Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Aula 1 18 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
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- Airton Fartaria Brás
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1 Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 1 18 de agosto de 2009 Aula 1 Cálculo I -A- 1
2 Apresentação do curso Aula 1 Cálculo I -A- 2
3 Conteúdo do curso Funções de uma variável real. Limites. Continuidade. Derivadas. Estudo da variação de funções. Antiderivação. Aula 1 Cálculo I -A- 3
4 Bibliografia James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, Aula 1 Cálculo I -A- 4
5 Bibliografia George B. Thomas. Cálculo, volume 1, Décima edição, Editora Addison-Wesley, Aula 1 Cálculo I -A- 5
6 Bibliografia Howard Anton. Cálculo Um Novo Horizonte, volume 1, Sexta edição, Editora Bookman, Aula 1 Cálculo I -A- 6
7 Outras informações Página WEB do curso: Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda. Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, material extra, notas das provas. Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA. Vamos definir agora um horário de atendimento para esta turma. Aula 1 Cálculo I -A- 7
8 Outras informações Página WEB do curso: Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda. Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, material extra, notas das provas. Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA. Vamos definir agora um horário de atendimento para esta turma. Aula 1 Cálculo I -A- 8
9 Outras informações Página WEB do curso: Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda. Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, material extra, notas das provas. Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA. Vamos definir agora um horário de atendimento para esta turma. Aula 1 Cálculo I -A- 9
10 Datas das provas 1 a VE 24/09/ a VE 05/11/ a VE 10/12/2009 VR 15/12/2009 VS 17/12/2009 Aula 1 Cálculo I -A- 10
11 Revisão: funções Aula 1 Cálculo I -A- 11
12 O que é uma função? Aula 1 Cálculo I -A- 12
13 O que é uma função? Definição Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um subconjunto D de R faz corresponder exatamente um elemento chamado f (x), em um subconjunto C de R. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Exemplo f : R R x f (x) = 2 x Aula 1 Cálculo I -A- 13
14 O que é uma função? Definição Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um subconjunto D de R faz corresponder exatamente um elemento chamado f (x), em um subconjunto C de R. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Exemplo f : R R x f (x) = 2 x Aula 1 Cálculo I -A- 14
15 Exemplo Exemplo f : R R x f (x) = 2 x f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f ( ) = 2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. Aula 1 Cálculo I -A- 15
16 Exemplo Exemplo f : R R x f (x) = 2 x f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f ( ) = 2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. Aula 1 Cálculo I -A- 16
17 Exemplo Exemplo f : R R x f (x) = 2 x f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f ( ) = 2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. Aula 1 Cálculo I -A- 17
18 Exemplo Exemplo f : R R x f (x) = 2 x f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f ( ) = 2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. Aula 1 Cálculo I -A- 18
19 Exemplo Exemplo f : R R x f (x) = 2 x f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f ( ) = 2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. Aula 1 Cálculo I -A- 19
20 Exemplo Exemplo f : R R x f (x) = 2 x f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f ( ) = 2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. Aula 1 Cálculo I -A- 20
21 Exemplo Exemplo f : R R x f (x) = 2 x f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f ( ) = 2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. Aula 1 Cálculo I -A- 21
22 Exemplo Exemplo f : R R x f (x) = 2 x f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f ( ) = 2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. Aula 1 Cálculo I -A- 22
23 O que é a imagem de uma função real? Aula 1 Cálculo I -A- 23
24 O que é a imagem de uma função real? Definição A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos y C para os quais existe pelo menos um x D tal que f (x) = y: Imagem de f = {y C existe x D com f (x) = y}. Exemplo f : R R x f (x) = 2 x Imagem de f = R Aula 1 Cálculo I -A- 24
25 O que é a imagem de uma função real? Definição A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos y C para os quais existe pelo menos um x D tal que f (x) = y: Imagem de f = {y C existe x D com f (x) = y}. Exemplo f : R R x f (x) = 2 x Imagem de f = R Aula 1 Cálculo I -A- 25
26 O que é a imagem de uma função real? Definição A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos y C para os quais existe pelo menos um x D tal que f (x) = y: Imagem de f = {y C existe x D com f (x) = y}. Exemplo f : R R x f (x) = 2 x Imagem de f = R Aula 1 Cálculo I -A- 26
27 O que é a imagem de uma função real? Definição A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos y C para os quais existe pelo menos um x D tal que f (x) = y: Imagem de f = {y C existe x D com f (x) = y}. Exemplo f : R R x f (x) = 2 x Imagem de f = R Aula 1 Cálculo I -A- 27
