Exercícios sobre Espaços Vetoriais II

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1 Exercícios sobre Espaços Vetoriais II Prof.: Alonso Sepúlveda Castellanos Sala 1F Seja V um espaço vetorial não trivial sobre um corpo infinito. Mostre que V contém infinitos elementos. 2. Sejam V um espaço vetorial sobre R, {v 1,..., v n } um subconjunto L.I. de V e α 1,..., α n escalares reais. Defina v = α 1 v α n v n. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: (a) O conjunto {v v 1,..., v v n } é L.I., (b) α 1 + α α n Sejam V um espaço vetorial sobre K e {v 1, v 2, v 3 } um subconjunto L.I. de V. Mostre que {v 1 + v 2, v 2 + v 3, v 3 + v 1 } é L.I. se, e somente se, a característica de K é diferente de Sejam V um espaço vetorial sobre K e {v 1,..., v n } uma base de V. Defina M 0 = {0} e M k = v 1,..., v k, k = 1,..., n. Escolha u k M k \ M k 1, k = 1,..., n. Mostre que {u 1,..., u n } é base de V Responda se os subespaços abaixo são subespaços de M 2 (R). Em caso afirmativo exiba os geradores. {( ) } a b a) W 1 = com a, b, c, d R e b = c c d {( ) a b b) W 2 = c d } com a, b, c, d R e b = c Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de V = M n (K)? (a) W 1 = {A V : A não é inversível} (b) W 2 = {A V : AB = BA, com B fixa} (c) W 3 = {A V : A 2 = A} 8. Uma sequencia de Fibonacci em um corpo K, é uma sequencia (x n ) n N tal que x n+2 = x n+1 + x n, para todo n 1. Mostre que as sequencias de Fibonacci é um espaço vetorial sobre K. Encontre uma base para este espaço. 9. Dado o subespaço V = {(x, y, z) : x y = 0} de R 3, determine um subespaço W R 3, tal que V W = R 3.

2 10. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do R 3 dados abaixo sejam L.I. a) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)} b) {(6, 2, n), (3, m + n, m 1)} 11. Quais dos seguintes conjuntos são L.I. em M 22 (R)? {( ) ( ) ( )} a),, {( ) ( ) ( ) ( )} b),,, Sendo W e U subespaços do R 4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W + U se {(1, 2, 1, 0), ( 1, 1, 0, 1), (1, 5, 2, 1)} é um sistema de geradores de W U? 13. Mostre que os polinômios 1 x 3, (1 x) 2, 1 x e 1 geram o espaço dos polinômios de grau Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão. (a) Matrizes diagonais n n (b) W = {(1, a, b) : a, b R} (c) A reta {(x, x + 3) : x R} (d) W = {(a, 2a, 3a) : a R} (e) W 2 = {(a, a,..., a) R n : a R} 15. Determine os subespaços de P 2 (R) gerados pelos seguintes vetores: (a) p 1 = 2x + 2, p 2 = x 2 + x + 3, p 3 = x 2 + 2x (b) p 1 = x 2, p 2 = x 2 + x (c) p 1 = 1, p 2 = x, p 3 = x Mostre que os vetores v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (0, 1, 1) e v 3 = (0, 0, 1) geram o R Determine o subespaço de P 3 (R) gerado pelos vetores p 1 = x 3 + 2x 2 x + 3 e p 2 = 2x 3 x 2 + 3x Determine o subespaço de R 4 gerado pelos vetores u = (2, 1, 1, 4), v = (3, 3, 3, 6) e w = (0, 4, 4, 0). 19. Seja V = M 2 3 (R). Verificar se {A, B, C} é um conjunto L.I. ou L.D., onde ( ) ( ) ( A =, B =, C = Para que valores de k o conjunto β = {(1, k), (k, 4)} é base do R 2? 2 )

