Aula 13: Branch-and-bound

Transcrição

1 Aula 13: Branch-and-bound Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo BCC464/PCC /2 Departamento de Computação UFOP

2 Previously... Modelagem em PI / Problemas Combinatórios Caixeiro Viajante Cobertura de Conjuntos Programação Linear vs Inteira Exercícios 2 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

3 Aula de Hoje 1 Breve revisão 2 Branch-and-bound 3 Exercícios (aula passada) 4 Exercício 3 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

4 Aula de Hoje 1 Breve revisão 2 Branch-and-bound 3 Exercícios (aula passada) 4 Exercício 3 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

5 Conceito Relaxação Uma formulação R = {min f R (x) : x X R } é considerada uma relaxação de uma formulação M = {min f(x) : x X} se: 1 todas as soluções de M são também soluções de R, ou seja, X X R, 2 e toda solução x X tem custo em R menor ou igual ao custo em M, ou seja, f R (x) f(x) para todo x X Exemplo: relaxação linear 4 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

6 Exemplo Maximize z = 6x 1 + 5x 2 Sujeito a 15x 1 + 7x x 1 + 4x 2 17 x 1, x 2 Z + 5 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

7 Exemplo Maximize: 6x 1 + 5x 2 Sujeito a: 15x 1 + 7x x 1 + 4x 2 17 x 1, x 2 Z + Não é ponto inteiro! / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

8 Exemplo Maximize: 6x 1 + 5x 2 Sujeito a: 15x 1 + 7x x 1 + 4x 2 17 x 1, x 2 Z + z = 27, 11 em x 1 = 1, 7 e x 2 = 3, 4 Não é ponto inteiro! Ótimo inteiro: z = 22 em x 1 = 2 e x 2 = / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

9 A Formulação Ideal Maximize: 6x 1 + 5x 2 Sujeito a: 2x 1 + 2x 2 8 6x 1 + 3x 2 18 x 1, x 2 R + Formulação ideal envoltória convexa dos pontos inteiros válidos / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

10 A Formulação Ideal Teorema Quando o poliedro definido pelas restrições define a envoltória convexa das soluções inteiras válidas, o Programa Inteiro pode ser resolvido como um Programa Linear, ou seja, as restrições de integralidade podem ser ignoradas e a solução ótima fornecida para esse problema relaxado ainda assim será uma solução inteira. No entanto... Obter tal poliedro não é trivial. :( 8 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

11 Como resolver problemas de Programação Inteira (PI)? Solvers de PI incluem: Branch-and-bound Algoritmos de plano de corte Heurísticas etc. 9 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

12 Aula de Hoje 1 Breve revisão 2 Branch-and-bound 3 Exercícios (aula passada) 4 Exercício 10 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

13 Branch-and-bound Idéia Básica O algoritmo cria uma árvore de enumeração para explorar as soluções possíveis; No pior caso, todas as soluções serão exploradas. Na prática, frequentemente vários ramos da árvore são podados com o uso de limites (bounds). 11 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

14 Branch-and-bound Branch (ramificar) Consiste em dividir um problema em problemas menores. Divide-se um problema P em m subproblemas, tais que: P 1, P 2,..., P m tal que P 1 P 2,..., P m = P Geralmente divide-se o problema em 2 subproblemas em cada passo. 12 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

15 Branch-and-bound Ex.: Problema com 3 variáveis binárias: x 1, x 2, x 3. x1=1 P x1=0 x2=1 P1 x2=0 x2=1 P2 x2=0 x3=1 P11 P12 P21 P12 x3=0 x3=1 x3=0 x3=1 x3=0 x3=1 x3=0 P11 P12 P11 P12 P11 P12 P11 P12 13 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

16 Branch-and-bound Bound (limites) O branch resulta em um algoritmo exato que encontra a solução ótima em um número finito de passos, mas... É extremamente ineficiente! Para n variáveis binárias teremos 2 n nós a serem explorados. A chave para melhorar a eficiência do algoritmo é a poda de sub-árvores através do uso de limites. 14 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

17 Bound - Limites Para um problema de maximização: z = max f(x) Podemos encontrar limites que permitem avalizar a qualidade de uma solução com custo f(x). Limite Superior Solução Ótima Limite Inferior z z z 15 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

18 Exemplo - Problema da Mochila Problema clássico conhecido como The Knapsack Problem Dado um conjunto de itens e uma pequena mochila, temos que decidir quais itens carregar. Cada item tem um peso e um valor. Queremos maximizar o valor. 16 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

19 Exemplo - Problema da Mochila Cada item i I tem peso w i e valor v i. A capacidade da mochila é dada por C. x i = { 1 se item i está na mochila 0 caso contrário Maximizar Sujeito a v i x i i I w i x i C i I x i {0, 1} 17 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

20 Exemplo - Problema da Mochila Como calcular rapidamente um limite superior para o valor? Relaxação linear: o Problema Fracionário da Mochila (PFM) Trocamos x i {0, 1} por 0 x i 1, ou seja, agora podemos colocar pedaços de itens; A solução ótima para o PFM é fácil de calcular: resolvemos o modelo relaxado via Simplex ou: 1 Colocamos os itens com maior densidade d i = v i w i 2 Até um item não caber na mochila: então colocamos a maior fração possível dele 18 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

21 Exemplo - Problema da Mochila Exemplo: problema com 4 itens e C = 6: item valor peso densidade , , , ,50 Solução ótima da relaxação linear seleciona item 3 seleciona 1 4 do item 1 solução com valor 10,75 A solução ótima do problema da mochila 0-1 é portanto menor ou igual a 10,75, ou seja, obtemos um limite superior. 19 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

