4- Dualidade em Programação Linear

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1 4- Dualidade em Programação Linear 4.1- Introdução Considere o problema clássico da dieta: (problema primal): Quer-se consumir quantidades de determinados alimentos de tal forma a satisfazer as necessidades mínimas de nutrientes exigidas a um custo mínimo dispendido, problema este ilustrado pelo quadro seguinte. alimentos necessidades mín. de nutrientes a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 proteínas (g) (4.1) sais minerais (g) custo (R$) Considerando-se: a ij : percentual do componente i presente no alimento j; x j : quantidade do componente j presente na dieta a ser feita; c j : preço por grama de cada ingrediente; b i : quantidade mínima de cada ingrediente a ser consumida na dieta. a j : coluna j da matriz do sistema; Então, o Modelo Primal pode ser sistematizado da seguinte forma: minimizar 25 x x x x x Formulação do modelo dual 3 x x x x x 5 42 sujeito a : 2 x x x x x 5 24 x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 0 Suponha que um vendedor de pílulas e sais minerais propõe substituir a dieta de alimentos expressa de acordo com o quadro (4.1), por uma dieta de pílulas, com as seguintes condições: 1- a pílula de uma unidade (g) de proteína custará w 1 ; 2- sais minerais w 2 ; 3- os preços w 1 e w 2 serão fixados arbitrariamente; 4- o vendedor garante que as pílulas terão preços iguais ou mais baratos que qualquer alimento; 5- o vendedor pretende, é claro, maximizar sua renda de modo a satisfazer a necessidade da dieta; 59

2 Para o problema posto, tem-se o modelo visto a seguir: maximizar 42 w w 2 3 w w w w 2 35 sujeito a: 5 w w 2 50 (4.2) 3 w w w w 2 36 w 1 ; w 2 0 A cada modelo de Programação Linear, contendo coeficientes a ij, b i e c j, corresponde um outro modelo, formado por esses mesmos coeficientes, porém dispostos de maneira diferente. Ao modelo original, visto em 4.1, dá-se o nome de Modelo Primal, enquanto qua ao outro modelo visto em (4.2),denomina-se de Modelo Dual. Sobre estes dois modelos estão relacionadas propriedades que estabelecem que: a) se a função objetivo do primal é de minimização, então a função objetivo do dual é de maximização; b) os termos independentes das restrições do dual são coeficientes da função objetivo do primal; c) os coeficientes da função objetivo do dual são os termos independentes das restrições do primal; e) o número de variáveis do dual é igual ao número de restrições do primal; f) o número de restrições do dual é igual ao número de variáveis do primal; g) a matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal; Definição 4.1: Dado um Problema de Programação Linear (PP): min c t x ; c,x R n s.a. Ax b; A R mxn, b R m x 0 O dual de (PP) é expresso por: (PD): max b t w ; b,w R m s.a. A t x b; A t R nxm, c R n w Propriedades Propriedade 4.3.1: O dual do dual é o primal. Demonstração: 60

3 Seja o problema primal: (PP): min c t x ; c,x R n s.a. Ax b; A R mxn, b R m x 0 Pela definição 4.1, o seu dual é: (PD): max b t w ; b,w R m s.a. A t x b; A t R nxm, c R n w 0 Vamos determinar o dual de PD. Para isso, vamos transformá-lo num problema de minimização e vamos também mudar o tipo de desigualdade da restrição para poder utilizar a definição 4.1. Então, temos: (PD): -min -b t w ; b,w R m s.a. -A t w - c; A t R nxm, c R n w 0 Logo, o dual de PD é: (PD ): ): -max -c t u ; c,u R m s.a. -Au -c; A R mxn, b R m w 0 que é equivalente a: (PD ): min c t u ; c,u R n s.a. Au b; A R mxn, b R m u 0 que é equivalente ao problema primal (PP). Propriedade 4.3.2: Se a restrição k do primal é de igualdade, então a variável w k do dual é irrestrita. Demonstração: Seja o problema primal: (PP): min c t x ; c,x R n s.a. Ax = b; A R mxn, b R m x 0 que pode ser transformado na forma: min c t x ; c,x R n s.a. Ax b; A R mxn, b R m Ax b x 0 ou min c t x ; c,x R n 61

