Estruturas de Dados 2

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1 Estruturas de Dados 2 IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 1/34

2 Introdução Técnica de Projeto de Algoritmos utilizada para Problemas de Otimização; Idéia: Quando é necessário fazer uma escolha durante o processo de otimização, escolher a opção que pareça ser a melhor no momento. Ou seja, fazer a escolha ótima local, esperando que isto leve à solução ótima global. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 2/34

3 Introdução: A escolha realizada por este algoritmo é, portanto, dita gulosa (Greedy Algorithms) Propriedade da escolha gulosa: deve garantir que a cada iteração é tomada uma decisão que irá levar a um ótimo global. Em um algoritmo guloso uma escolha que foi feita nunca é revista, ou seja, não há qualquer tipo de reavaliação. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 3/34

4 Introdução: Em cada passo a escolha a ser feita deve ser: Possível, (satisfaz as restrições do problema); Localmente ótima, (deve ser a melhor escolha possível dentre as disponíveis neste passo); Irreversível, (não pode ser alterada nos passos subseqüentes do algoritmo). IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 4/34

5 Cuidados: Nem sempre a abordagem Gulosa leva à uma solução ótima do problema (é muitas vezes considerada uma Técnica Heurística ) Em algumas situações, entretanto, esta técnica resolve o problema, e de uma maneira muito eficiente; Alternativamente, a técnica de Programação Dinâmica pode ser utilizada, quando a abordagem gulosa não for adequada; Veremos as situações específicas mais adiante! IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 5/34

6 Exemplo de Aplicação da Técnica: O problema da Seleção de Atividades: dado um conjunto de atividades, definidas por seus tempos de início e fim, alocar o maior número possível de atividades em um período de tempo definido; (por exemplo, um conjunto de palestras que devem ser alocadas em um auditório) IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 6/34

7 Exemplo do problema da Seleção de Atividades IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 7/34

8 Exemplo de Aplicação da Técnica: IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 8/34

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10 Exemplo de Aplicação da Técnica: IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 10/34

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12 Exemplo de Aplicação da Técnica: IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 12/34

13 - Código de Huffman Outro Exemplo de Aplicação da Técnica: Algoritmo Guloso de Huffman Técnica para compressão de dados. A partir de uma tabela das freqüências em que ocorrem os caracteres, elabora uma representação mínima para o caractere mais comum, um pouco maior para o segundo mais comum, e assim por diante...(cada caractere é representado como uma cadeia binária). Ex. Compactar arquivos texto grandes IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 13/34

14 - Código de Huffman Exemplo: Armazenar um arquivo de caracteres Representando cada caractere: código de comprimento fixo (3 bits) = bits código de comprimento variável = bits IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 14/34

15 - Código de Huffman Códigos de Prefixo Códigos nos quais nenhuma palavra de código é prefixo de alguma outra palavra de código. A codificação simples: concatenação das palavras de código que representam cada caractere do arquivo. Ex: codificação do arquivo de 3 caracteres abc como = , onde. indica concatenação. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 15/34

16 - Código de Huffman Códigos de Prefixo Como nenhuma palavra de código é um prefixo de qualquer outra, a palavra de código que inicia um arquivo codificado, não é ambígua. Ex: A cadeia =???? O processo de decodificação precisa de uma representação conveniente para o código de prefixo, de forma que a palavra de código inicial possa ser extraída com facilidade...(qual?) IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 16/34

17 - Código de Huffman Códigos de Prefixo Como nenhuma palavra de código é um prefixo de qualquer outra, a palavra de código que inicia um arquivo codificado, não é ambígua. Ex: A cadeia =???? O processo de decodificação precisa de uma representação conveniente para o código de prefixo, de forma que a palavra de código inicial possa ser extraída com facilidade Árvore Binária IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 17/34

18 - Código de Huffman IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 18/34

19 - Código de Huffman Huffman criou um algoritmo guloso que produz um código de prefixo ótimo chamado código de Huffman. No pseudocódigo, C é um conjunto de n caracteres e cada caractere c C é um objeto com uma freqüência definida f [c]. O algoritmo constrói de baixo para cima a árvore T correspondente ao código ótimo. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 19/34