3 21. O conjunto S = {t 3, 2t 2 t + 3, t 3 3t 2 + 4t 1} é base de P 3 (R)? Justifique. 22. No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes subespaços: U = {(x, y, z) : x = 0}, V = {(x, y, z) : y 2z = 0} e W = (1, 1, 0), (0, 0, 2). Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços: U, V, W, U V, V + W e U + V + W, 23. Determinar uma base e a dimensão do subespaço de M 3 (R) constituído das matrizes antisimétricas. 24. Determinar uma base e dimensão do espaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos: a) b) x y = 0 2x 3y = 0 3x + 1y 2 = 0 x y z t = 0 3x y + 2z 4t = 0 2y + 5z + t = Para que valores de a R o seguinte conjunto é uma base de R 3 : B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)}. 26. Determine a dimensão do subespaço de M n (R) formado pelas matrizes A tais que A = 2A t. 27. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços do espaço usual V = R R? (a) W 1 = {f V ; f(1) = 1}; (b) W 2 = {f V ; 1 f(t)dt = 0}; 0 (c) W 3 = {f V ; f(t) = f(1 t), t R}; (d) W 4 = {f V ; 1 f(t)f(1 t)dt = 0}; 0 (e) W 5 = {f V ; 1 f(t)dt é racional} Sejam W 1, W 2, W 3 e W 4 subespaços de um espaço vetorial V. (a) Mostre que as seguintes inclusões são válidas: W 1 W 2 + W 1 W 3 W 1 (W 2 + W 3 ) e (W 1 W 2 ) + W 3 (W 1 + W 3 ) (W 2 + W 3 ); (b) Exiba exemplos para mostrar que as inclusões do item (a) podem ser próprias; (c) Mostre que W 1 (W 2 + (W 1 W 3 )) = (W 1 W 2 ) + (W 1 W 3 ); (d) Se W 1 W 2 = W 3 W 4, mostre que W 1 = (W 1 + (W 2 W 3 )) (W 1 + (W 2 W 4 )). 29. Seja K um corpo e consideremos os seguintes subconjuntos de K 3 : W 1 = {(α, β, α+β); α, β K} e W 2 = {(γ, γ, γ); γ K}. Verifique que W 1 e W 2 são subespaços de K 3 e que K 3 = W 1 W 2. 3

4 30. Sejam W 1, W 2 e W 3 subespaços de um espaço vetorial V. Mostre que: (a) Se W 1 W 3, então W 3 (W 1 + W 2 ) = W 1 + (W 2 W 3 ); (b) A hipótese W 1 W 3 em (a) é essencial; (c) Se V = W 1 W 2 então a igualdade W 3 = (W 1 W 3 ) (W 2 W 3 ) não vale em geral; (d) Se V = W 1 W 2 e W 1 W 3 então W 3 = W 1 (W 2 W 3 ). 31. Sejam V e W espaços vetoriais sobre um mesmo corpo, V 1 V e W 1 W. Prove que: (a) Se V 1 é subespaço de V e W 1 é subespaço de W então V 1 W 1 é subespaço de V W ; (b) V 1 W 1 V 1 W 1 ; (c) Em geral não se tem igualdade no item (b); (d) V 1 W 1 = (V 1 {0}) ({0} W 1 ). 32. Sejam V e W espaços vetoriais sobre um mesmo corpo. Mostre que V W é finitamente gerado se, e somente se, V e W são finitamente gerados. 33. Sejam V um espaço vetorial sobre K e S V conjunto L.I. Mostre que se v V não pode ser escrito como combinação linear de elementos de S, então S = S {v} é L.I. 34. Sejam V um espaço vetorial sobre K e {v 1,..., v n } um subconjunto de V. Prove: o conjunto {v 1,..., v n } é l.d. se, e somente se, algum dos vetores deste conjunto é combinação dos outros. 35. Sejam p, q, r e s polinômios de grau no máximo 3. Alguma das duas condições é suficiente para concluir que os polinômios são l.d.? (a) em 1 cada polinômio vale 0. (b) em 0 cada polinômio vale No espaço vetorial Z 3 3 decida quais dos seguintes conjuntos são L.I.: (a) S 1 = {( 1, 2, 0), ( 2, 1, 0)}; (b) S 2 = {( 1, 1, 1), ( 1, 0, 1), ( 1, 0, 0), ( 0, 0, 1)}; (c) S 3 = {( 1, 2, 0), ( 1, 1, 1), ( 2, 0, 1)}; (d) S 4 = {( 1, 0, 1), ( 1, 1, 0), ( 0, 1, 1)}. 37. Determine todos os subespaços de Z 2 3 e Z Seja p um número primo. Considere o espaço vetorial Z p -espaço vetorial V = (Z p ) n, com n 1. (a) Quantos elementos tem V? (b) Seja GL n (Z p ) o grupo das matrizes não singulares n n com entradas em Z p. Determine a ordem de GL n (Z p ). 39. Encontre bases de V = M 2 2 (Q) que estejam contidas nos seguintes conjuntos: 4