4 s.a. Ax b; A R mxn, b R m -Ax -b x 0 Sejam, então, A = A, b = b e w = w A -b w 2 O dual, por definição, será: (PD): max b t w ; b, w R 2m s.a. A t x c; A t R nx2m, c R n w 0, ou seja (PD): max (b b ) w 1 w 2 s.a. A w 1 -A w 2 c w 1, w 2 0 ou, ainda, PD): max b t w 1 - b t w 2 s.a. A t w 1 A t w 2 0; A t R nxm, c R n w 1, w 2 0 ou (PD): max b t (w 1 - w 2 ) s.a. A t (w 1 w 2 ) 0 w 1, w 2 0 Substituindo w 1 w 2 por u, teremos que u = w 1 w 2, u é livre de sinal, pois w 1 0 e w 2 0. Portanto, a forma final do problema dual de (PP), será: (PD): max b t u ; b,u R m s.a. A t u b; A t R nxm, c R n u é irrestrito. Nas propriedades que seguem, as demonstrações são análogas àquela vista para a propriedade e não serão vistas aqui. Propriedade 4.3.3: Se a restrição k do primal é do tipo maior ou igual, então a variável w k do dual é não positiva. Propriedade 4.3.4: 62

5 Se a variável x p do primal é sem restrição de sinal, então a restrição p do dual é de igualdade. Propriedade 4.3.5: Se a variável x p do primal é não-positiva, então a restrição p do dual é do tipo maior ou igual. O quadro visto a seguir estabelece a relação direta entre as propriedades relativas aos problemas Primal e Dual: Primal (Min.) Dual (Max.) restrição k é w k 0 restrição k é = w k é qualquer restrição k é w k 0 x k restrição k é x k é qualquer restrição k é = x k restrição k é Dual (min.) Primal (max.) 4.4- Teoremas Básicos da Dualidade Os teoremas que serão vistos a seguir estarão baseados nos seguintes pares de problemas: Problema Primal (PP) Problema dual (PD) minimizar z = c T x maximizar d = w T b Ax = b sujeito a x 0 sujeito a A T w c; onde A R mxn ; x, c R n ; b, w R m, A T R nxm e obviamente poderão ser estendidos para qualquer outra definição de pares primal e dual diferentes destes. Teorema 4.4.1: Nas hipóteses dos problemas primal e dual serem factíveis é válido que a função objetivo dual é um limitante inferior para a função objetivo primal, ou seja, w T b c T x para x primal factível e w dual factível. Prova: Para uma solução primal factível x tem-se que o sistema de soluções está satisfeito, isto é, Ax = b, enquanto que A T w c, para w dual factível. Assim: w T b = w T Ax c T x. Portanto w T b c T x e o resultado segue. 63

6 Assim, a função dual fornece um limitante inferior à função primal, que deseja-se minimizar. Isto sugere que deve-se escolher w R m tal que forneça o maior limitante inferior para a função objetivo primal, por isso, é interessante tentar-se maximizar a função dual. Teorema 4.4.2: Se B é a base relacionada à solução ótima de (PP) então o vetor multiplicador w T = c B T B -1 é a solução ótima de (PD). Prova: Considerando-se a partição de A = [B,N], foi visto que pode-se escrever: BxB + Nx N = b T T cbxb + cnxn = z B BxB + B Nx N = B b T T cbxb + cnxn = z T 1 T 1 T 1 cbb BxB + cbb NxN = c BB b ( I) T T cbxb + cnx N = z II ( ) Subtraindo-se (I) de (II) : ( c T B - w T B) x B + (c T N - w T N) x N = z - w T b. Se x é uma solução básica factível então: x B = B -1 b; x N = 0; c T B - w T B = 0 e existe alguma componente de custo relativo não básico (c N T - w T N) i < 0. Assim (x N ) i é uma variável não básica candidata a entrar na base. Se x é uma solução ótima para o problema (PP), então: x B = B -1 b; x N = 0; c B T - w T B = 0 e (c N T - w T N) 0 (hipótese). Assim, de c B T - w T B = 0 e (c N T - w T N) 0 pode-se concluir que: w T [B,N] [c B T, c N T ] w T A c T A T w c. Portanto, w T = c B T B -1 é uma solução básica factível Dual. Como B é a base ótima de (PP), não é mais possível haver troca de base, então w T = c B T B -1 é a solução ótima de (PD), e a prova está completa. Teorema 4.4.3: ( Teorema fundamental da dualidade em P.L.) Considere os pares de problemas (PP) e (PD). Se um dos problemas tiver solução ótima, então o outro também terá solução ótima. Considerando-se x * R n, a solução ótima do problema primal (PP) e w* R m, a solução ótima do problema dual (PD), então a seguinte igualdade é válida: c T x * = (w * ) T b. Prova: A primeira parte do teorema está demonstrada no teorema Resta demonstrar que: c T x * = (w * ) T b. Mas c T x * = c T B x B = c T B B -1 b = (w * ) T b. Como c T x c T x * = (w * ) T b w T b pelo teorema 5.4.1, então pode-se concluir que x * é a solução ótima de (PP) e w * é a solução ótima de (PD). 64

