Pesquisa Operacional / Programação Matemática

Transcrição

1 Pesquisa Operacional / Programação Matemática Otimização discreta Modelagem com variáveis binárias: problemas clássicos

2 Breve Comentários (aula anterior) Em geral, não faz sentido resolver a relaxação linear e arredondar a solução ótima obtida A solução arredondada d d pode nem sequer ser factível ou pode estar muito afastada da solução ótima Há circunstâncias práticas em que o arredondamento pode fazer sentido, tendo-se a consciência de que está obtendo uma solução que pode não ser ótima (por exemplo, na prática será muito diferente x=19995 ou x=2000?) Um problema PI (programação linear) é muito mais difícil de resolver do que o PL (perdeu-se a convexidade do conjunto de soluções factíveis) Para PL são conhecidas condições necessárias e suficientes de otimalidade Para PI não são conhecidas condições necessárias nem suficientes de otimalidade: dada uma solução factível, a única forma de determinar se ela é ótima ou não é demonstrar que não existe nenhuma solução factível com melhor valor

3 Problemas clássicos Importância histórica e prática Usados para modelar problemas reais e como subproblemas em problemas maiores (e mais frequentes na prática)

4 Problema da mochila (Knapsack problem) Idéia básica: diversos itens, cada um com um valor de utilidade e um peso Queremos levar a maior soma de utilidades possível (não podemos ultrapassar a capacidade da mochila)

5 Ex (problema do ladrão) capacidade: 8 Outras aplicações (!!): - investimentos, produção, logística, etc etc etc retirado de:

6 Problema da mochila (Knapsack problem) variáveis de decisão xj que significam o número de itens do tipo j a incluir na mochila Cada item está associado a um lucro pj e um peso aj Caso1: xj representa a quantidade de objetos do tipo j selecionado e pode assumir um valor fracionário O problema pode ser formulado como:

7 Exemplo Mochila - PL Ex (investimento): e Sol ótima? Considere um vetor que faça a razão de Razão: Ordene os itens em ordem decrescente de razão, teremos o vetor ordenado: como temos uma só restrição, a solução será as demais variáveis são nulas e o valor da função objetivo 150

8 Problema da mochila (variações) Caso 2: xj representa a quantidade de objetos do tipo j selecionado e não pode assumir um valor fracionário mochila inteira: múltiplas unidades de um mesmo item podem ser colocadas na mochila

9 Exemplo Mochila - Inteira Ex (investimento): e Solução não trivial Considere um vetor que faça a razão de Razão: Ordene os itens em ordem decrescente de razão, teremos o vetor ordenado: Considerando a mesma estratégia e arredondando temos as demais variáveis i são nulas e o valor da função objetivo 144 Não é a solução ótima e o valor da solução é 145 (Resolva o exemplo no excel

10 Problema da mochila (variações) Caso 3: xj pode assumir um valor fracionário mas podemos levar no máximo uma unidade do objeto Solução trivial Por que?

11 Exemplo Mochila Ex (investimento): e Considere um vetor que faça a razão de Razão: Ordene os itens em ordem decrescente de razão, teremos o vetor ordenado: Faça No exemplo: enquanto couber na mochila e x 7 = 1 e sobra um espaço na mochila de 94 x 6 = 1 e sobrou espaço de 71 na mochila x 5 = 1 e sobrou espaço pç de 37 na mochila x 4 = 1 e sobrou espaço de 10 na mochila x 1 = 021

12 Formulação Caso 4: podemos selecionar no máximo uma unidade de cada objeto Variáveis: Solução não trivial

13 Mochila 0-1 Ex (investimento): e Sol ótima?

14 Problema da mochila (variações) múltiplas mochilas: cada item pode entrar em uma de várias mochilas (caminhões, contêineres) variáveis:

15 Variação das múltiplas mochilas Múltiplos processadores paralelos: a o peso (tempo de processamento) de cada item pode depender da mochila (processador) ao qual ele for alocado

16 bin packing Encontrar o menor número de mochilas tal que todos os itens sejam empacotados todos os itens são alocados todos os itens são alocados as capacidades das mochilas são respeitadas

17 Problemas de designação Já visto anteriormente e e Alocar n tarefas aeasaa n agentes de modo a minimizar o custo total de designação;

18 Problemas de designação generalizada m agentes, es, n tarefas as cada tarefa deve ser realizada por um único agente cada agente pode realizar mais de uma tarefa cada agente i gasta a ij de um dado recurso (tempo, eg) para executar a tarefa j cada agente dispõe de b i unidades do recurso