5 (a) W 1 = {A V ; A 2 = A}; (b) W 2 = {A V ; A é inversível}; (c) W 3 = {A V ; det A = 1}. 40. Se K é um corpo e W = {(x, y, x + y); x, y K}, determine a dimensão de K 3 /W. 41. Dê exemplo de um espaço vetorial V e subespaços V 1, V 2 e V 3 de V de modo que V = V 1 V 2 = V 2 V 3 = V 3 V 1. A dimensão do espaço V que você encontrou é ímpar? 42. Sejam X um conjunto não-vazio, V um espaço vetorial sobre K e {f 1,..., f n } um subconjunto l.i. de V X. Se Y é um conjunto não-vazio e g : Y X é uma função sobrejetora, prove que o conjunto {f 1 g,..., f n g} é L.I. 43. Mostre que o subconjunto {f 1, f 2, f 3 } de R R, onde f 1 (t) = cos t, f 2 (t) = sen t, e f 3 é um polinômio não-nulo, é l.i.. O que acontece se trocarmos f 3 por f 4, onde f 4 (t) = e t? 44. Sejam α 1, α 2,..., α n números reais distintos. Mostre que e α 1t, e α 2t,..., e αnt são L.I. sobre o corpo dos reais. 45. Dizemos que um subconjunto {x 0,..., x n } de cardinalidade n + 1 de R n está em posição adequada se o conjunto {x 1 x 0,..., x n x 0 } é L.I. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: (a) {x 0,..., x n } está em posição adequada; (b) Se α 0 x α n x n = 0 e α α n = 0, então α 0 =... = α n = Sejam W 1, W 2 e W 3 subespaços de dimensão finita de um espaço vetorial V. Prove: (a) dim W 1 = dim(w 1 + W 2 ) (W 1 + W 3) + dim W 1 W 3 dim(w 1 + W 2 ) W 3 ; (b) dim W 1 W 2 + dim(w 1 + W 2 ) W 3 = dim W 1 W 3 + dim(w 1 + W 3 ) W 2 ; (c) 2 dim(w 1 + W 2 + W 3 ) dim(w 1 + W 2 ) + dim(w 1 + W 3 ) + dim(w 2 + W 3 ); (d) 2(dim W 1 + dim W 2 + dim W 3 ) 3[dim(W 1 W 2 ) + dim W 2 W 3 + dim W 1 W 3 dim(w 1 W 2 W 3 )]; (e) dim(w 1 ) + dim(w 2 ) + dim(w 3 ) dim(w 1 + W 2 + W 3 ) max{dim(w 1 W 2 ), dim(w 1 W 3 ), dim(w 2 W 3 )}; (f) Se V = W 1 W 2 então 2 dim W 3 dim V dim(w 1 W 3 ) + dim(w 2 W 3 ) dim W Sejam V um espaço vetorial sobre K, de dimensão finita e W 1,..., W n subespaços de V tais que V = W W n. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: (a) V = W 1 W n ; (b) dim K V = dim K W dim K W n. 48. Seja W R 3 o subespaço formado por todas as soluções da equação linear homogénea x + 2y + 3z = 0. Descreva as classes de equivalência de W em R 3. 5

6 49. Seja W o subespaço de K n formado por todos os vetores cujas duas primeiras coordenadas são nulas. Mostre que dois vetores são congruentes módulo W se, e somente se, suas duas primeiras coordenadas são iguais. Conclua que cada classe de equivalência pode ser vista como um vetor com duas componentes, quais sejam, as duas coordenadas que eles possuem em comum. 50. Sejam V um espaço vetorial, W 1 e W 2 subespaços de V e u, v V. Prove que: (a) u + W 1 v + W 2 se, e somente se, u v W 2 e W 1 W 2 ; (b) (u + W 1 ) (v + W 2 ) = se, e somente se, u v W 1 + W 2 ; (c) Se w (u + W 1 ) (v + W 2 ) então (u + W 1 ) (v + W 2 ) = w + W 1 W 2 ; (d) Se V = W 1 W 2, então (u + W 1 ) (v + W 2 ) é um conjunto unitário. 51. Seja V = {A M 2 (C) : A 11 + A 22 = 0}. (a) Mostre que V é um espaço vetorial sobre R, com as operações usuais. (b) Encontre uma base para este espaço vetorial. (c) W = {A V : A 21 = A 12 }. Mostre que W é subespaço de V e encontre uma base para W. 52. Mostre que {(z 1, z 2 ), (w 1, w 2 )} C 2 é l.d. se, e somente se, z 1 w 2 = z 2 w Se K = Z 2, o subconjunto {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} de K é l.d.? e se K = Z 13? 54. Sob que condições impostas ao escalar α C os vetores {(0, 1, α), (α, 0, 1), (1 + α, 1, α)} formam uma base de C 3? 55. Seja V = F(R, C) o C espaço vetorial de todas as funções de R em C. Prove que {f 1, f 2, f 3 } é L.I. em V onde f 1 = f 1 (x) = 1, f 2 = f 2 (x) = e ix = cos x + isen x e f 3 = f 3 (x) = e ix para cada x R. 56. Seja B = {(i, 1 i, 2), (2, 1, i), (5 2i, 4, 1 i)} um subconjunto de C 3. (Considere C 3 como subespaço de C e de R) (a) B é um conjunto L.I.? (b) Decida se (3 + i, 4, 2) pertence ao conjunto gerado por B. 57. Mostre que o conjunto S das soluções do sistema linear homogêneo: 5x + y + 2z 3w = 0 6x + y 3z + 2w = 0 3x + y + 12z 13w = 0 é um R-espaço vetorial e exiba uma base de S. 58. Seja V = P 4 (R). Determine uma base de V contendo os polinômios: p 1 (x) = 1 + 2x x 2 + 3x 3 + 2x 4, p 2 (x) = 2 + 4x + x 2 + 6x 3 + 3x 4 e p 3 (x) = 1 + 2x + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4. 6