28 O que é a imagem de uma função real? Definição A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos y C para os quais existe pelo menos um x D tal que f (x) = y: Imagem de f = {y C existe x D com f (x) = y}. Exemplo f : R R x f (x) = 2 x Imagem de f = R Aula 1 Cálculo I -A- 28
29 O que é a imagem de uma função real? Definição A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos y C para os quais existe pelo menos um x D tal que f (x) = y: Imagem de f = {y C existe x D com f (x) = y}. Exemplo g : R R x g(x) = x 2 Imagem de g = [0, + ) Aula 1 Cálculo I -A- 29
30 O que é a imagem de uma função real? Definição A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos y C para os quais existe pelo menos um x D tal que f (x) = y: Imagem de f = {y C existe x D com f (x) = y}. Exemplo g : R R x g(x) = x 2 Imagem de g = [0, + ) Aula 1 Cálculo I -A- 30
31 O que é a imagem de uma função real? Definição A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos y C para os quais existe pelo menos um x D tal que f (x) = y: Imagem de f = {y C existe x D com f (x) = y}. Exemplo h : R R x h(x) = sen(x) Imagem de h = [ 1, +1] Aula 1 Cálculo I -A- 31
32 O que é a imagem de uma função real? Definição A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos y C para os quais existe pelo menos um x D tal que f (x) = y: Imagem de f = {y C existe x D com f (x) = y}. Exemplo h : R R x h(x) = sen(x) Imagem de h = [ 1, +1] Aula 1 Cálculo I -A- 32
33 O que é o gráfico de uma função real? Aula 1 Cálculo I -A- 33
34 O que é o gráfico de uma função real? Definição O gráfico de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos (x, y) R 2 tais que x D e y = f (x): Gráfico de f = {(x, y) R 2 x D e y = f (x)}. Aula 1 Cálculo I -A- 34
35 O que é o gráfico de uma função real? f : R R x f (x) = 2 x Aula 1 Cálculo I -A- 35
36 O que é o gráfico de uma função real? g : R R x g(x) = x 2 Aula 1 Cálculo I -A- 36
37 O que é o gráfico de uma função real? h : R R x h(x) = sen(x) Aula 1 Cálculo I -A- 37
38 Toda curva é gráfico de uma função real? A resposta é não! Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto! Aula 1 Cálculo I -A- 38
39 Toda curva é gráfico de uma função real? A resposta é não! Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto! Aula 1 Cálculo I -A- 39
40 Toda curva é gráfico de uma função real? A resposta é não! Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto! Aula 1 Cálculo I -A- 40
41 Exemplo Aula 1 Cálculo I -A- 41
42 Exemplo Aula 1 Cálculo I -A- 42
43 Domínio natural de uma função Convenção Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função. Exemplo: f (x) = 1 x. O domínio natural de f é D = R {0}. Aula 1 Cálculo I -A- 43
44 Domínio natural de uma função Convenção Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função. Exemplo: f (x) = 1 x. O domínio natural de f é D = R {0}. Aula 1 Cálculo I -A- 44
45 Domínio natural de uma função Convenção Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função. Exemplo: f (x) = 1 x. O domínio natural de f é D = R {0}. Aula 1 Cálculo I -A- 45
46 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = 1 2 x 4? 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} = ]2, + [ = (2, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 46
47 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = 1 2 x 4? 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} = ]2, + [ = (2, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 47
48 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = 1 2 x 4? 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} = ]2, + [ = (2, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 48
49 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = 1 2 x 4? 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} = ]2, + [ = (2, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 49
50 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = 1 2 x 4? 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} = ]2, + [ = (2, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 50
51 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = 1 2 x 4? 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} = ]2, + [ = (2, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 51
52 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = 1 2 x 4? 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} = ]2, + [ = (2, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 52
53 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = 1 2 x 4? 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} = ]2, + [ = (2, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 53
54 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = 1 2 x 4? 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é D = {x R x > 2} = ]2, + [ = (2, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 54
55 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? CUIDADO! 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 AQUI! 2 x 6 < x 1 2 x x < x < 5. 2 x 6 x 1 < 1 Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 1 Cálculo I -A- 55
