1 Otimização com restrições I: Condições de Primeira Ordem

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Rosângela Domingos Azeredo
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1 Otimização com restrições I: Condições de Primeira Ordem Teorema 8: Seja f e h funções C de duas variáveis Suponha x = (x, x 2 ) é uma solução do problema: max f (x, x 2 ) sa h(x, x 2 ) = c Suponha também que (x, x 2 ) não é um ponto crítico de h Então existe um número real µ tal que (x, x 2, µ ) é um ponto crítico da função lagranngiana Temos: = 0; 2 = 0 e µ = 0 Observação Se h e h fossem zero no máximo a redução de um problema com restrições para um problema sem restrições, isto é, L(x, x 2, µ) não funcionaria Essa imposição h(x) 0 chama-se qualificação da restrição Demonstração Note que f e h são tangentes em x Então f (x ) = µ h(x ) Em seguida consideramos o problema de maximizar uma função f (x,,x n ) de n variáveis condicionada por mais de uma, digamos, por m restrições de igualdade Sejam h (x),, h m (x) as funções que definem o conjunto-restrição Em outras palavras, queremos max ou min f (x,,x n ) sujeito a C h = {x = (x,,x n ) h (x) = a,,h m (x) = a m } Então: ( h (x ), h (x ),, h ) (x ) (0, 0,, 0) 2 n A generalização natural caso estejamos tratando com m funções envolve a derivada Jacobiana: h (x ) h Dh(x (x ) n ) = h m (x ) h m (x ) n De modo geral x é um ponto crítico de h = (h,, h m ) se o posto da matriz Dh(x ) < m Mais formalmente dizemos que (h,, h m ) satisfaz QRND (Qualificação da Restrição Não Degenerada) em x se o posto da matriz Jacobiana Dh(x ) é igual a m

2 Teorema 82: Sejam f, h,,h m funções C de n variáveis considere o problema de maximizar (ou minimizar) f (x)no conjunto-restrição: C h = { x = (x,, x n ) : h (x) = a,, h m (x) = a m } Suponha que x C h e que x é um max ou um min (local) de f em C h Suponha também que x satisfaz a QRND acima Então existem µ,, µ m tais que (x,, x n, µ,, µ m) (x, µ ) é um ponto crítico do lagrangiano L(x, µ) = f (x) m i= L(x, µ ) = 0 Exemplo:U(x,x 2 ) = kx a x a 2 sa 2 i= p ix i = b Uma Restrição de Desigualdade µ i [h i (x) a i ] max f (x, y) sa g(x, y) b Algumas considerações: A restrição é ativa, isto é, se g(x, y) b = 0 entãoλ 0 A restrição é inativa quando λ = 0 Tal situação, na qual uma das duas desigualdades deve ser ativa, é denominada condição de folga complementar (slackness condition) Teorema 83: Suponha que f e g são funções C 2 em R 2 e que (x, y ) maximiza f no conjunto-restrição g(x, y) b Se g(x, y ) = b, suponha que: (a) (b) Então, existe um λ tal que: (x, y, λ ) = 0 y (x, y, λ ) = 0 (c) λ [g(x, y ) b] = 0 (d) λ 0 g (x, y ) 0 ou g y (x, y ) 0 L(x, y, λ) = f (x, y) λ[g(x, y) b] (e) g(x, y ) b Teorema 84: Suponha que f, g,, g k são funções C de n variáveis Suponha que x R n é um max local de f no conjunto-restrição definido pelas k desigualdades 2

