Programação Matemática Lista 3

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1 Programação Matemática Lista 3. Coloque na forma padrão os seguintes problemas de programação linear: a) Maximizar X 7 X + 8 X 3 +X 4 X + X X 3 + X 4 4 X + X 3 9 X + X 3 + X 4 6 X 0, X 0, X 3 0, X 4 0 b) Minimizar 3 X 3 X + 7 X 3 X + X + X 3 40 X +9 X - 7 X X + 3 X X 0, X 0, X 3 0 c) Maximizar -X + X -3X 3 X + X + X 3 5 X + X - X X + 3 X 00 X 0, X 0, X 3 livre. Escreva uma solução factível para o problema (a). A solução que voce escreveu é básica? Senão for escreva uma solução básica para o problema (a). 3. Escreva o problema (a) na forma matricial. 4. Escreva a matriz A e os vetores b e c (função objetivo) do problema (c). 5. Transforme o problema (a) em um problema de mínimo equivalente. 6. Esboce as regiões factíveis do conjunto {x Ax b e } onde A e b são dados abaixo. A região factível é vazia? É limitada? 6 4 a) A = b = 6 b) A = b = c) A = b = 5 7. Dado o problema de Programação Linear abaixo, transforme as restrições em um sistema de equações lineares, calcule todas as soluções básicas, informe quais soluções são viáveis e indique qual é a solução ótima. a) maximizar z = x + x sujeito a: x + 5.x 5.x + x 4 b) maximizar z = 3.x + 4.x sujeito a:.x + x 6.x + 3.x 9

2 c) maximizar z = 5.x +.x sujeito a: x +.x 9 x 3 x 4 8. Para a forma padrão da programação linear, defina clara e sucintamente: a) solução básica; b) solução factível; c) solução básica factível; d) solução ótima; e) solução básica ótima; f) indique as condições para que uma solução factível não seja básica; g) indique as condições para que uma solução factível não seja ótima. 9. Considere os problemas: a) Maximizar f(x, x ) = -3x + x x + x 4 x 0, x 0 c) Minimizar f(x, x ) = x + x -x + x x 0, x 0. Resp. (0 ) Resp. (0 ) Para cada um dos problemas, responda as seguintes questões: b) Minimizar f(x, x ) = - x + x x + x 4 x + x 3 x 0, x 0 Resp. (0 ) d) Minimizar f(x, x ) = x + x -x + x x 0, x 0. Resp. Infactível a. Resolva o problema graficamente (isto é, desenhe a região factível e a(s) solução(ões) ótima(s) ). b. A solução x = x = 0 é um vértice da região factível? Identifique todos os vértices da região factível. c. Desenhe as soluções x =( x x )=( ) e x =( x x )=(5, ). Estas soluções são factíveis? Por que? d. Considere agora uma outra função objetivo: Minimizar f(x, x ) = x - x. Verifique se a solução ótima obtida no item a. é também ótima considerando esta nova função objetivo. Há múltiplas soluções ótimas? Identifique no gráfico. e. Considere que o valor de b seja incrementado de unidade, o que aconteceria com a solução do problema? 0. Considere a região de factibilidade dada pelas seguintes restrições: x + x x 0, x 0

3 a) reescreva as restrições na forma padrão. b) encontre todas as soluções básicas para o sistema. c) dada a solução básica (0 0 6 ), escreva o sistema na forma B X B = b NB X NB. d) qual o valor máximo que x pode assumir no sistema dado em (c) de modo que obtenhamos uma nova solução básica factível? ) Utilize o Método Simplex para resolver os seguintes problemas. maximizar z = 0.x +.x. maximizar z =.x +.x sujeito a:.x + 5.x sujeito a:.x + 5.x 5.x +.x 4 3. maximizar z = 3.x + 4.x sujeito a:.x +.x 6.x + 3.x 9 4. minimizar z =.x +.x sujeito a:.x + 3.x.x +.x 9 ) Utilize o Método Simplex na forma de tabelas para resolver os seguintes problemas. a. maximizar z =.x +.x + 3.x 3 +.x 4 sujeito a: 3.x +.x +.x x x + 3.x +.x x 4 5 b. maximizar z =.x + 9.x +.x 3 sujeito a:.x +.x + 3.x x +.x +.x 3 5 3) Uma pequena fábrica de papel toalha manufatura três tipos de produtos A, B e C. A fábrica recebe o papel em grandes rolos. O papel é cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção a uma preço constante. O lucro unitário de cada produto é respectivamente R$,00, R$.5, e R$,00. A tabela abaixo indica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis, que trabalham 40 horas por semana. Planeje a produção semanal da fábrica. Seção Produto A Produto B Produto C Quantidade de máquina Corte Dobra Empacotamento 0.7 4)(Livro -Bazaara, M. e J.J. Javis - Linear Programming and Network Flows - John Wiley, 977). Resolva o problema abaixo pelo método simplex começando com a solução básica factível (x,x ) = (4,0). max -x + x s.a 3x + 4x = x - x 3

4 x, x 0 5) (Bazaara, M. e J.J. Javis - Linear Programming and Network Flows - John Wiley, 977). Resolva o seguinte problema pelo método simplex e, a cada iteração, identifique B e B -. 6) Considere o problema: Encontre a solução básica factível onde as variáveis x, x e x4 são básicas. Esta solução é ótima? Senão, encontre a solução ótima partindo desta solução. 7) Considere o problema: Mostre, usando o método simplex, que o problema é infactível. Obs. Importante, esta lista é apenas um apoio ao estudo, é necessário estudar todos os conceitos apresentados na apostila, pois a prova conterá questões teóricas. 8) verifique, usando o método simplex, que o problema abaixo é ilimitado. 9) O objetivo deste exercício é examinar o que acontece com a solução ótima do problema quando pequenas modificações no mesmo ocorrem. 4

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