56 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? CUIDADO! 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 AQUI! 2 x 6 < x 1 2 x x < x < 5. 2 x 6 x 1 < 1 Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 1 Cálculo I -A- 56
57 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? CUIDADO! 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 AQUI! 2 x 6 < x 1 2 x x < x < 5. 2 x 6 x 1 < 1 Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 1 Cálculo I -A- 57
58 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? CUIDADO! 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 AQUI! 2 x 6 < x 1 2 x x < x < 5. 2 x 6 x 1 < 1 Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 1 Cálculo I -A- 58
59 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? CUIDADO! 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 AQUI! 2 x 6 < x 1 2 x x < x < 5. 2 x 6 x 1 < 1 Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 1 Cálculo I -A- 59
60 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? CUIDADO! 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 AQUI! 2 x 6 < x 1 2 x x < x < 5. 2 x 6 x 1 < 1 Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 1 Cálculo I -A- 60
61 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? CUIDADO! 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 AQUI! 2 x 6 < x 1 2 x x < x < 5. 2 x 6 x 1 < 1 Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 1 Cálculo I -A- 61
62 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? CUIDADO! 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 AQUI! 2 x 6 < x 1 2 x x < x < 5. 2 x 6 x 1 < 1 Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 1 Cálculo I -A- 62
63 Domínio natural de uma função Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? CUIDADO! 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 AQUI! 2 x 6 < x 1 2 x x < x < 5. 2 x 6 x 1 < 1 Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 1 Cálculo I -A- 63
64 Estudo do sinal 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Domínio natural de f = {x R 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5). Aula 1 Cálculo I -A- 64
65 Estudo do sinal 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Domínio natural de f = {x R 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5). Aula 1 Cálculo I -A- 65
66 Estudo do sinal 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Domínio natural de f = {x R 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5). Aula 1 Cálculo I -A- 66
67 Estudo do sinal 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Domínio natural de f = {x R 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5). Aula 1 Cálculo I -A- 67
68 Estudo do sinal 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Sinal de x{5 Sinal de x{1 Sinal de (x{5)/(x{1) Domínio natural de f = {x R 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5). Aula 1 Cálculo I -A- 68
69 Estudo do sinal 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Sinal de x{5 Sinal de x{1 Sinal de (x{5)/(x{1) Domínio natural de f = {x R 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5). Aula 1 Cálculo I -A- 69
70 Estudo do sinal 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Sinal de x{5 Sinal de x{1 Sinal de (x{5)/(x{1) Domínio natural de f = {x R 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5). Aula 1 Cálculo I -A- 70
71 Estudo do sinal 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Sinal de x{5 Sinal de x{1 Sinal de (x{5)/(x{1) Domínio natural de f = {x R 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5). Aula 1 Cálculo I -A- 71
72 Estudo do sinal 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Sinal de x{5 Sinal de x{1 Sinal de (x{5)/(x{1) Domínio natural de f = {x R 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5). Aula 1 Cálculo I -A- 72
73 Estudo do sinal x 5 1 x < 0 Aula 1 Cálculo I -A- 73
74 Estudo do sinal x 5 1 x < 0 Sinal de x{5 Sinal de 1{x Sinal de (x{5)/(1{x) Aula 1 Cálculo I -A- 74
75 Estudo do sinal x 5 1 x < 0 Sinal de x{5 Sinal de 1{x Sinal de (x{5)/(1{x) S = {x R x < 1 ou x > 5} =], 1[ ]5, + [= (, 1) (5, + ). Aula 1 Cálculo I -A- 75
76 Desigualdades envolvendo expressões quadráticas x 2 6 x x S = {x R 2 x 4} = [2, 4] Aula 1 Cálculo I -A- 76
77 Desigualdades envolvendo expressões quadráticas x 2 6 x x S = {x R 2 x 4} = [2, 4] Aula 1 Cálculo I -A- 77
78 Desigualdades envolvendo expressões quadráticas x 2 6 x x S = {x R 2 x 4} = [2, 4] Aula 1 Cálculo I -A- 78
79 Desigualdades envolvendo expressões quadráticas x 2 6 x + 8 x 5 0 (Exercício) x S =], 2] [4, 5[ Aula 1 Cálculo I -A- 79
80 Desigualdades envolvendo expressões quadráticas x 2 6 x + 8 x 5 0 (Exercício) x S =], 2] [4, 5[ 2 4 Aula 1 Cálculo I -A- 80
81 Desigualdades envolvendo expressões quadráticas x 2 6 x + 8 x 5 0 (Exercício) x S =], 2] [4, 5[ 2 4 Aula 1 Cálculo I -A- 81
82 Desigualdades envolvendo expressões quadráticas Não existe x R tal que x 2 x + 1 < 0, isto é, S =. (Note que = ( 1) 2 4 (1) (1) = 3 < 0) x > 0 x S = R (Note que = (0) 2 4 (1) (1) = 4 < 0) Aula 1 Cálculo I -A- 82
83 Desigualdades envolvendo expressões quadráticas Não existe x R tal que x 2 x + 1 < 0, isto é, S =. (Note que = ( 1) 2 4 (1) (1) = 3 < 0) x > 0 x S = R (Note que = (0) 2 4 (1) (1) = 4 < 0) Aula 1 Cálculo I -A- 83
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