Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005.

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1 Agenda Análise e Técnicas de Algoritmos Jorge Figueiredo Problemas de de otimização Conceitos ásicos O Problema da da Mochila Fracionária Template Genérico xemplos: Código de de Huffman Algoritmos Gulosos (Greedy) Problemas de Otimização Muitos problemas consideram o conceito de de maximizar ou ou minimizar um determinado valor: Como uma empresa de de mudança deve alocar os osmóveis em um caminhão baú? Como uma companhia telefônica deve rotear chamadas de de modo a fazer um melhor uso de de suas linhas e conexões? Como alocar as as disciplinas para melhor utilizar as as salas do do RNG? Características: Problemas que podem apresentar diversas soluções. Solução formada por uma seqüência de de decisões. Um valor ou oucusto é associado a cada solução. Acha solução com custo ótimo. xemplo 1: Cálculo do Trôco Descrição: Seja = {e {e 1,, e 2,,...,..., e n }},, e 1 > e 2 >...> e n,, um conjunto de de n denomiações de de moedas (ou cédula), e M um valor positivo que representa o trôco. Problema: Fornecer o montante M com o menor número de de moedas. Seqüência de de decisões: scolher rr 1,, depois rr 2,,... xemplo 2: Problema da Mochila Descrição: Temos n objetos com pesos p 1,, p 2,,...,..., p n e lucros l 1 l,, l 2 l,,...,..., l n l.. Temos ainda uma mochila de de capacidade M. M. Se Se uma fração x i i ( ( x i i 1) 1) do do objeto iifor for colocada na na mochila, resulta em um lucro x i i l i l. i. Problema: Maximizar o lucro que pode ser levado na na mochila. Seqüência de de decisões: scolher primeiro objeto, escolher segundo objeto, xemplo 3: scalonamento de Tarefas Descrição: Seja um conjunto de de n tarefas. Associamos a cada tarefa um tempo de de execução. Fazer o escalonamento das tarefas. Problema: Minimizar o tempo médio de de finalização das tarefas. Seqüência de de decisões: scolher primeira tarefa, escolher segunda tarefa,

2 xemplo 4: Caixeiro Viajante Descrição: Seja G=(V, ) ) um grafo dirigido ponderado. Seja n o número de de vértices e v o vértice de de origem. Problema: Achar uma turnê de de custo mínimo, começando em v.. Seqüência de de decisões: A partir de de v qual é o primeiro vértice do do ciclo, o segundo vértice, Método Guloso Decisões tomadas de de forma isolada em cada passo. stratégia de de pegar o melhor no no momento: Solução ótima local. Quando o algoritmo termina, espera-se que a solução ótima tenha sido encontrada: Alguns problemas são resolvidos de de forma ótima. Outros apresentam soluções bem pobres. xemplo 1: Cálculo do Trôco xemplo 2: Alocação de tarefas Descrição: Seja = {1, 5, 1, 5, 5, 1} 1},, e M um valor positivo que representa o trôco. stratégia Greedy: No passo i, i, escolher rr i i = j, j, tal tal que e j j M e e j-1 j-1 > M e subtrair e j j de de M para o próximo passo. É possível provar que a estratégia gulosa funciona neste caso. A mesma estratégia funciona para = {3, 25, 1, 1} 1}? Descrição: Seja T= T= {(T1, 15), (T2, 8), 8), (T3, 3), 3), (T4, 1)}.. Considerar um único processador e alocação não preemptiva. Qual a melhor forma de de alocar essas tarefas para minimizar o tempo médio de de execução. stratégia Greedy 1: 1: ordem de de chegada. stratégia Greedy 2: 2: ordem crescente do do tempo de de execução. É possível provar que a estratégia 2 sempre apresenta a solução ótima? O problema consiste em escolher entre atividades que competem por uso exclusivo de de um recurso em comum. Por exemplo, o uso de de uma sala de de aula. Conjunto de de atividades S={a 1 1,,.,, a n }. }. a iinecessita do do recurso durante o período [[ s i i,, ff i i )),em, que s i i = tempo inicial e ff i i = tempo final. Objetivo: selecionar o maior número possível de de atividades compatíveis (sem overlap de de períodos). Assumir que estão ordenadas de de forma crescente do do tempo final. 2

3 SeleçãoAtividades(s, f) n length(s) A {1} j 1 for i 2 to n do if s i f j then A A {i} j i return A 3

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5 Como provar que a solução sempre produz uma solução ótima? Provar que existe uma solução ótima que começa com a atividade Mostrar que se se existir uma solução ótima que não utiliza a nossa estratégia gulosa, a nossa solução é tão boa quanto.. H lementos da stratégia Gulosa xistem dois elementos que indicam que a estratégia gulosa pode ser utilizada com sucesso: Propriedade de de scolha Gulosa: Uma solução ótima global pode ser obtida a partir de de escolhas locais ótimas Sub-estrutura ótima: se se uma solução ótima contém dentro dela soluções ótimas para os os sub-problemas. O Problema da Mochila Fracionária S = {(item 1,, 18, 25), (item 2,, 15, 24), (item 3,, 1, 15)} e W= 2 2 W = 2Kg 18 Kg 15 Kg 1 Kg item 1 item 2 item 3 Mochila O Problema da Mochila Fracionária Greedy 1: 1: maximizar o lucro a cada passo Greedy 1: (1, 2/15, ) :: Lucro de R$ 28,2 O Problema da Mochila Fracionária Greedy 2: 2: conservar a capacidade Greedy 2: (, 2/3, 1) :: Lucro de R$ 31 W = 2Kg R$3,2 W = 2Kg R$16 18 Kg 15 Kg 1 Kg 18 Kg 15 Kg 1 Kg item 1 item 2 item 3 Mochila item 1 item 2 item 3 Mochila 5

