Max z= c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x c n x n. b 3. c ij : Coeficientes de Custos x j : Variáveis de Decisão. b i : Quantidade Disponível

Transcrição

1 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR

2 Maximizar Lucro, Espaço (Lay-Out: Recintos para Evento) Minimizar Custos Perdas Tempo

3 Max z= c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x c n x n Função objetivo s. a: a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 +a 2n x n = b 2 a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 +a 3n x n = b 3 Conjunto de Restrições a m1 x 1 +a m2 x +a 2 m3 x 3 +a mnx n = b m x 1, x 2, x 3,, x n 0 Condição de Não-negatividade c ij : Coeficientes de Custos x j : Variáveis de Decisão a ij : Coeficientes das Restrições b i : Quantidade Disponível

4 FORMA MATRICIAL DE UM PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO LINEAR Max z = c T x s. a: Ax = x 0 b C : Vetor de Custos X : Vetor de Variáveis de Decisão A : Matriz dos Coeficientes das Restrições b : Vetor de Disponibilidade

5 ROTEIRO PARA MODELAGEM MATEMÁTICA 1º) Quais são as variáveis de decisão? 2º) Qual é o objetivo? (Maximizar ou Minimizar) 3º) Quais são as restrições? 4º) Qual é o tipo de variável? (Inteira, binária, real, {0,1}, 0, 0)

6 Exemplo (Problema da Mistura) O corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas é de 30 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitamina e 6 de proteína. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitamina e 5 de proteína. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível, sabendo-se que cadaunidade de carnecusta$3,00 e cada unidade de ovo custa$1,00? 1º) Quais são as variáveis de decisão? x :Quantidade diária de carne y :Quantidade diária de ovos 2º) Qual é o objetivo? Minimizar Custos z= 3x + y 3º) Quais são as restrições? Quantidade diária de vitaminas (carne e ovos): 4x + 8y 32 Quantidade diária de proteínas (carne e ovos): 6x + 5y 30 4º) Qual é o tipo de variável? x 0, y 0 Min z= 3x+ y s. a: 4x + 8y 32 6x +5y 30 x, y 0

7 Exemplo (Problema de Transporte) Uma indústria produz em sua fábrica em São Paulo unidades de um determinado produto e unidades em outra fábrica em Belo Horizonte. Os pedidos de 3 varejistas e seus respectivos custos de transportar de cada fábrica para cada varejista são dados na tabela a seguir. Determinar o modelo que atenda a demanda a um custo mínimo. CUSTOS $ VAREJISTA 1 VAREJISTA 2 VAREJISTA 3 OFERTA FÁBRICA 1 $50 $100 $ FÁBRICA 2 $80 $90 $ DEMANDA º) Quais são as variáveis de decisão? x 11 :Quantidade enviado da fábrica 1 para o varejista 1 x 12 :Quantidade enviado da fábrica 1 para o varejista 2 x 13 :Quantidade enviado da fábrica 1 para o varejista 3 x 21 :Quantidade enviado da fábrica 2 para o varejista 1 x 22 :Quantidade enviado da fábrica 2 para o varejista 2 x 23 :Quantidade enviado da fábrica 2 para o varejista 3 2º) Qual é o objetivo? Minimizar z=50x x x x x x 23

8 Exemplo (Problema de Transporte) Uma indústria produz em sua fábrica em São Paulo unidades de um determinado produto e unidades em outra fábrica em Belo Horizonte. Os pedidos de 3 varejistas e seus respectivos custos de transportar de cada fábrica para cada varejista são dados na tabela a seguir. Determinar o modelo que atenda a demanda a um custo mínimo. CUSTOS $ VAREJISTA 1 VAREJISTA 2 VAREJISTA 3 OFERTA FÁBRICA 1 $50 $100 $ FÁBRICA 2 $80 $90 $ DEMANDA º) Quais são as restrições? Quantidade Demandada pelo Varejista 1: x 11 +x 21 = Quantidade Demandada pelo Varejista 2: x 12 +x 22 = 700 Quantidade Demandada pelo Varejista 1: x 11 +x 21 = Quantidade Demandada pelo Varejista 2: x 12 +x 22 = 700 Quantidade Demandada pelo Varejista 3: x 13 +x 23 = º) Qual é o tipo de variável? x ij 0

