Aula 12: Programação Inteira

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1 Aula 12: Programação Inteira Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo BCC464/PCC /2 Departamento de Computação UFOP

2 Aula de Hoje 1 Programação Inteira: A Formulação Ideal 2 Modelagem em Programação Inteira Caixeiro Viajante Cobertura de Conjuntos 3 Exercícios 2 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

3 Aula de Hoje 1 Programação Inteira: A Formulação Ideal 2 Modelagem em Programação Inteira Caixeiro Viajante Cobertura de Conjuntos 3 Exercícios 2 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

4 Conceito Relaxação Uma formulação R = {min f R (x) : x X R } é considerada uma relaxação de uma formulação M = {min f(x) : x X} se: 1 todas as soluções de M são também soluções de R, ou seja, X X R, 2 e toda solução x X tem custo em R menor ou igual ao custo em M, ou seja, f R (x) f(x) para todo x X Exemplo: relaxação linear 3 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

5 Exemplo Maximize z = 6x 1 + 5x 2 Sujeito a 15x 1 + 7x x 1 + 4x 2 17 x 1, x 2 Z + 4 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

6 Exemplo Maximize: 6x 1 + 5x 2 Sujeito a: 15x 1 + 7x x 1 + 4x 2 17 x 1, x 2 Z + Não é ponto inteiro! / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

7 Exemplo Maximize: 6x 1 + 5x 2 Sujeito a: 15x 1 + 7x x 1 + 4x 2 17 x 1, x 2 Z + z = 27, 11 em x 1 = 1, 7 e x 2 = 3, 4 Não é ponto inteiro! Ótimo inteiro: z = 22 em x 1 = 2 e x 2 = / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

8 A Formulação Ideal Maximize: 6x 1 + 5x 2 Sujeito a: 2x 1 + 2x 2 8 6x 1 + 3x 2 18 x 1, x 2 R + Formulação ideal envoltória convexa dos pontos inteiros válidos / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

9 A Formulação Ideal Teorema Quando o poliedro definido pelas restrições define a envoltória convexa das soluções inteiras válidas, o Programa Inteiro pode ser resolvido como um Programa Linear, ou seja, as restrições de integralidade podem ser ignoradas e a solução ótima fornecida para esse problema relaxado ainda assim será uma solução inteira. No entanto... Obter tal poliedro não é trivial. :( 7 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

10 Qual formulação escolher? TEACHING INTEGER PROGRAMMING USING THE TSP Fig. 1 Two formulations of the same set. 8 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

11 Como resolver problemas de Programação Inteira (PI)? Solvers de PI incluem: Branch-and-bound Algoritmos de plano de corte Heurísticas etc. 9 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

12 Aula de Hoje 1 Programação Inteira: A Formulação Ideal 2 Modelagem em Programação Inteira Caixeiro Viajante Cobertura de Conjuntos 3 Exercícios 10 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

13 O Caixeiro Viajante - Traveling Salesman Problem Um vendedor precisa visitar n cidades, exatamente uma vez e então retornar ao seu ponto de partida. A distância (ou o tempo esperado de locomoção) entre uma cidade i e outra cidade j é dada por d ij. Deve-se encontrar uma ordenação das cidades que permita a conclusão da viagem no menor tempo possível. 11 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

14 Caixeiro Viajante - Exemplo b a e h k j n m p q d c f g i l o r Solução viável: um circuito Hamiltoniano no Grafo. 12 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

15 Caixeiro Viajante - Exemplo b a e h k j n m p q d c f g i l o r Solução viável: um circuito Hamiltoniano no Grafo. 12 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

16 Caixeiro Viajante - Formulação Variáveis x ij = { 1 se a aresta (i, j) fará parte da rota 0 caso contrário Restrições: chega 1 vez na cidade x ij = 1 i=1,...,n:i j Restrições: sai 1 vez da cidade x ij = 1 j=1,...,n:j i j = 1,..., n i = 1,..., n 13 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

17 Sub-rotas b a e h k j n m p q d c f g i l o r 14 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

18 Removendo Sub-Rotas Restrições Cut-set x ij 1 i S j / S ou S N, S Restrições de Eliminação de Sub-Rotas x ij S 1 S N, 2 S n 1 i S j S 15 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

19 Removendo Sub-Rotas (alternativa) ou Restrições de Miller-Tucker-Zemlin (MTZ) Sejam variáveis auxiliares u i 0 (i = 1,...n): u 1 = 1 u i u j + nx i,j n 1 i, j {2,..., n}, i j PS: há livros dedicados inteiramente ao TSP; exemplos: Applegate, D., R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook (2006). The Traveling Salesman Problem. A computational study, Princeton University Lawer, E., J.K. Lenstra, A. Rinnooy Kan, and D. Shmoys (editors) (1985). The Traveling Salesman Problem, Wiley, New York. 16 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

20 Cobertura de Conjuntos - Exemplo Construção de Escolas: O governo decidiu construir escolas de modo a satisfazer a demanda em uma determinada cidade que está nos primeiros estágios de seu planejamento. Ainda não se sabe quantas escolas serão necessárias. Mas se sabe que a lei exige que nenhum bairro deve estar há mais de 10 km de alguma escola. Em quais bairros devem ser construídas escolas de modo a respeitar as exigências da lei, sem desperdiçar dinheiro público (não construir escolas muito próximas)? 17 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

21 Cobertura de Conjuntos - Exemplo f c g e a j m n p q k o l h i d b r (ligações indicam bairros próximos) Solução factível: construir em {b, d, h, i, k, m, o} 18 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

22 Cobertura de Conjuntos - Set Covering Dados de Entrada M : conjunto locais que precisam dos serviços (clientes); N : conjunto de locais onde se pode construir um provedor de serviços (em nosso exemplo, N = M); c j : custo de instalação do provedor j N ; a ij : se o local i pode ser atendido pelo provedor j. Variáveis x j = { 1 centro j será instalado 0 caso contrário 19 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

23 Cobertura de Conjuntos - Set Covering Função Objetivo Entrada M N c j a ij clientes centros custo inst. atendimento Variáveis x j instalar centro j Minimizar: c j x j j N Restrições - Atendimento dos Locais a ij x j 1 i M j N Restrições - Integralidade x j {0, 1} i M 20 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

24 Aula de Hoje 1 Programação Inteira: A Formulação Ideal 2 Modelagem em Programação Inteira Caixeiro Viajante Cobertura de Conjuntos 3 Exercícios 21 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

25 Ex. 1: Sudoku Apresente um modelo de Programação Inteira que resolva o Sudoku. 22 / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

26 Ex. 2: Problema das 8-Rainhas a b c d e f g h / 23 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 12: Programação Inteira

27 / 12 Perguntas?