. O conjunto de todos os polinómios de coeficientes reais, com as operações de adição e multiplicação escalar usuais é um espaço vectorial real. Diga quais dos seguintes conjuntos são subespaços desse espaço: (a) o conjunto dos polinómios de grau inferior ou igual a ; (b) o conjunto dos polinómios de grau igual a 3.

2 7. Diga quais dos seguintes subconjuntos do espaço C(a, b) são subespaços: (a) o conjunto das funções f que satisfazem f( a+b ) = 1; (b) o conjunto das funções f que satisfazem a eq. diferencial f (x) + αf (x) + βf(x) = 0; (c) o conjunto C k (a, b) das funções com derivadas contínuas até à ordem k. 8. Sendo A mxn e B pxm duas matrizes quaisquer, prove que o espaço nulo de A está contido no espaço nulo de BA. 9. Sendo A uma matriz real qualquer, prove que o espaço nulo de A coincide com o de A t A. (Sugestão: Pelo exercício anterior, basta mostrar a inclusão num sentido. Agora note que, pelo exercício 15.(a) da ficha 7, para provar que um vector-coluna real y é 0 basta provar que y t y = 0.) 10. (a) Prove que a intersecção de dois subespaços de um mesmo espaço é um sub espaço. (b) Prove que a reunião de dois subespaços de um mesmo espaço só é um sub espaço se um deles contiver o outro. 11. Diga se o vector (, 5, 3) pertence ao subespaço de IR 3 gerado pelos vectores (1, 4, ) e (, 1, 3). 1. Considere os seguintes vectores de IR 3 : v 1 = (1, 0, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (0, 1, 1), v 4 = (1, 1/, 3/). Prove que o subespaço gerado por v 1 e v coincide com o subespaço gerado por v 3 e v Descreva geometricamente o subespaço de IR 3 gerado por: (a) (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0,, 0); (b) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (0,, 1); (c) os seis vectores indicados em a) e b). 14. Determine α e β de modo que o vector (1, 1, α, β) pertença ao subespaço de IR 4 gerado pelos vectores (1, 0,, 1) e (1, 1,, ). 15. Sendo A mxn, mostre que o espaço das colunas de A é o conjunto {Av : v matriz n 1}. 16. Prove que o espaço das colunas de BA está contido no de B. 17. (a) Escreva o vector nulo de IR como combinação linear dos vectores (, 3) e ( 4, 6) de várias maneiras diferentes. (b) Pode o vector nulo de IR escrever-se como combinação linear dos vectores (, 3) e (4, 6) de mais que uma maneira? 18. Escreva o vector (, 3) de IR como combinação linear dos vectores (a) (1, 0) e (0, 1); b) (1, 1) e (1, ); c) (0, 1) e (, 3). 19. Verifique que os números complexos 1 + i e i são (a) vectores linearmente independentes do espaço vectorial real C; (b) vectores linearmente dependentes do espaço vectorial complexo C.

3 0. Diga quais dos seguintes conjuntos de IR 3 são linearmente independentes (e em caso de dependência escreva um dos vectores como combinação linear do outros): (a) {(1,, 3), (3, 6, 9)}; (b) {(1,, 3), (3,, 1)}; (c) {(0, 1, ), (1, 1, 1), (1,, 1)}; (d) {(0,, 4), (1,, 1), (1, 4, 3)}; (e) {(1, 1, 1), (, 3, 1), ( 1, 4, ), (3, 1, )}. 1. Considere os vectores de IR 4 : v 1 = (1, 0, 1, 0), v = (1, 1, 1, 1), v 3 = (, 0, 1, ), v 4 = (3, 1, 3, 1). (a) Mostre que v 1, v, v 3 são linearmente independentes. (b) Mostre que v 1, v, v 4 são linearmente dependentes.. Discuta segundo os valores de µ a dependência ou independência dos vectores de IR 4 v 1 = (1,, 5, 8), v = ( 1, 1, 1, 5), v 3 = (1,, 11, µ). 3. Diga para que valores de α, β e γ, os vectores (0, γ, β), ( γ, 0, α), (β, γ, 0) são linearmente independentes. 4. Estude a independência linear de cada um dos seguintes conjuntos de vectores do espaço C[ π, π]. (a) sinx, cosx; (b) 1, sinx, cosx; (c) 1, sin x, cos x. 5. Seja (a,b) um intervalo real que contêm o 0. Mostre que as funções e x, e x, e 3x são vectores linearmente independentes do espaço C(a,b). (Sugestão: Escreva a função nula como combinação linear das três funções, com coeficientes a determinar, e derive duas vezes. Faça x=0 nas três igualdades.) 6. Considere os seguintes vectores de IR 3 : v 1 = (, 3, 1), v = (0, 1, ), v 3 = (1, 1, ). (a) Mostre que {v 1, v, v 3 } é uma base de IR 3. (b) Determine as coordenadas do vector (3,, 1) relativamente a essa base. 7. Determine a dimensão: (a) do espaço real C; (b) do espaço complexo C. 8. Determine a dimensão e indique duas bases diferentes para o subespaço de IR 3 gerado pelos vectores (1,, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9). 9. Sejam V um espaço vectorial de dimensão finita e F um subespaço de V. Como sabe, dim F dim V. Prove que, se dim F = dim V, então F = V. 30. Para cada um dos subespaços encontrados nos exercícios 3, 4 e 6 determine a sua dimensão e indique uma base. 31. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR n, prove que se trata de um subespaço, determine a sua dimensão e indique uma base. (a) O conjunto dos vectores com a primeira e a última coordenadas iguais; (b) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de índice par são nulas; (c) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de índice par são todas iguais; (d) O conjunto dos vectores da forma (α, β, α, β, α, β,...). 3. Dados os números reais α 1, α,..., α n, determine a dimensão e indique uma base do subespaço de IR n definido pela equação α 1 x 1 + α x α n x n = 0.