7 59. Considere V = M 3 2 (R). Verifique se o conjunto formado pelas matrizes: , 2 4, é L.I. ou l.d. pelo processo de escalonamento de matrizes. 60. Encontre uma base de R 4 contendo os vetores (1, 2, 2, 1), (1, 0, 2, 2). 61. Considere o subespaço vetorial W de P 4 (R) gerado pelo conjunto A = {1 + 2x + x 2 + 3x 3 + x 4, 1 2x 2x 2 2x 3 3x 4, 2 x 2 + x 3 2x 4, x x 3 + x 4, 3x 2 + 6x 3 + 3x 4 }. Determine uma base B de W que esteja contida em A. 62. Seja V = P 3 (R). Mostre que B = {1, 2 + x, 3x x 2, x x 3 } é base de V. Escreva as coordenadas de p(x) = 1 + x + x 2 + x 3 com relação à base B. 63. Seja S = {3, 2x, x 2 } uma base de P 2 (R). Determine o vetor coordenada de v = 6 4x+3x 2 em relação à base S. 64. Quais são as coordenadas do vetor x = (1, 0, 0) em relação à base B = {(1, 1, 1), ( 1, 1, 0), (1, 0, 1)} 65. ( A matriz ) de mudança de uma base B do R 2 para a base (1, 1), (0, 2) desse mesmo espaço é 1 2. Determinar a base B Mostre que os vetores v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 0, 1, 1), v 3 = (1, 0, 0, 4) e v 4 = (0, 0, 0, 2) formam uma base para R 4. Encontre as coordenadas de cada um dos vetores da base canónica, na base {v 1, v 2, v 3, v 4 }. 67. Encontre as coordenadas do vetor (1, 0, 1) C 3, na base B = {(2i, 1, 0), (2, 1, 1), (0, 1 + i, 1 i)}. 68. Seja o subespaço W = w 1 = (1, 0, i), w 2 = (1 + i, 1, 1) C (a) Mostre que os vetores v 1 = (1, 1, 0) e v 2 = (1, i, 1 + i) estão em W e formam uma outra base para W. (b) Quais são as coordenadas de w 1, w 2, na base ordenada {v 1, v 2 }. 70. Considere as bases B = {e 1, e 2, e 3 } e C = {g 1, g 2, g 3 } de R 3 assim relacionadas: g 1 = e 1 e 2 e 3 g 2 = 2e 2 + 3e 3 g 3 = 3e 1 + e Sejam B = {(1, 0), (0, 1)}, B 1 = {( 1, 1), (1, 1)}, B = {( 3, 1), ( 3, 1)}, B = {(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de R 2. (a) Ache as matrizes mudança de base: 7

8 i. [I] B 1 B ii. [I] B B 1 iii. [I] B B 2 iv. [I] B B 3 (b) Quais são as coordenadas do vetor u = (3, 2) em relação à base: i. B ii. B 1 iii. B 2 iv. B 3 (c) As coordenadas de um vetor u em relação à base B 1 são dadas por [u] B1 = (4, 0). Quais são as coordenadas de u em relação à base: B, B 2 e B Se [I] α α = (a) [u] α onde [u] α = (b) [u] α onde [u] α = ache Dê um exemplo de um espaço vetorial de dimensão infinita V e de subespaço W V tal que dim K (V/W ) = n, para cada n Sejam V = C 2 como R espaço vetorial e W = (i, 1), ( 1, 0) C 2. Encontre uma base de V/W. O temor do SENHOR é o princípio do conhecimento; os loucos desprezam a sabedoria e a instrução. Pv. 1:7 8

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