7 Observação: Viu-se que, se x é uma solução básica factível então: x B = B -1 b; x N = 0; c B T - w T B = 0 e se existe alguma componente de custo relativo não básico (c T N - w T N) i < 0, (x N ) i era candidata a entrar na base. Isto quer dizer que, existe alguma componente w i infactível pois a restrição (c T N - w T N) i < 0 está sendo violada. O método dual-simplex a ser visto baseia-se nesta infactibilidade para efetuar troca de soluções, ou seja, parte da infactibilidade das componentes w i e vai efetuando trocas de base até acabar com todas estas infactibilidades. Quando isto ocorrer é porque x B = B -1 b; x N = 0; c T B - w T B = 0 e (c T N - w T N) 0 e os dois problemas (PP) e (PD) estarão resolvidos, com x sendo uma solução ótima para o problema (PP) w uma solução ótima para o problema (PD). Corolário 4.4.1: Se um dos problemas tiver solução ótima finita o outro também terá. Teorema 4.4.4: Se um dos problemas é ilimitado o outro é infactível. Este teorema pode ser ilustrado com o seguinte exemplo: ( PP ) minimizar z = -3x 1 + 2x 2 x1 + 2x2 4 sujeito a x1 x2 3 x1, x2 0 Determinando-se (PD) e resolvendo-se (PP) e (PD) geometricamente, ilustra-se o resultado desejado. Teorema 4.4.5: Se um dos problemas é infactível o outro é ilimitado ou infactível. O exemplo a seguir ilustra esse resultado: (PP) minimizar z = -x 1 - x 2 x1 x2 1 sujeito a: x1 + x2 1 x1, x2 0 Determinando-se (PD) e resolvendo-se (PP) e (PD) geometricamente, temse o resultado esperado Quadro resumo de Corolários e Teoremas Básicos da Dualidade 65

8 Dual Primal Tem solução factível Não tem solução factível 4.5- Folgas Complementares Tem solução factível Mín z = Máx d max d = Não tem solução factível Min z = - Pode ocorrer A resolução de um Problema de Programação Pinear pode ser obtida resolvendo-se o sistema conjunto: c T x - w T b = 0; Ax = b, x 0 ; A T w c A T w + w F = 0, w F 0. A primeira equação c T x - w T b = 0, pode ser escrita por: c T x - w T Ax = 0 (c T - w T A) x = 0. Esta equação relaciona as variáveis de folga do problema dual w F com as variáveis primais x, onde w F = c T - w T A. Para w F dual factível e x primal factível tem-se w F 0 e x 0. Logo, (c T - w T A) x = 0 (c i T - w T a i ) x i = 0 para i = 1,...,n; qual é equivalente à seguinte relação de complementariedade: (c i T - w T a i ) > 0 x i = 0; (c T i - w T a i ) = 0 x i > 0. Assim, para x e w soluções ótimas de (PP) e (PD), respectivamente, se a i-ésima restrição do dual for inativa ((c T i - w T a i ) > 0 ) então a correspondente variável primal será nula ( caso contrário c T x w T b ). Se a i-ésima variável primal for positiva então a correspondente restrição dual será ativa ((c T i - w T a i ) = 0). Esta propriedade é conhecida na literatura como condições das folgas complementares, que são condições necessárias e suficientes que interrelacionam soluções factíveis e estabelecem um critério para atingir a otimalidade do PPL. Estas podem ser enunciadas no seguinte teorema. Teorema 4.5.1: ( Teorema das folgas complementares) Considerando-se x * e w * soluções factíveis de (PP) e (PD) respectivamente, então, se x * e w * são soluções ótimas para (PP) e (PD) tem-se: o valor ótimo da variável w * i do dual é igual ao coeficiente na linha dos custos relativos ótima, da variável de folga x * n+i do primal, isto é, w * i = r * n+i (i=1,...,m); o valor da variável de folga w * m+j do dual é igual ao coeficiente de custo relativo ótimo, x j do primal, isto é, w * m+j = r * j (j=1,...,n). 66

