Programação Matemática

Transcrição

1 Programação Matemática Docentes: Ana Paula, Franklina e Maristela Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC Universidade de São Paulo USP (Material Elaborado por Aline Leão modificado por Ana Paula) 2016

2 Profa. Ana Paula Sala Provisória: (Sala do professor Castelo) Horário de Atendimento: Quintas-feiras 13h às 15h (mandar antes)

3 Introdução Pesquisa Operacional; Problemas de programação (linear, discreta, mista, não-linear) aparecem em larga escala na vida real e as aplicações ocorrem nas mais diversas áreas Modelagem de problemas e elaboração de modelos.

4 Aula 6: Modelagem e Solução Gráfica

5 Solução factível e região factível Dado um problema: Minimize c t x Sujeito a: Ax = b x 0 Uma solução x = (x 1, x 2,, x n ) é dita factível se satisfaz todas as restrições Ax = b, x 0 O conjunto de todas as soluções factíveis S = {x R + n Ax = b} é chamado região factível

6 Solução Ótima Uma solução particular x = x 1, x 2,, x n de um problema de otimização de minimização (min f(x) = c t x) é ótima se: f x 1, x 2,, x n f x 1, x 2,, x n, x = (x 1, x 2,, x n ), Dado um problema de otimização de maximização (max f(x) = c t x), uma solução particular x = x 1, x 2,, x n é ótima se: f x 1, x 2,, x n f x 1, x 2,, x n, x = (x 1, x 2,, x n ),

7 Exemplo: Método Gráfico Maximizar f x 1, x 2 = x 1 + 2x 2 Sujeito a: x 1 + x 2 4 x 1 2 x 2 3 x 1, x 2 0

8 Solução Gráfica - Região factível

9 Solução Gráfica Região factível Max cx Pontoscom mesmo z satisfazem c T x z ( n j 1 c j x j z) Max z plano n j 1 c j x j z movido em direção c

10 Resolução Gráfica - Exemplo x* = 1 3 x* é um ponto extremo Poligono

11 Interpretação Gráfica: Tipos de região de factibilidade A Região de factibilidade pode ser limitada; A Região de factibilidade pode ser ilimitada;

12 Exemplos: S 1 ={( x 1, x 2 ) tal que x 1 + 4x 2 4, x 1, x 2 0} S 2 ={( x 1, x 2 ) tal que x 1 + 4x 2 4, x 1 + x 2 6, x 1, x 2 0}

13 A Região de factibilidade pode ser limitada:

14 Interpretação Gráfica: Tipos de região de factibilidade A Região de factibilidade pode ser ilimitada

15 Interpretação Gráfica: Tipos de solução encontradas em um PPL Solução ótima única: Se a solução ótima é única, então ela está num ponto extremo (vértice). Soluções ótimas alternativas (Múltiplas soluções ótimas): Note que f(x) é múltiplo do gradiente de uma das retas que definem o espaço de solução. Valor objetivo ótimo ilimitado: Neste caso a região factível e o valor ótimo são ilimitados. Problema infactível.

16 Dado que o problema é de minimização Vértice ótimo Vértice ótimo Região de factibilidade limitada Região de factibilidade ilimitada

17 Dado que o problema é de minimização Múltiplas soluções ótimas. Note que a região é limitada e existem dois vértices ótimos ( ). Múltiplas soluções ótimas. Note que a região é ilimitada e existem dois vértices ótimos ( ).

18 Dado que o problema é de minimização Raio ótimo Vértice ótimo Note que a região é ilimitada, o valor da função objetivo é limitado, existe um vértice ótimo, porém o conjunto de soluções ótimas é ilimitado

19 Dado que o problema é de minimização f(x)

20 Problema infactível

21 Resumindo: O problema admite solução factível? A solução determinada é factível? A solução é ótima? O problema admite solução ótima limitada? A solução ótima é única? Observação: A interpretação gráfica servirá de apoio para a compreensão do método simplex.

22 Teorema: Se um problema de otimização linear tem uma solução ótima, então existe um vértice ótimo. Observação: A afirmação é verdadeira? se uma solução é ótima, então ela é um vértice.

23 Teorema: Se um problema de otimização linear tem uma solução ótima, então existe um vértice ótimo. Observação: A afirmação é verdadeira? se uma solução é ótima, então ela é um vértice. Resposta: NÃO!!! Se existir mais de um vértice ótimo, então toda combinação convexa desses dois vértices será uma solução ótima.