9 Exemplo (Problema de Transporte) Uma indústria produz em sua fábrica em São Paulo unidades de um determinado produto e unidades em outra fábrica em Belo Horizonte. Os pedidos de 3 varejistas e seus respectivos custos de transportar de cada fábrica para cada varejista são dados na tabela a seguir. Determinar o modelo que atenda a demanda a um custo mínimo. CUSTOS $ VAREJISTA 1 VAREJISTA 2 VAREJISTA 3 OFERTA FÁBRICA 1 $50 $100 $ FÁBRICA 2 $80 $90 $ DEMANDA Min z= 50x x x x x x 23 s. a: x 11 + x 12 + x 13 = x 21 + x 22 + x 23 = x 11 + x 21 = x 12 + x 22 = 700 x 13 + x 23 = 500 x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23 0

10 Exemplo (Problema de Sistema de Produção - Designação de Tarefas) Uma fábrica produz sapatos e cintos de couro. O lucro por unidade de sapato é de $300,00 e por unidade de cinto é de $200,00. O sapato consome 6 horas para ser fabricado e o cinto 2 horas. A fábrica dispõe de 160 horas de produção por mês. As demandas, por mês, não devem ultrapassar 50 unidades de sapatos e 80 unidades de cintos. Determine o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro desta fábrica. Variáveis de decisão: s: Quantidade de sapatos c : Quantidade de cintos Max z= 300s+200c s. a: 6s+ 2c = 160 (Horas) s 50 (Demanda de Sapatos) c 80 (Demanda de Cintos) s 0, c 0

11 Exemplo (Problema de Planejamento Agrícola) Um fazendeiro quer dividir sua propriedade em 3 atividades produtivas: Arrendamento(A): Plantação de cana-de-açúcar. O lucro é de $300,00 por Alq/Ano. Pecuária (P): Criação de gado. O pasto requer adubação (100kg/Alq) e l de água/alqde irrigação por ano. O lucroéde $400,00 por Alq/Ano. Plantio de Soja (S): Requer 200kg/Alq de adubos e l água/alq irrigação por ano.olucroéde $500,00 Alq/Ano. O fazendeiro tem os seguintes recursos disponíveis por ano: -Água: l -Adubo: kg -Terra: 100 Alqueires ( m 2 ) Variáveis de decisão: a: Quantidade Max z= 300a + 400p + 500s destinada ao s. a: p s (Água) arrendamento 100p + 200s (Adubo) p: Quantidade destinada à pecuária a +p + s 100 (Terra) s: Quantidade destinada à soja a 0, p 0, s 0

12 ATIVIDADE-1 (Problema da Dieta) Uma pessoa em dieta necessita ingerir pelo menos 40 unidades de vitamina A, 30 unidades de vitamina B e 20 unidades de vitamina C, que devem ser obtidas dos alimentos D 1 e D 2. A quantidade de vitaminas que os alimentos contêm por unidade e o preçounitáriode cada umdeles estão expressos natabela que se segue: VITAMINA A VITAMINA B VITAMINA C Custo $ ALIMENTO D $62,00 ALIMENTO D $74,00 Qual a programação de compra dos alimentos D 1 e D 2 que essa pessoa deve fazer para cumprir sua dieta ao menor custo possível?

13 ATIVIDADE-1 (Problema da Dieta-Resolução)

14 ATIVIDADE-2 (Problema da Produção) Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas de areia grossa com 47 m 3 para Loja-1, 89 m 3 para Loja-2, 72 m 3 para Loja-3 e 62 m 3 para Loja-4. Essa areia pode ser carregada nos portos P 1, P 2 e P 3, cujasdistâncias às lojas estãonoquadroque se segue,em Km: DISTÂNCIA KM LOJA 1 LOJA 2 LOJA 3 LOJA 4 PORTO PORTO PORTO Os portos têm areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas, e que supra as necessidades das lojas.

15 ATIVIDADE-2 (Problema da Produção-Resolução)

16 ATIVIDADE-3 (Fundo de Investimentos) Um fundo de investimentos tem até $ ,00 para aplicar em duas ações. A empresa BR é diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que forneça bonificações de 12 %. A empresa SK não é diversificada (produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificações de 20%. Para este investimento, o fundo está sujeito às seguintes restrições: (I) O investimento na empresa BR pode atingir $ ,00 (II) O investimento na empresa SK pode atingir $ ,00 (III) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir $ ,00 Qualéomodelo de investimentoque maximiza olucro?

17 ATIVIDADE-3 (Fundo de Investimentos-Resolução)

18 Somos o que pensamos... OBRIGADO! FIM