3 g (x,, x n ) b,, g k (x,, x n ) b k Para facilitar a notação, suponha que as primeirask restrições são ativas em x e que as últimas k k 0 são inativas Suponha que a seguinte QRND está satisfeita em x : O posto x da matriz Jacobiana g (x ) g k o (x ) g (x ) n g k0 (x ) n das restrições ativas é k 0, ou seja, é o maior possível Forme o lagrangiano: L(x,, x n,λ,, λ k ) f (x) m i= λ i [g i (x) b i ] Então existem multiplicadores λ,, λ k tais que: (a) (x, λ ) = 0,, n (x, λ ) = 0 (b) λ [g (x ) b ] = 0,, λ k [g k (x ) b k ] = 0 (c) λ 0,, λ k 0 (d) g (x ) b,, g k (x ) b k Teorema 85: Suponha que f, g,, g k, h,, h m são funções C de n variáveis Suponha que x R n é um max local de f no conjunto-restrição definido pelas k desigualdades e pelas m igualdades: g (x,, x n ) b,, g k (x,, x n ) b k h (x,, x n ) = c,, h m (x,, x n ) = c m Sem perda de generalidade, podemos supor que as k 0 restrições de desigualdade são ativas em x e que as outras k k 0 restrições de desigualdade são inativas Suponha que a seguinte QRND está satisfeita em x O posto em x da matria Jacobiana g (x ) g (x ) n g k0 (x ) g k0 (x ) n h (x ) h (x ) n h m (x ) h m (x ) n 3

4 das restrições de igualdade e das restrições de desigualdade ativas é k 0 + m, ou seja, é o maior possível Forme o lagrangeano (a) L(x,, x n, λ,, λ k, µ,, µ m ) = f (x) m i= λ i[g i b i ] + µ i [h i (x) c i ] Então existem multiplicadores λ,, λ k, µ,, µ m tais que: (x, λ ) = 0,, n (x, λ ) = 0 (b) λ [g (x ) b ] = 0,, λ k [g k(x ) b k ] = 0 (c) h (x ) = c,, h m (x ) = c m (d) λ 0,, λ 0 (e) g (x ) b,, g k (x ) b k O Teorema 86 para um min global é análogo ao 85 invertendo-se as restrições g i (x ) b i Formulação de Kuhn-Tucker Max f (x,,,x n ) sa g (x,, x n ) b,, g k (x,, x n ) b k x 0,, x n 0 () KUHN e TUCKER trabalharam em um lagrangeano que não inclui as restrições de não negatividade: j =,, n, = + v j = 0 ou = v j L (x, λ,,λ k, v,, v n ) = L (x, λ,, λ k ) + n i= v i x i 0 e x j = 0 Por outro lado para cada x, Resumidamente: λ i = λ j = b j g j (x) 0 0; x j = 0; x j 0 (2) 4

5 λ j 0; λ j λ j = 0; λ j 0 (3) Teorema 87: Considere o problema de maximização condicionada () sem restrições de igualdade e com uma coleção completa de restrições de não-negatovodade Forme o kuhntuckeriano L, e suponha que x é uma solução de () e que a matriz ( g i/ ) tem posto máximo em x, onde os i variam sobre os índices das restrições g i que são ativas em x e os j variam sobre os índices para os quais x j > 0 Então existem multiplicadores não-negativos λ,, λ k tais que x,, x k, λ,, λ k satisfaz o sistema de equações e desigualdades (2) e (3) Exemplo Max U(x, x 2 ) sa p i x i b L (x, x 2, λ) = U(x, x 2 ) λ( p i x i b) L x = Ux λ p 0; x L x = 0; x 0 L x 2 = Ux 2 λ p 2 0; x 2 L x2 = 0; x 2 0 L λ = p x + p 2 x 2 b 0; λl λ = 0; λ 0 Suponha U(x, x 2 ) = x 05 x05 2 p = (,) e b = 00 L x = 05x 05 x 05 2 λ 0; x L x = 0; x 0 L x 2 = 05x 05 x 05 2 λ 0; x 2 L x2 = 0; x 2 0 L λ = x + x ; λl λ = 0; λ 0 λ > 0 L λ = 0; x, x 2 > 0 L x = L x2 = 0 05x 05 x x 05x 05 2 x + x 2 = 00 = λ ( ) λ x2 = x x 2 = x x = 50; x 2 = 50; λ = 05 5

6 Usando: x i = α m p i x = x = 50 6

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