9 Este teorema tem o seu nome devido ao fato das variáveis de folga do dual e as variáveis de folga do primal estarem ligadas entre si. Porisso é que se diz que as soluções do primal e do dual são complementares entre si. Corolário 4.5.1: (w * * F ) i = 0 quando x n+ i > 0 (i = 1, 2,, m) isto é, se na solução ótima do primal, a variável de folga x n+i * for básica, então a variável do dual (w * F ) i é não básica. (w * F ) m+j = 0 quando x j * > 0 (j = 1, 2,,n), isto é, se na solução ótima do primal, a variável x j * for básica, então a variável de folga do dual (w * F ) m+i é não básica. Na próxima seção será visto em detalhes o método Dual-Simplex O Método Dual - Simplex O método Dual-Simplex é aplicado na situação em que a solução inicial do primal é infactível, porém os elementos da função objetivo são todos nãonegativos. O método procura alcançar a factibilidade primal, transfornando as variáveis x j negativas em não negativas, mas preservando a factibilidade dual, ou seja, mantendo os coeficientes de custo relativo não negativos Resumo do método 67

10 Suponha que em uma iteração corrente o quadro do método apresente as seguintes características: a) Todos os elementos do vetor custo relativo são não-negativos, ou seja, (r N ) j 0, j = 1, 2,, n. Esta condição é denominada de otimalidade primal ou solução dual factível. b) Exista pelo menos um elemento (x B ) i < 0, ou seja, a condição de não negatividade das variáveis primais não é atendida. Diz-se que a solução é primal infactível. Antes de definir-se completamente os passos do método dual-simplex, ilustremo-lo com o seguinte exemplo. Exemplo 4.6.1: Seja o problema de programação linear primal: Min = 3 w w w 3 s.a w 1 + w 3 5 w w 3 2 w 1, w 2, w 3 0 Problema dual: Max z = 5 x x 2 x 1 3 x 2 4 x x 2 9 x 1 e x 2 0 Resolvendo o primal pelo método dual-simplex: Forma padrão: Min = 3 w w w 3 s.a w 1 + w 3 - w 4 = 5 w w 3 - w 5 = 2 w 1,, w 5 0 Para iniciarmos o método devemos ter-se b i < 0 então multiplicando-se por (-1), as equações do sistema, tem-se:: Min = 3 w w w 3 s.a - w 1 - w 3 + w 4 = -5 - w 2-2 w 3 + w 5 = -2 w 1,, w 5 0 Quadro 1: w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w w ) Variável que sai da base: 68

11 b 4 = ε= min { -5, -2} = -5 w 4 sai da base (a linha pivô é a linha 1). 2) Variável que entra na base: Min =,,,, =3 w 1 entra na base e o elemento pivô da eliminação gaussiana e a 11 = -1. 3) Pivoteamento em torno de a 11 : Quadro 2: w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w w ) Variável que sai na base: w 5 = -2 sai da base (linha pivô 2). 2) Variável que entra na base: Min =,,,, = 3 w 3 entra na base (elemento pivô: a 23 = -2) ) Pivoteamento em torno de a 22 : Quadro 3: w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 1 1-1/ /2 4 w 3 0 1/ / Portanto, como não há nenhum b i < 0, o quadro é ótimo, com w* = (4, 0,1,0,0) e z* = 21. Vamos resolver o Problema dual e comparar sua solução com o Problema primal. Forma padrão: Max z = 5 x x 2 z - 5 x 1-2 x 2 = 0 x 1 + x 3 = 3 x 2 + x 4 = 4 x x 2 + x 5 = 9 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Quadro 1: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x z ) Variável que entra na base: x 1 entra pois o seu coeficiente na função objetivo é mais negativo. 2) Variável que sai da base: 69