22 Exemplo - Problema da Mochila Como calcular rapidamente um limite inferior para o valor? (ou obter uma solução viável?) Heurística gulosa Tentamos colocar os itens com grande valor e pouco peso. 1 Ordenamos os itens por densidade d i = v i w i 2 Enquanto houver capacidade suficiente, adicionamos na mochila o item i com maior valor cujo peso seja inferior à capacidade restante da mochila. 20 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

23 Exemplo - Problema da Mochila Exemplo: problema com 4 itens e C = 6: item valor peso densidade , , , ,50 Solução da heurística gulosa Solução heurística: itens: {3}, valor: 9 A solução ótima com certeza é maior ou igual a 9, ou seja, temos um limite inferior para o custo da solução ótima. 21 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

24 Exemplo - Problema da Mochila Exemplo anterior com 4 itens e C = 6: Limites Encontrados Limite Superior (Relaxação Linear) 10,75? ótimo?? Limite Inferior (Heurística Gulosa) 9 22 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

25 Definições Soluções Parciais Tanto a heurística quanto a relaxação linear podem ser executadas em nós internos da árvore, considerando algumas fixações de variáveis. No exemplo do Problema da Mochila: atualiza-se a capacidade restante e items disponíveis. Esse procedimento permite calcular: Limite Inferior: quando o nó produz uma solução viável. Limite Superior: quando é possível gerar uma solução viável considerando as fixações feitas nó. 23 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

26 Definições Solução Incumbente É a melhor solução encontrada até o momento durante a busca. Essa solução pode aparecer durante a execução de uma heurística ou durante o percurso na árvore (ao se chegar em nós folha). No caso de Maximização, temos um Limite Inferior. No caso de Minimização, temos um Limite Superior. 24 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

27 Poda Quando podemos podar uma subárvore? 1. Quando os limites (bounds) permitem Quando a relaxação indica que não há possibilidade de se melhorar a solução incumbente. No Problema da Mochila, ocorre quando o limite superior (relaxação) é menor do que o melhor limite inferior conhecido. 2. Quando o nó é infactível/inviável Quando as fixações já feitas induzem a soluções inviáveis; No Problema da Mochila, quando as fixações excedem a capacidade da mochila, por exemplo. 25 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

28 ' Branch-and-bound: Problema da Mochila 5 :X, -1/4,113=1 10,75/9 5 : z=1 X. = 1 Xy =O 5 :, -1,113=45 5 3=1, 114=1/2 '=' six 1 4=1 10,6/10 10,5 / 9 si 3= 3=1 3=0 4=1 y=o inviavel X 5 :X } -45,114=1 : xa.it/3,xz=1 yosinfueeiarjo si a=1 10,2/7 10,33/9 si 3= ' item v i w i d i , , , ,50 :X, 5--X4=1 inviavel 13=1 113=0 sinfueeirjo 7 poda 2=1* por limit 2=O 9,4/4 g sdueao 5 :X4=1 5 :Xa=1,. s= 5 : z=1 inteira S :Xa=1 26 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

29 Aula de Hoje 1 Breve revisão 2 Branch-and-bound 3 Exercícios (aula passada) 4 Exercício 27 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

30 Ex. 1: Sudoku Apresente um modelo de Programação Inteira que resolva o Sudoku. 28 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

31 Entrada d (i,j) : i, j {1... 9} {0} d (i,j) é zero caso o valor da posição i, j não seja informada ou o número informado Variáveis x i,j,k = 1 se o valor k é inserido na posição i, j e 0 c.c. Restrições (parte I) x i,j,d(i,j) = 1 i, j {1... 9} : d (i,j) 0 9 x i,j,k = 1 i, j {1... 9} k=1 29 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

32 Entrada d (i,j) : i, j {1... 9} {0} d (i,j) é zero caso o valor da posição i, j não seja informada ou o número informado Restrições (parte I) 9 x i,j,k 1 i {1... 9}, k {1... 9} j=1 i=1 n+2 m+2 9 x i,j,k 1 j {1... 9}, k {1... 9} x i,j,k 1 n, m {1, 4, 7}, k {1... 9} i=n j=m 30 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

33 a b c d e f g h / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

34 Variáveis x i,j = 1 se uma rainha é alocada na posição i, j e 0 c.c. Restrições (parte I) n n x i,j = n i=1 j=1 n x i,j 1 j {1... n} i=1 n x i,j 1 i {1... n} j=1 32 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

35 Variáveis x i,j = 1 se uma rainha é alocada na posição i, j e 0 c.c. Restrições (parte II) n i x i+k,1+k 1 i {1... n} k=0 n j x 1+k,j+k 1 j {1... n} k=0 j 1 x 1+k,j k 1 j {1... n} k=0 n i x i+k,n k 1 i {1... n} k=0 33 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

36 Aula de Hoje 1 Breve revisão 2 Branch-and-bound 3 Exercícios (aula passada) 4 Exercício 34 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

37 Problema da Mochila Exercício para aula prática Implementar um modelo (no gurobi) que resolva o problema da mochila. Dados serão disponibilizados num arquivo csv (exceto capacidade, que é sempre igual a 100) Exemplo: 1 item;peso;valor 2 1;10;10 3 2;10; Obs: utilize a linguagem de programação de sua preferência. 35 / 35 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 13: Branch-and-bound

38 / 12 Perguntas?