Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear Lista de Exercícios: Sistemas de Equações Lineares Prof. Lilian Caroline Xavier Candido 1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2x y + 3z = 11 4x 3y + 2z = 0 x + y + z = 6 3x + y + z = 4 2. Dado o sistema 3x + 5y = 1 2x + z = 3 5x + y z = 0 escreva a matriz ampliada associada ao sistema e reduza-a à forma escada reduzida por linhas, para resolver o sistema original. 3. Encontre todas as soluções do sistema x 1 + 3x 2 + 2x 3 + 3x 4 7x 5 = 14 2x 1 + 6x 2 + x 3 2x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 5 = 1 4. Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. (a) x 1 +2x 2 x 3 +3x 4 = 1 { x + y + z = 4 2x + 5y 2z = 3 x + y + z = 4 2x + 5y 2z = 3 x + 7y 7z = 5 { x 2y + 3z = 0 2x + 5y + 6z = 0 (e) (f) (g) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 x 4 = 4 x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 4 x 1 x 2 + x 3 + x 4 = 2 x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 0 3x + 2y + z = 0 3x + 2y 4z = 1 x y + z = 3 x y 3z = 3 3x + 3y 5z = 0 x + y + z = 1 5. Determine k, para que o sistema admita solução. 4x + 3y = 2 5x 4y = 0 2x y = k

2 6. Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas. 2x + 2y + 4z = a (a) 4x + 12y + 8z = a 2x + 5y + 3z = b 4y 4z = c 2x + 4y + 2z = a 3x + 8y + 5z = b 3x 4y z = c 6x + 11y + 8z = b 2x + 7y = c x + y z = a x + 2z = b y + z = c 7. Calcular o valor de k para que admita solução não-trivial o seguinte sistema: { 2x + 6y = 0 4x + ky = 0 8. Dado o sistema linear 3x + 5y + 12z w = 3 x + y + 4z w = 6 2y + 2z + w = 5 (a) Discuta a solução do sistema. Acrescente a equação 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema incompatível. 9. Determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções. (a) x + 2y 3z = 4 3x y + 5z = 2 4x + y + (a 2 14)z = a+2 x + 2y + z = 2 2x 2y + 3z = 1 x + 2y (a 2 3)z = a { x + 2y = 1 2x + (a 2 5)y = a 1 x + y + 7z = 7 2x + 3y + 17z = 16 x + 2y + (a 2 +1)z = 3a 10. Uma refinaria produz combustível com baixo e com alto teor de enxofre. Cada tonelada de combustível com baixo teor de enxofre necessita de 5 minutos no setor de mistura e de 4 minutos no setor de refinaria; cada tonelada de combustível com alto teor de enxofre necessita de 4 minutos no setor de mistura e de 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura fica disponível por 3 horas e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser produzidas de modo que esses dois setores não fiquem ociosos? 11. Um fabricante produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Cada tonelada de plástico normal necessita de 2 horas na máquina A e de 5 horas na máquina B; cada tonelada de plástico especial necessita de 2 horas na máquina A e de 3 horas na máquina B. Se a máquina A está disponível 8 horas por dia e a B, 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as máquinas sejam plenamente utilizadas? 12. Um nutricionista está planejando uma refeição contendo os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidratos. Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidratos. Cada grama do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidratos. Se a refeição precisa contem exatamente 25 unidades de proteínas, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidratos, quantos gramas de cada tipo de comida devem ser usados?

3 13. Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 15 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser tingida e 18 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para tingir, 11 horas por semana, e a bancada para envernizar, 18 horas por semana. Quantos móveis devem ser fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas sejam plenamente utilizadas? 14. Uma editora publica um best-seller em potencial com três encadernações diferentes: capa mole, capa dura e encadernação de luxo. Cada exemplar de capa mole necessita de 1 minuto para a costura e de 2 minutos para a cola. Cada exemplar de capa dura necessita de 2 minutos para a costura e de 4 minutos para a cola. Cada exemplar com encadernação de luxo necessita de 3 minutos para a costura e de 5 minutos para a cola. Se o local onde são feita as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local onde se cola fica disponível 11 horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados? 15. Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determinou-se que: i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. ii) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades, respectivamente, das vitaminas A, B e C. iii) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B. Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, (a) Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II, e III, que fornecem a quantidade de vitamina desejada. Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma solução custando exatamente R$1,00? 16. Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina C, 180 unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) de cada alimento, determinou-se que: i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. ii) O alimento II tem 9 unidades de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 0 unidades de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E. iii) O alimento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5 unidades de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. iv) O alimento IV tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 13 unidades de vitamina E. v) O alimento V tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 9 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada?

4 17. Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10m 2 140g de nitrato, 190g de fosfato e 205g de Dispõe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes características: i) Cada quilograma do adubo I custa 5 u.c.p. e contém 10g de nitrato, 10g de fosfato e 100g de ii) Cada quilograma do adubo II custa 6 u.c.p. e contém 10g de nitrato, 100g de fosfato e 30g de iii) Cada quilograma do adubo III custa 5 u.c.p. e contém 50g de nitrato, 20g de fosfato e 20g de iv) Cada quilograma do adubo IV custa 15 u.c.p. e contém 20g de nitrato, 40g de fosfato e 35g de Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54 u.c.p. a cada 10m 2 com adubação?

5 Respostas 1. x = 1; y = 2; z = 5 2. x = 7 16 ; y = 1 16 ; z = x 1 = 1 3x 2 x 5 ; x 3 = 2+x 5 ; x 4 = 3+2x 5 4. (a) x = z, y = z p a = 2 = p c, g.l. = 1 p a = 2 = p c, g.l. = 1, x = 3z, y = 0 (e) (f) p a = 3 = p c, g.l. = 0, x = y = z = 0 (g) (a) 2a 4b+c = 0 3a b+c = 0 2a b+c = 0 a+b c = 0 7. k = (a) Se a = 4, há uma infinidade de soluções; se a = 4, não há soluções; se a ±4, existe exatamente uma solução. Se a = 3, há uma infinidade de soluções; se a = 3, não há soluções; se a ±3, existe exatamente uma solução toneladas de cada tipo de combustível ,2 gramas de A; 4,2 gramas de B; 2,0 gramas de C cadeiras, 30 mesinhas de centro e 20 mesas de jantar Sejam x, y e z as quantidades de alimentos I, II e III respectivamente. (a) x = 5+3z; y = 8 3z onde 5 z Sim. x = 1, y = 2, z =