4 33. (a) Mostre que o espaço das sucessões reais referido no exercício 5 tem dimensão infinita. (b) Mostre que o subespaço desse espaço definido na alínea e) do exercício 5 tem dimensão e indique uma base para ele. 34. Indique, justificando: (a) um subconjunto de IR 4 que não seja base de IR 4 ; (b) um subconjunto de IR 4 com 4 vectores que gere um subespaço de dimensão ; (c) um subconjunto de IR 4 que gere IR 4 mas que não seja base de IR 4 ; (d) uma base de IR 4 que contenha os vectores (1, 0, 1, 0) e (0, 1,, 1). 35. Prove que, se F e G forem subespaços de dimensão 3 de IR 5, então F e G têm de certeza um vector não nulo em comum. (Sugestão: Se juntarmos uma base de F com uma base de G obtemos 6 vectores.) 36. Para cada uma das matrizes do exercício 13 da ficha 6 determine, usando a factorização LU encontrada, uma base para o espaço das linhas e uma base para o espaço das colunas. 37. Determine a característica e o espaço nulo das matrizes e Considere a matriz A = 1 α α 1 3α , onde α é um parâmetro real. Determine para que valores de α a característica de A é, respectivamente, 1, e 3. Em cada caso, determine bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo de A. 39. O mesmo que no exercício anterior para a matriz A = 1 α 1 α 1 α 0 1 α 40. Construa uma matriz cujo espaço nulo seja gerado pelo vector (1, 0, 1). 41. Existirá uma matriz cujo espaço das linhas contenha o vector (1, 1, 1) e cujo espaço nulo contenha o vector (1, 0, 0)? 4. Se A for uma matriz com característica 11, quantos vectores linearmente independentes satisfazem Ax=0? E quantos vectores linearmente independentes satisfazem A t y = 0? 43. (a) Sendo A uma matriz qualquer, prove que car(a) = car(a t ). (b) Será sempre verdade que nul(a) = nul(a t )? 44. Sendo A m n e B p m, prove que: (a) car(ba) car(b) (Sugestão: exercício 16) (b) nul(a) nul(ba) (Sugestão: exercício 8) (c) car(ba) car(a).

5 45. Sendo A M m n (IR), prove que: (a) nul(a t A) = nul(a) (Sugestão: exercício 9) (b) car(a t A) = car(aa t ) = car(a). 46. Seja A m n qualquer. Sejam B m m e C n n invertíveis. Prove que: (a) car(ba) = car(a); (b) car(ac) = car(a); (c) car(bac) = car(a). 47. Seja A m n. Prove que: (a) A possui inversa à direita (isto é, existe B n m tal que AB = I m ) se e só se car(a) = m. (Sugestão: Para a implicação ( ) use o exercício 44.(a)) (b) A possui inversa à esquerda (isto é, existe C n m tal que CA = I n ) se e só se car(a) = n. (Sugestão: Basta mostrar que A t possui inversa à direita. Use a alínea anterior (a)) (c) Se A é quadrada e existe B tal que AB = I então também BA = I. 48. Sendo A n n, diga se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação geral: Se as colunas de A são linearmente independentes, o mesmo acontece às colunas de A. 49. Seja A n n. Prove que, se A = A e car(a) = n, então A = I.

