Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

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1 Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis Otimização Linear e Inteira Túlio Toffolo BCC464 / PCC /2 Departamento de Computação UFOP

2 Aula de Hoje 1 Correção da Prova II 2 Formulações para o Problema de Corte Unidimensional 3 Motivação 4 Geração de Colunas 5 Exemplo: Problema de Corte Unidimensional 1 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

3 Aula de Hoje 1 Correção da Prova II 2 Formulações para o Problema de Corte Unidimensional 3 Motivação 4 Geração de Colunas 5 Exemplo: Problema de Corte Unidimensional 1 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

4 Aula de Hoje 1 Correção da Prova II 2 Formulações para o Problema de Corte Unidimensional 3 Motivação 4 Geração de Colunas 5 Exemplo: Problema de Corte Unidimensional 1 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

5 Problema de Corte Unidimensional Deseja-se cortar peças unidimensionais a partir de barras que temos em estoque. Objetivo: atender a demanda reduzindo o número de barras utilizadas. 2 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

6 Corte Unidimensional (Cutting Stock) Barras em Estoque Pedidos Solução 1 Solução 2 3 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

7 Formulação de Kantorovich Entrada Estoque: n número de barras L tamanho das barras Pedidos: m número de pedidos w i tamanho do pedido i b i número de peças do pedido i Variáveis x i,j y j número de peças do pedido i cortadas da barra j 1 se a barra j é utilizada e 0 caso contrário 4 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

8 Formulação de Kantorovich Quais os principais problemas da formulação abaixo? min. s.a. n j=1 y j n x i,j b i i {1... m} j=1 m w i x i,j Ly j j {1... n} i=1 y j {0, 1} j {1... n} x i,j Z + i {1... m}, j {1... n} 5 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

9 Problema de Corte Unidimensional E se formularmos o problema de uma forma diferente? Entrada Estoque: n número de barras L tamanho das barras Pedidos: m número de pedidos w i tamanho do pedido i b i número de peças do pedido i {1,..., m} requisitadas Possíveis tipos de corte: P conjunto de todos os padrões possíveis de corte a i,p número de vezes que o pedido i ocorre no padrão p 6 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

10 Formulação com número exponencial de variáveis Variáveis λ p número de peças que serão cortadas seguindo o padrão p P min. s.a. p P λ p a i,p λ p b i i {1,... m} p P λ p Z + E qual o principal problema dessa formulação? 7 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

11 Aula de Hoje 1 Correção da Prova II 2 Formulações para o Problema de Corte Unidimensional 3 Motivação Algoritmo Simplex Shadow Price Custo Reduzido 4 Geração de Colunas 5 Exemplo: Problema de Corte Unidimensional 7 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

12 Motivação Frequentemente, modelos de Programação Linear incluem um número muito grande de variáveis. Em Programação Inteira muitas as vezes as melhores formulações (fortes) tem um número exponencial de variáveis. Mas como resolver um modelo com tantas variáveis? É viável do ponto de vista prático? Para a resolução desses problemas somente é necessário: 1. Restrições apertadas (valores duais positivos) 2. Variáveis básicas na solução ótima Vamos entender melhor com uma breve revisão do Simplex 8 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

13 Método Simplex: breve revisão Shadow Price: Também conhecido como custo dual O shadow price de uma restrição é o valor que a variável dual referente à restrição assume. Indica o ganho na função objetivo por unidade aumentada no RHS da restrição. Naturalmente, este ganho é válido dentro dos limites estabelecidos pelo RHS da restrição. 9 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

14 Método Simplex: breve revisão Quando podemos afirmar que um tableau é ótimo? Exemplo: o tableau do problema de minimização a seguir é ótimo? x 1 x 2 x 3 x 4 rhs z : 0 0 1, 25 0, 75 5, 25 r 1 : 0 1 2, 25 0, 25 2, 25 r 2 : 1 0 1, 25 0, 25 3, 75 Sim, pois todas as variáveis tem custo reduzido maior ou igual a 0. Se alguma variável tivesse custo reduzido negativo, ela teria que ser inserida na base. Após inserção da variável na base, a nova base teria que ser avaliada (para verificar se é ótima ou não). 10 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

15 Aula de Hoje 1 Correção da Prova II 2 Formulações para o Problema de Corte Unidimensional 3 Motivação 4 Geração de Colunas 5 Exemplo: Problema de Corte Unidimensional 10 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

16 Gerando variáveis por demanda Será que é necessário gerar todas as variáveis do modelo? Não! Podemos fazer geração de variáveis (ou de colunas) iterativamente. Idéia principal do algoritmo de geração de colunas: 1. Gerar variáveis que tenham custo reduzido negativo (para o caso de problemas de minimização). 2. Incluir estas variáveis na formulação. 3. Repetir o procedimento, até não existir novas variáveis com custo reduzido negativo. 11 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

17 Algoritmo de geração implícita de colunas 1 Resolver o Programa Linear LP (J) (chamado Problema Mestre): min. s.a. c j x j j J Ax b x 0 2 Pricing: considerando o valor das variáveis duais π, descubra se existe alguma variável j / J com custo reduzido negativo, ou seja, uma variável j / J tal que c j πa j < 0. Se existir, insira a nova variável em LP (J) e retorne ao passo 1. Caso contrário, a solução é ótima para todas as variáveis! 12 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

18 Funcionamento do algoritmo Problema Mestre colunas Geração de Colunas (subproblemas) 13 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

19 Aula de Hoje 1 Correção da Prova II 2 Formulações para o Problema de Corte Unidimensional 3 Motivação 4 Geração de Colunas 5 Exemplo: Problema de Corte Unidimensional 13 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

20 Sub-problemas de Pricing Chamamos de Pricing os subproblemas que resolvemos para encontrar as variáveis com custo reduzido negativo (para problemas de minimização). Como seria o pricing no caso do Problema de Corte Unidimensional? O pricing consistirá em gerar um ou mais padrões de corte com custo reduzido negativo. Para encontrar este(s) padrão(ões), resolvemos um problema de otimização! Mas... qual problema? 14 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

21 Exemplo: Problema de Corte Unidimensional Problema Mestre min. s.a. p P λ p a i,p λ p b i i {1,... m} p P λ p 0 Como avaliar o custo reduzido de um novo padrão p? Utilizamos os valores duais π das restrições! Lembre-se que o valor dual π i de uma restrição i indica o ganho que obtemos ao alterar o RHS desta restrição... Utilizaremos π para calcular o benefício de adicionar uma variável p com coeficiente a i,p em cada restrição i. 15 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

22 Exemplo: Problema de Corte Unidimensional Problema Mestre min. s.a. p P λ p a i,p λ p b i i {1,... m} p P λ p 0 No exemplo acima, um padrão p terá custo reduzido c p negativo se: m c p = 1 π i a ip < 0 i=1 Assim, queremos encontrar um padrão viável que minimize c p. 15 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

23 Exemplo: Problema de Corte Unidimensional Problema Mestre min. s.a. p P λ p a i,p λ p b i i {1,... m} p P λ p 0 Pricing min. s.a. m 1 π i a i i=1 m w i a i L; a i Z + i {1,... m} i=1 15 / 15 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 22: Formulações com número exponencial de variáveis

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