6 O Problema da Mochila Fracionária Algoritmo Guloso para Mochila Fracionária Greedy 3: 3: maximiza lucro por unidade de de peso 18 Kg 15 Kg 1 Kg W = 2Kg Greedy 3: (, 1, 1/2) :: Lucro de R$ 31,5 R$7,5 MochilaFracionaria(L, P, W) objetos em ordem decrescente de l/p cap W i 1 while p i cap do x i 1 cap cap - p i i i +1 x i cap/p i for j i + 1 to n do x j item 1 item 2 item 3 Mochila Prova do Greedy 3 Revendo a stratégia Gulosa A solução gulosa tem a seguinte cara: <1, 1, 1,, 1, 1, c, c,,,,,, > > em que a seqüência de de 1 s tem tamanho k-1, e c < Observando dois itens consecutivos, se se x i i < 1 x i +1 i +1 =.. A idéia da daprova é partir de de uma solução ótima e transformála na nanossa solução gulosa: Seja <y <y 1,, y 2,,, y n > uma solução ótima. Se Se essa não é a solução gulosa, existe um iiem que y i i la < 1 e y i+1 i+1 >.. ncontrar <y 1,, y y 2,,, y y n > mais parecido com x. x. Repetir o processo até alcançar a solução gulosa. Os algoritmos que utilizam a estratégia gulosa são simples e de de fácil implementação. Abordagem top-down. Aspectos importantes: Custo de de uma solução. Objetivo do do problema. scolha gulosa. C {1, 25, 1, 5, 1} soma Lista de Candidatos C {1, 25, 1, 5, 1} soma 6

7 Lista de elementos escolhidos C {1, 25, 1, 5, 1} soma Função VIAILIDAD C {1, 25, 1, 5, 1} soma Função SOLUÇÃO C {1, 25, 1, 5, 1} soma AlgoritmoGuloso(C) C conjunto de candidatos while C e!solução(s) do X SLÇÃO(C) C C\{X} if VIAILIDAD(S {X}) then S S {X} if SOLUÇÃO(S) then else return não tem solução Código de Huffman O Algoritmo de Huffman xemplo: Arquivo de de 1. caracteres (a, (a, 15), (e, (e, 25), (i, (i, 22), (s, (s, 7),(t, 5), 5), (b, (b, 23), (n, (n, 3) 3) Usando ASCII extendido (8 (8 bits): 8. bits Usando código fixo de de 3 bits: 3. bits Usar código de de tamanho variável? Uma possível solução para o problema de de Compressão de de Arquivos. Idéia é usar código de de tamanho variável. Uso de de código prefixo. Uso de de árvore binária Vamos assumir que o número de de caracteres é C. C. Manter uma floresta de de árvores. O peso de de uma árvore é a soma das freqüências de de suas folhas. C 1 vezes, selecionar as as duas árvores de de menor peso e formar uma nova árvore. No início do do algoritmo, existem C árvores de de apenas um nó. No final temos apenas uma única árvore. A árvore com o código de de Huffman. 7

8 a = 1 1 e = 1 1 i i = 1 1 s s = t t = 1 1 xercício Problema dos Postos de de gasolina: Input: D = [d [d 1,d,d 2,...,d n ]]:: distâncias entre postos de de gasolina k :: autonomia (em km) do do tanque de de gasolina do do carro Output: Postos selecionados para abastecer o carro (o (o número de de paradas seja o menor possível) Assumir: 1 i i n d i i k d i i é a distância entre postos i-1 i-1 e ii Inicia com o tanque cheio ncontrapostos(p) S Ø last for i = 1 to n do if (d i + last > k) S S {p i-1 } last d i last last + d i scolha da Propriedade Gulosa Subestrutura Ótima Seja Seja S = {s {s 1, 1, s 2, 2,... s k } k } uma uma solução ótima. Suponha que que g seja seja a primeira parada determinada pelo pelo nosso algoritmo. Temos que que mostrar que que existe uma uma solução ótima com com a primeira parada sendo g. g. Se Se s 1 = 1 g, g, então S é essa solução. Se Se s 1 1 g, g, como o nosso algoritmo escolha o posto mais distante possível, s 1 está 1 estáantes de de g. g. Podemos dizer que que S S = {{ g, g, s 2, 2,..., s k } k } é uma uma solução ótima: Observe que que S S = S. S. S S é válido (i.e. (i.e. não não vamos ficar ficar sem sem gasolina). Por Por definição da da escolha gulosa, podemos alcançar g. g. Como a distância entre g e s 2 não 2 não é maior do do que que a distância entre s 1 e 1 s 2, 2, temos combustível suficiente para para sair sair de de g para para s O resto de de S S é igual a S. S. Logo é uma uma resposta válida. Seja P o problema original com uma solução ótima S. S. Após parar no no posto g, g, a uma distância d i, i, o subproblema P P que resta de de d i+1 i+1 para d n é o mesmo problema, com a diferença da da cidade de de origem. Seja S S uma solução ótima para P. É fácil perceber que Custo(S) = Custo(S ) Logo, uma solução ótima para P inclui uma solução ótima para P. P. 8