6 Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Electrotécnica Ano: 1 o Semestre: 1 o Ano Lectivo: 007/008 Soluções da Ficha Prática n o 8 - Espaços Lineares (Vectoriais) 3. a) e c). 4. b) e d). 5. a), b), d) e e). 6. a). 7. b) e c). 11. Não pertence. 13. a) Eixo dos yy; b) Plano YOZ; c) Plano YOZ. 14. α = e β = a) (0, 0) = α (, 3) + β ( 4, 6), com α = β. b) Não. 18. a) (, 3) = (1, 0) 3 (0, 1) b) (, 3) = 7 (1, 1) 5 (1, ) c) (, 3) = 0 (0, 1) + (, 3). 0. a) Conjunto Linearmente Dependente. (3, 6, 9) = 3 (1,, 3). b) Conjunto Linearmente Independente. c) Conjunto Linearmente Independente. d) Conjunto Linearmente Dependente. (0,, 4) = (1,, 1) (1, 4, 3). e) Conjunto Linearmente Dependente. (1, 1, 1) = 7 (, 3, 1) + 13 ( 1, 4 ) + 4 (3, 1, ) Os vectores são Linearmente Dependentes se µ = 44. Os vectores são Linearmente Independentes se µ Os vectores são Linearmente Independentes se γ = 0 (α = γ β 0) β = 0; Os vectores são Linearmente Dependentes se α γ β a) Linearmente independentes; b) Linearmente independentes; c) Linearmente dependentes. 6. b) As coordenadas são 3, e a) Dim=; b) Dim=1. 8. dim=; base (por exemplo)={(1, 0, 1), (0, 1, )} ou {(, 1, 0), ( 1, 0, 1)}.

7 30. 3a) dim=; base={(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}; 3c) dim=3; base={(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}; {[ ] [ ] [ ]} b) dim=3; base=,, ; {[ ] [ ]} d) dim=; base=, ; a) dim=3; base={1, t, t }. 31. a) dim=n-1; base={(1, 0, 0,..., 0, 1), (0, 1, 0,..., 0, 0),..., (0, 0, 0,..., 1, 0)}; b) se n par: dim= n ; base ={(1, 0, 0,..., 0, 0), (0, 0, 1,..., 0, 0),..., (0, 0, 0,..., 1, 0)} se n ímpar: dim= n+1 ; base ()={(1, 0, 0,..., 0, 0), (0, 0, 1,..., 0, 0),..., (0, 0, 0,..., 0, 1)}; c) se n par: dim= n + 1; base ={(1, 0, 0, 0,..., 0, 0), (0, 1, 0, 1,..., 0, 1), (0, 0, 1, 0,..., 0, 0),..., (0, 0, 0, 0,..., 1, 0)}; se n ímpar: dim= n+1 + 1; base ={(1, 0, 0, 0,..., 0, 0), (0, 1, 0, 1,..., 1, 0), (0, 0, 1, 0,..., 0, 0),..., (0, 0, 0, 0,..., 0, 01)}; d) dim=; base={(1, 0, 1, 0,...), (0, 1, 0, 1,...)}. {( ) ( ) ( 3. dim=n-1; base= 1, 0,..., α 1 α n, 0, 1,..., α α n,..., 0, 0,..., α n 1 α n )}. 34. a) por exemplo {(1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}; b) por exemplo {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0,, 0, 0)}; c) por exemplo {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1,, 3, 4)}; d) por exemplo {(1, 0, 1, 0), (0, 1,, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}; 36. a)base L (A) = {[ ], [ ]} ; { [ ] T [ ] } T base C (A) = 1 0 1, 1. b)base L (A) = {[ ]} ; { [ ] } T base C (A) = 1. c)base L (A) = {[ ], [ 0 4i 4i ], [ 0 0 i ]} ; ou base L (A) = {[ ], [ 4i ], [ i 0 ]} { [ ] T [ ] T [ ] } T base C (A) = 0 4i 1, 0 i 1, d) base L (A) = {[ 1 0 ]. [ 0 1 ]} ; { [ ] T [ ] } T base C (A) = 1 0, e) base L (A) = {[ ], [ ], [ ], [ ]} ou base L (A) = {[ ], [ ], [ ], [ ]} ; { [ ] T [ ] } T , , base C (A) = [ ] T [ ] T , f) base L (A) = { [ i 0 i 0 i ], [ 0 i 0 i 0 ], [ i i + i ] ou base L (A) = {[ i 0 i 0 i ], [ 0 i 0 i 0 ], [ i i 0 i i ]} { [ ] T [ ] T [ ] } T base C (A) = i 0 i 0, 0 i i i, i } ;

8 37. Car (A) = ; N (A) = {(x, y, z) R 3 : x = y z = 0} ; Car (B) = ; N (B) = {(x, y, z, w) R 4 : x = y + w z = w}. 38. Car (A) = 1 não existem valores de α; Car (A) = se α = 1 e tem-se: base C (A) = base N (A) = {(1, 1, 0)} ; 1 Car (A) = 3 se α 1 e tem-se: base C (A) = α, 1 base N (A) =. { [ ] T, [ 3 ] T } ; α 1 1, 3α 1 3 ; 39. Car (A) = 1 não existem valores de α; Car (A) = se α = α = { [ α = 0 e tem-se: base C (A) = ] T [ ] } T 1 α 0, α 1 1 ; se α = ± base N (A) = {(0, α, 1)} ; se α = 0 base N (A) = {( 1, 0, 1)} ; Car (A) = 3 se α α 1 α 1 α 0 e tem-se: base C (A) = α, 1, α ; 0 1 α 40. Por exemplo A= 41. Não existe tal matriz vectores e 51 vectores, respectivamente. 43. b) Apenas se A for quadrada. base N (A) =.