20 - Código de Huffman Começa com um conjunto de C folhas e executa uma seqüência de C 1 operações de intercalação para criar a árvore final. Uma fila de prioridade mínima Q, tendo f como chave, é usada para identificar os dois objetos menos freqüentes a serem intercalados. O resultado da intercalação é um novo objeto cuja freqüência é a soma das freqüências dos 2 objetos que foram intercalados. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 20/34

21 - Código de Huffman IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 21/34

22 - Código de Huffman IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 22/34

23 Outro Exemplo de Aplicação da Técnica: O problema do câmbio: como trocar uma determinada quantidade de dinheiro no menor número de moedas possíveis; IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 23/34

24 Outro Exemplo de Aplicação da Técnica: O problema da mochila fracional:você é um ladrão, que consegue entrar no cofre de um banco carregando uma mochila com capacidade para X quilos. Dados sacos contendo X,Y e Z quilos de pó de metais valiosos (ouro, prata, bronze), maximize seu roubo, colocando o maior valor possível em sua mochila! IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 24/34

25 Problema da Mochila Fracional Podemos pegar uma fração de um item. Ambos possuem uma subestrutura ótima. O problema da mochila fracional tem a propriedade da escolha gulosa. Para resolver o problema fracional, ordenar itens pelo valor/peso: v i /w i. Seja v i /w i v i+1 /w i+1 para todo i. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 25/34

26 O problema da mochila fracional: Tempo: O(n lg n) para ordenar, O(n) daí em diante. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 26/34

27 Outro Exemplo (é possível aplicar da Técnica?) O problema da mochila binária(não fracionável):você é um ladrão, que consegue entrar no cofre de um banco carregando uma mochila com capacidade para X quilos(ou x metros cúbico). No cofre há X, Y e Z barras de metais valiosos (ouro, prata, bronze), cada um a com tamanho X1, Y1, Z1). Maximize seu roubo, colocando o maior valor possível em sua mochila! IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 27/34

28 Outro Exemplo (é possível aplicar da Técnica?) O problema da mochila binária(não fracionável): Como não é possível pegar apenas uma parte de uma barra, para preencher o espaço restante da mochila, este problema não possui a propriedade da escolha gulosa, não gerando solução ótima ao aplicar esta técnica. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 28/34

29 Exemplo do problema da mochila binária: IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 29/34

30 Exemplo do problema da mochila binária: IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 30/34

31 - Resumo 1. Formule o problema como um problema de otimização no qual uma escolha é feita, restando-nos então um único subproblema a resolver. 2. Provar que existe sempre uma solução ótima do problema que atende à escolha gulosa, ou seja, a escolha feita pelo algoritmo guloso é segura. 3. Demonstrar que, uma vez feita a escolha gulosa, o que resta a resolver é um subproblema tal que se combinarmos a resposta otina deste subproblema com o(s) elemento(s) da escolha gulosa, chega-se à solução ótima do problema original. Esta é a parte que requer mais engenhosidade! Normalmente a prova começa com uma solução ótima genérica e mostra que ela pode ser modicada (possivelmente após vários passos) até que ela inclua o(s) elemento(s) identificado(s) pela escolha gulosa. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 31/34

32 - Agradecimentos Estes slides são baseados no material disponibilizado pelos profs. Cid Carvalho de Souza e Cândida Nunes da Silva, da UNICAMP. Qualquer incorretude é, entretanto, de inteira responsabilidade do prof. João Alberto Fabro, da UTFPR. IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 32/34

33 - Exercícios Apagando e Ganhando: Apagando e Ganhando é um programa de auditório muito inteligente. Os participantes são selecionados por sorteio, e o apresentador escreve em uma lousa um número de N dígitos. O participante deve então apagar D dígitos do número que está na lousa. Os números que restarem equivalem ao prêmio em dinheiro que ele leva para casa! Exemplo: Número na lousa: Dígitos a serem apagados: 3 Total a ser levado para casa: = 3239! IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 33/34

34 - Exercícios Apagando e Ganhando: Outro Exemplo: Número na lousa: Dígitos a serem apagados: 4 Total a ser levado para casa: = 1019! Desenvolva um algoritmo utilizando a abordagem gulosa para resolver este problema! IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 34/34