12 ε = mínimo { 3/1, 4/0, 9/1} = 3. Portanto x 3 sai da base. O elemento pivô é a 11 = 1. 3) Pivoteamento em torno de a 11, obtendo o quadro 2: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x z ) Variável que entra na base: x 2 entra pois o seu coeficiente de custo relativo é negativo. 2) Variável que sai da base: ε = mínimo { 3/0, 4/1, 6/2} = 3. Portanto x 5 sai da base. O elemento pivô é a 31 = 2. 3) Pivoteamento em torno de a 31, obtendo o quadro 3: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x x /2 1-1/2 1 x /2 0 1/2 3 -z Definição dos passos do método Dual-Simplex Considere D = { w R m tal que A T w c }. Considere também uma partição da matriz A = [B,N] e uma solução corrente w. b Teorema : w é um vértice de D se e somente se existirem m restrições ativas em w, com os gradientes linearmente independentes, isto é, com uma base B R mxm, associada a estas m restrições ativas, isto é, w é dual factível. Definição : Se alguma restrição dual associada a uma coluna não-básica for ativa, istp é, a T Nj w = c Nj, dizemos que w é dual degenerada ou a partição A = [B,N] é dual degenerada. 70

13 Teorema : Se o problema primal tiver solução ótima então existirá pelo menos um vértice ótimo. As provas dos teoremas vistos são deixadas como exercício pois são análogas às demonstrações feitas para o problema primal Direções duais factíveis Suponha conhecida uma partição dual factível, isto é, B -1 tal que ( w )=c T B B -1 e que esta seja uma partição não degenerada. Se quiser-se determinar uma nova solução w = w + ε d com ε 0, então deve-se satisfazer: A T ( w + ε d) c B T ( w + ε d) c B. Desde que, B T ( w ) = c B B T d 0. Isto é equivalente a, a T B d 0, para i = 1,...,m. i Note que, há duas possibilidades: i) a T B d = 0 a T i B ( w + ε d) = c i B i ; (sempre estará satisfeita) ii) a T B d 0 a T i B ( w + ε d) c i B i ; Assim, a nova solução deixará de ser ativa apenas para as restrições em que ii) ocorra. A estratégia dual-simplex consiste em definir a direção d de tal forma que apenas uma restrição deixe de ser ativa, para se obter a nova solução. Para isto, a direção é definida da seguinte maneira: B T d j = - e j ; assim, a j-ésima restrição deixará de ser ativa na nova solução. Para esta escolha tem-se que: d j = - (B T ) -1 j, onde (B T ) -1 j é a j-ésima linha de B -1. Teorema : Para j =1,...,m; as direções d j são linearmente independentes e definem uma base para o conjunto de direções factíveis de D Definição do tamanho do passo ε. Como a solução é não degenerada, segue que ε > 0 tal que: a T Nj ( w + εd) c N j ; para i = 1,...,n-m e esta equação será sempre satisfeita desde que: 71

14 ε c a w N j a T Nj T N j d com a T Nj d > 0. Assim, se escolher-se: T c a w ε = = min c a T w N r N r N j N j T j { / a d > 0 } ; T r T j Nj a d a d Nr a r-ésima restrição não básica torna-se ativa enquanto que uma das restrições básicas deixa de ser ativa. Por exemplo, se j = k, então a k-ésima restrição não básica torna-se inativa Acréscimo da função objetivo dual. Da forma que foi definida d tem-se que esta direção é uma direção de subida, isto é, de acréscimo da função o bjetivo dual. Para a solução corrente tem-se : d = b T w. Para a nova solução terá-se: d = b T ( w + ε d k ) = d + ε b T d k. Note que, à solução básica primal associada à partição básica vale: xb = B -1 b; e k-ésima componente de xb é: xbk. Então, Nj xbk = (B -1 ) k b = - ( d k ) T b; d = d - ε xbk. Assim, se xbk < 0, a função dual tem um acréscimo linear com a taxa - Desta forma, a infactibilidade da solução básica primal produz uma direção de subida para a função objetivo dual Os passos do método Dual-Simplex. Passo 1: Determine uma solução básica dual ( w )= c T B B -1 e calcule a solução básica primal B x B = b. Passo 2: Se x B 0, pare, pois não é mais possível obter acréscimos para a função objetivo dual. Caso contrário: Seleção da variável a deixar a base: Escolha uma das variáveis negativas, de preferência a mais negativa: (x B ) k = min { (x B ) i tal que (x B ) i < 0}. Assim, a variável básica corresponde à linha k sai da base e a linha k é a linha pivô. 72

