Gestão de Operações II. Prof. Marcio Cardoso Machado. Método Gráfico para Solução de Problemas de Programação Linear

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1 Gestão de Operações II Prof. Marcio Cardoso Machado Método Gráfico para Solução de Problemas de Programação Linear Será apresentada a resolução de um exercício e o gabarito dos demais. Exercício resolvido 1. Dado o problema de programação linear abaixo, utilize o método gráfico para obter a solução ótima. Maximizar L = 4x 1 + 8x 2 Respeitando as seguintes restrições: 3x 1 + 2x 2 18 x 1 + x 2 5 x 1 4 (R1) (R2) (R3) x 1 0, x 2 0 Passo 1: Construção do Gráfico Identificar a escala que será utilizada no gráfico: para isso, divida o lado direito das restrições pelos coeficientes das variáveis. O maior valo encontrado deverá ser utilizado para dimensionar os eixos X 1 e X 2. R1 18/3 = 6; 18/2 = 9; R2 5/1 = 5 5/1 = 5; R3 4/1 = 4 Como o maior foi nove, podemos usar uma escala com pelo menos 9 unidades. Nesse caso, foi usada uma escala até 10, conforme o gráfico abaixo:

2 Em seguida construir a linha de cada restrição no gráfico: Para isso, identificar dois pontos que serão usados para a construção das linhas, utilizando primeiro X 1 = 0 e depois X 2 = 0. R1 X 1 = 0 3x 1 + 2x 2 = 18 2x 2 = 18 x 2 = 18/2 x 2 = 9 R1 X 2 = 0 3x 1 + 2x 2 = 18 3x 1 = 18 x 1 = 18/3 x 1 = 6 Portanto, os pontos para a R1 serão (0,9) e (6,0). Repetir o mesmo procedimento para as outras restrições, e depois coloca-las no gráfico. Depois identificar a região de soluções, que será aquela área comum a todas as restrições, nesse caso a região hachurada na figura abaixo:

3 Construir a linha do lucro: Deve-se arbitrar um valor de lucro para obter a inclinação da curva do lucro no gráfico. Para saber qual o melhor valor a ser arbitrado, basta multiplicar um valor intermediário da escala dos eixos, por exemplo 4, pelos coeficientes de X 1 e X 2, da função do lucro: L = 4x 1 + 8x 2 4 x 4 = 16 e 4 x 8 = 32 Usaremos então o maior valor, nesse caso 32, como o valor do lucro arbitrado. Assim podemos encontrar os pontos para desenhar a linha do custo no gráfico, assim como foi feito na restrição 1 (R1). L X 1 = 0 L = 4x 1 + 8x 2 32 = 8x 2 x 2 = 32/8 x 2 = 4 L X 2 = 0 L = 4x 1 + 8x 2 32 = 4x 1 x 1 = 32/4 x 1 = 8 Portanto, os pontos para a R1 serão (0,4) e (8,0). O máximo lucro corresponde ao ponto (0,5) que é o último ponto dentro da região de soluções quando deslocamos a curva de lucro para cima.

4 2. Resolver o problema de programação linear utilizando o método gráfico. Maximizar L = 2x 1 + 3x 2 Respeitando as seguintes restrições: 4x 1 + 6x 2 60 (R1) x 1 + x 2 12 (R2) x 1 0, x 2 0 O Lucro Máximo é R$ 30,00 no ponto X 1=0 e X 2=10

5 3. Resolver o problema de programação linear utilizando o método gráfico. Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2 Respeitando as seguintes restrições: - x1 + 2x2 4 (R1) x1 + 2x2 6 1x1 + 3x2 9 (R2) (R3) x1 0, x2 0 O Lucro Máximo é R$ 12,00 no ponto X 1=6 e X 2=0

6 4. Resolver o problema de programação linear utilizando o método gráfico. Minimizar Custo = 10x1 + 12x2 Respeitando as seguintes restrições: x1 + x2 20 x1 + x2 10 (R1) (R2) 5x1 + 6x2 54 (R3) x1 0, x2 0 Nesse caso trata-se de minimizar custo, portanto o ponto de mínimo custo é X 1=10,8 e X 2=0, com um custo de R$ 108,00 nesse ponto. Qualquer outro ponto na região representará custos maiores.

7 6. Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de produção na primeira fábrica é de R$ e o da segunda fábrica é de R$ 2.000, por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda fábrica produz 2 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos mais economicamente? Utilize o método gráfico. Modelo: X 1 = dias que a fábrica 1 deve operar. X 2 = dias que a fábrica 2 deve operar. F. O. = minimizar custo C = 1000X X 2 sujeito a: 8x 1 + 2X x 1 + 1X 2 6 2x 1 + 7X 2 28 (R1) (R2) (R3) x1 0, x2 0 Nesse caso trata-se de minimizar custo, portanto o ponto de mínimo custo é X 1=2,8 e X 2=3,2, com um custo de R$ 108,00 nesse ponto. Qualquer outro ponto na região representará custos maiores.

8 7. Entre os quais janelas e portas de vidro. A empresa possui três fábricas industriais. As esquadrias de alumínio e ferragens são feitas na Fábrica 1, as esquadrias de madeira são produzidas na Fábrica 2 e, finalmente, a Fábrica 3 produz o vidro e monta os produtos. Em consequência da queda nos ganhos, a direção decidiu modernizar a linha de produtos da empresa. Produtos não rentáveis estão sendo descontinuados, liberando capacidade produtiva para o lançamento de dois novos produtos com grande potencial de vendas: Produto 1: Uma porta de vidro de 2,5 m com esquadria de alumínio. Produto 2: Uma janela duplamente adornada com esquadrias de madeira de 1,20X 1,80m O produto 1 requer parte da capacidade produtiva das Fábricas 1 e 3, mas nenhuma da Fábrica 2. O produto 2 precisa apenas das Fábricas 2 e 3. A divisão de marketing concluiu que a empresa poderia vender tanto quanto fosse possível produzir desses produtos por essas fábricas. Entretanto, pelo fato de ambos os produtos poderem estar competindo pela mesma capacidade produtiva na Fábrica 3, não está claro qual Mix dos dois produtos seria o mais lucrativo. Portanto, foi constituída uma equipe de PO para estudar essa questão. A equipe de PO começou promovendo discussões com a alta direção para identificar os objetivos da diretoria para tal estudo. Essas discussões levaram à seguinte definição do problema: Determinar quais devem ser as taxas de produção para ambos os produtos de modo a maximizar o lucro total, sujeito às restrições impostas pelas capacidades produtivas limitadas disponíveis nas três fábricas. (Cada produto será fabricado em lotes de 20, de forma que a taxa de produção é definida como o número de lotes produzidos por semana.) É permitida qualquer combinação de taxas de produção que satisfaça essas restrições, inclusive não produzir nada de um produto e o máximo possível do outro. X 1 = Quantidade de lotes do Produto 1 por semana X 2 = Quantidade de lotes do Produto 2 por semana F.O. = Maximizar o Lucro L = 3000 X X 2 sujeito a: x 1 4 (R1) X 2 12 (R2) 3x 1 + 2X 2 18 (R3) x1 0, x2 0

9 O Lucro Máximo é R$ ,00 no ponto X1=2 e X2=6