24 Conjuntos Convexos Geometricamente:

25 Conjuntos Convexos Geometricamente: convexo não-convexo convexo não convexo convexo Um conjunto X R n é convexo se para quaisquer x 1 e x 2 Xe para qualquer λ [0, 1] temos que λx 1 + (1 - λ) x 2 X.

26 Conjuntos Convexos A região de factibilidade de um problema de programação linear é convexa. x 2 x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1 Os conjuntos S = x ε R + n Ax = b ou S = {x ε R + n Ax b} ou S = {x ε R + n Ax b} (denominados poliedros) são convexos.

27 Desigualdade ativa Dizemos que uma desigualdade está ativa se a i t x = b i Na figura quando x 3 = 0, então a desigualdade a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 está ativa, isto é: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1. O conjunto {x R 2 a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 } é denominado hiperplano. O conjunto {x R 2 a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 } é denominado semi-espaço. x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 2 x 1

28 VÉRTICE Os pontos em azul são vértices A região de factibilidade da Figura é: Ax b, x 0 A R 3X2, b R 3, x R 2 Existem 5 semi-espaços que definem a região de factibilidade Em cada um dos vértices da figura existem duas restrições ativas, ou seja, dois hiperplanos (linearmente independentes) passando por eles. Portanto no R 2 dizemos que um ponto é um vértice se existem pelo menos dois hiperplanos ativos em x.

29 VÉRTICE no R n Seja o problema de programação linear dado por: Minimize c 1 x 1 + c 2 x c n x n sujeito a: a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + +a mn x n b m x j 0, j = 1,, n A região de factibilidade é definida por m+ n semi-espaços. Então: Um ponto x S = x R + n : Ax b é um vértice se existem pelo menos n hiperplanos ativos em x.

30 VÉRTICE no R n Dizemos que x S = x R + n : Ax b é um vértice de S se não existem dois pontos distintos de x em S tal que x seja escrito como combinação convexa destes pontos, i.e., se x = λx 1 + (1 - λ)x 2, com 0 < λ < 1, com x 1, x 2 S então x = x 1 ou x = x 2. Lembrando que: Uma combinação convexa de k vetores do R n : x 1, x 2,, x k é definida por: x = λ 1 x λ k x k k σ i=1 λ i = 1 e λ i 0, i = 1,, k

31 Vértice degenerado: Solução degenerada Considerando S = x R + n : Ax b Se mais que n hiperplanos (a i t x = b i ) passam por um ponto x S, então este ponto é uma solução degenerada.

32 Vértice degenerado: Exemplo: Maximize x 1 + 3x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 5x 1 + x 2 18 x 1 3 x 2 4 x 1 0 x 2 0

33 Exercícios 1) Considere o seguinte problema: Minimizar f(x 1, x 2 ) = -x 1 x 2 Sujeito a: -x 1 + x 2 2 2x 1 x 2 6 x 1 0, x 2 0 a) Resolva o problema graficamente (isto é, desenhe a região factível e a(s) solução(ões) ótima(s) ). b) A solução x 1 = x 2 = 0 é um vértice da região factível? Identifique todos os vértices da região factível. c) Desenhe as soluções x 1 =( )=(1 1) e x 2 =( )=(5, 1). Estas soluções são factíveis? Por que? d) Considere agora uma outra função objetivo: Minimizar f(x 1, x 2 ) = x 1 - x 2 Verifique se a solução ótima obtida no item (a) é também ótima considerando esta nova função objetivo. Há múltiplas soluções ótimas? Identifique no gráfico.

34 Exercícios 2. Considere o seguinte problema: Minimizar f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 Sujeito a: -x 1 + x 2 2 2x 1 x 2 6 x 1 0, x 2 0. a)resolva o problema graficamente. b) Considere agora: Maximizar f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 sujeito às mesmas restrições. O que mudou? c) Construa uma nova função objetivo de modo que o problema tenha: i) um segmento de soluções ótimas; ii) uma semi-reta de solução ótimas. d) considere o problema do item (a) e inclua a terceira restrição X 1 + X 2 1. Resolva o problema resultante

35 Bibliografia Arenales, M., Armentano, V., Morabito, R. Yanasse, H. Pesquisa operacional, Editora Campus, Rio de Janeiro, Bazaraa, M. S. Jarvis J. J., Sherali, H. D. Linear Programming and Network Flows. John Wiley & Sons, 2010.