15 Passo 3: Determine d k tal que: B T d k = - e k ; Passo 4: Seleção da variável a entrar na base: Determine r tal que: Se a T Nj T c a w ε = = min c a w N r N r N j T j { / a d > 0 } T r T j Nj a d a d Nr Nj T N j d k 0, par j = 1,...,n-m; então o problema dual é ilimitado e então o problema dual é infactível. Pare. Caso contrário vá para o passo seguinte. Passo 5: Atualize a partição básica trocando-se a k-ésima coluna de B pela r-ésima coluna de N, efetuando pivoteamento em a rk e volte ao passo 1. Observação: Se o problema dual for de minimização, há duas formas de tratá-lo. A primeira é aquela que consiste na conversão do problema para maximização. A outra, consite em inverter o critério de escolha da variável a entrar na base 4.7- Exercícios propostos 4.7.1) Dado o PPL primal: minimizar z = x 1 - x 2 + x 3 x1 9 sujeito a x1 + x2 + x3 2 ; x1, x2, x3 0 Pede-se: a) resolva o PPL primal pelo método simplex, identifique a solução dual; 73

16 b) determine o PPL dual, resolva-o pelo método dual-simplex e identifique a solução primal; c) Verifique que as soluções dos dois problemas satisfazem as condições do teorema das folgas complementares ) Resolva o seguinte PPL primal : maximizar z = 5x 1 + 6x 2 x1 + 3x2 5 sujeito a: 4x1 + 9x2 12 ; x1, x2 0 Suponha que façamos a seguinte mudança na função objetivo: maximizar (5-3u)x 1 + (6-4u)x 2 ; u 0. Determine a solução ótima do modelo em função de u ) Dado o PPL primal em função de f : maximizar z = 2 x x 2 + 3x 3 x1 + 2x2 + 2x3 12 sujeito a 2x1 + 4x2 + x3 f ; x1, x2, x3, f 0 Pede-se: a) determine o valor máximo de f para que a base ótima não se altere. b) Para valores de f maiores que aquele obtido em 2.1) resolva o problema pelo método dual-simplex até que não se consiga mais melhorar a função objetivo primal ) Utilize o método dual-simplex para resolver o PPL abaixo em função de λ : maximizar z = 2x 1 + 3x 2 x1 + 2x2 13 sujeito a: x1 + x λ ; x1, x2 0; λ 2 BIBLIOGRAFIA [1] SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1 e 2, Editora McGraw Hill, [2] CALLIOLI, Carlos A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C. F. Álgebra Linear e Aplicações. Atual Editora, [3] MACULAN, Nelson (Filho), PEREIRA, Mário Veiga Ferraz, Programação Linear, Editora Atlas,

17 [4] LUENBERGER, David G., Linear and Nonlinear Programming, Second Edition, [5] BAZARAA, Mokhtar S., JARVIS, John J. Linear Programming and Network Flows, John Wiley & Sons, [6] PUCCINI, Abelardo de Lima, PIZZOLATO, Nelio Domingues, Programação Linear, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., [7] RAMALHETE, Manuel, GUERREIRO, Jorge, MAGALHÃES, Alípio, Programação Linear, Volume 1. McGraw - Hill, [8] YOSHIDA, Luzia Kazuko, Programação Linear. Métodos Quantitativos, Atual Editora, [9] BALBO, Antonio Roberto; BAPTISTA, Edméa Cássia. Tópicos de Otimização e Programação Matemática I Curso de Especialização em Matemática Aplicada e Computacional. Depto de Matemática Fac. de Ciências UNESP de Bauru,