19 Problemas de designação generalizada

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21 Problema de Localização de Facilidades São dadas n potenciais localizações para a instalação de facilidades d e m clientes que devem ser atendidos por estas facilidades O custo fixo de instalar uma facilidade no local j é igual a c j Existe ainda um custo f ij para atender um cliente i a partir da facilidade j Cada cliente deve ser alocada a uma única facilidade Determinar os locais onde devem ser instaladas as facilidades de modo a minimizar o custo total Observe que um cliente só pode ser alocado a uma facilidade se ela tiver sido instalada Ou seja, teremos as restrições: 1) o cliente só pode ser atendido por uma facilidade e será atendido pela facilidade j somente se ela estiver instalada

22 Problema de Localização de Facilidades Minimizar Sujeito a: n m n z = c j y j + f ijx ij j= 1 i= 1j= 1 n xij = 1, i m j= 1 ij y j, i m, j n x x {0,1}, y {0,1} i m, j n ij j

23 Problema de Localização de Facilidades capacitado São dadas n potenciais localizações para a instalação de facilidades d e m clientes que devem ser atendidos por estas facilidades O custo fixo de instalar uma facilidade no local j é igual a c j Existe ainda um custo f ij para atender um cliente i a partir da facilidade j Cada cliente tem uma demanda d i e deve ser alocada a uma única facilidade Cada facilidade tem uma capacidade conhecida ej Determinar os locais onde devem ser instaladas as facilidades de modo a minimizar o custo total Observe que um cliente só pode ser alocado a uma facilidade se ela tiver sido instalada Ou seja, teremos as restrições: 1) o cliente só pode ser atendido por uma facilidade e será atendido pela facilidade j somente se ela estiver instalada

24 Problema de Localização de Facilidades Minimizar Sujeito a: n m n z = cj yj + cijxij j= 1 i= 1j= 1 n x ij = 1, i m j=11 xij yj, i m, j n m dx i 1 i ij e j y = j, j n x {0,1}, y {0,1} i m, j n ij j

25 Problemas de cobertura/partição/empacotamento p Selecionar ec subconjuntos os de um conjunto o inicial de forma a cobrir, particionar ou empacotar o conjunto inicial

26 Problemas de cobertura/partição/empacotamento p

27 Exemplo de aplicação: localização de facilidades de emergência (corpo de bombeiros, ambulâncias) x w y z x consegue atender em 10 minutos (tempo máximo desejado) os bairros 1 e 2; x: (1,2) y:(245) (2,4,5) w: (3) z: (4,5) cobertura, empacotamento ou particionamento?

28 Cobertura Exemplo: po x y w z

29 De maneira geral Cobertura Empacotamento Particionamento

30 O Problema do Caixeiro viajante Formulação de Dantzig Fulkerson-Johnson O objetivo do modelo é determinar o ciclo hamiltoniano de custo (distância) mínimo A formulação foi feita sobre um grafo G=(N,A) da seguinte forma: Definindo: Minimizar z N N = i= 1j= 1 N xij = 1, j N i= 1 N xij = 1, i N j= 1 c x ij ij Modela o Problema?

31 O Problema do Caixeiro viajante Minimizar z N N = i = 1 j = 1 N xij = 1, j N i= 1 N xij = 1, i N j= 1 x S 1 c x ij ij ij S N i, j S x ij {0,1} {,} i, j N S é um sub-grafo de G e S é o número de vértices desse sub-grafo Assumimos que não temos a variável xii

32 Exercícios 1) Um aventureiro planeja fazer uma viagem acampando Há cinco itens que o aventureiro deseja levar consigo, mas estes juntos, excedem o limite de 40 kg que ele supõe ser capaz de carregar Para ajudar o processo de seleção, ele atribui valores, por ordem de crescente importância, a cada um dos itens segundo a tabela Que itens devem ser colocados na mochila de forma a maximizar o valor total sem exceder as restrições de peso? item Peso (kg) valor

33 Exercícios Um hospital deseja planejar os horários das enfermeiras de seu turno da noite A demanda por enfermeiras no turno da noite no dia j=1,,7 da semana é um número inteiro dj Cada enfermeira trabalha cinco dias consecutivos e descansa nos dois dias seguintes O objetivo consiste em minimizar o número de enfermeiras contratadas Variáveis de decisão (defina como): xj: número de enfermeiras que começam seu horário no dia j=1,,7

34 Exercícios Pretende-se instalar um número mínimo de postos de saúde para servir 6 povoados Quantos, e em quais povoados deverão ser instalados os postos, de forma a que cada povoado não fique a mais do que 15Km de um posto? A Tabela a seguir fornece as distâncias (em km) dos povoados aos possíveis locais de instalação dos postos de saúde P1 P2 P3 P4 P5 P6 P P P P P P Apresente um modelo matemático de modo a minimizar o problema acima e discuta um procedimento heurístico para obtenção de uma solução factível para o problema e apresente a solução obtida Como você faria para comparar a qualidade da solução heurística (deve ser respondida com base nos conteúdos dados d em sala) Você modelou este problema baseado em qual problema clássico?