II. Programação Linear (PL)

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1 II. Programação Linear (PL) Dualidade revisão e interpretação econômica Seja o pl max Z x x x x 4 x, x 5x x Prof.ª Gladys Castillo

2 Formulação do Problema de PL em termos de Atividades. Exemplo Protótipo. Atividade Principal P - produção de portas por minuto Atividade Auxiliar P - não utilização da capacidade de produção da seção por minuto max Z=x + 5 x sujeito a x 0 + x + F 0 + F + F 0 = 0 0 x, x, f, f, f Atividade Auxiliar P 5 - não utilização da capacidade de produção da seção por minuto Atividade Principal P - produção de janelas por minuto As variáveis correspondem aos níveis das atividades Atividade Auxiliar P 4 - não utilização da capacidade de produção da seção por minuto Prof.ª Gladys Castillo

3 Exemplo Protótipo. Problema Primal. Interpretação Econômica das Variáveis. variáveis de decisão: x - nível de produção de portas por minuto; x - nível de produção de janelas por minuto; variáveis de folga: unidade de medida: unidade física F - capacidade de produção não utilizada na ª seção, por minuto; F - capacidade de produção não utilizada na ª seção, por minuto; F - capacidade de produção não utilizada na ª seção, por minuto; função objetivo max: unidade de medida: unidade física Maximizar o lucro total por minuto. unidade de medida: unidade monetária (R$) Prof.ª Gladys Castillo

4 Formulação do Problema de PL em termos de Atividades. Exemplo Protótipo. max Z=x + 5 x x 0 + x + F 0 + F + F 0 = x, x, F, F, F 0 E E y y y Base x x F F F b Z / 6 f / -/ x / 0 6 x -/ / Solução do Dual Prof.ª Gladys Castillo 4

5 Interpretação Econômica do Problema Dual. Preços Sombras. o valor da f.o. traduz o valor total atribuído aos recursos As variáveis de decisão duais y, y, y são valorizações unitárias a atribuir a cada recurso e podem ser interpretadas como a contribuição ao lucro total por cada unidade de recurso i utilizada. Estes são preços internos, também designados como preços sombra min W = 4 y + y + 8 y y + y y + y 5 y, y, y Prof.ª Gladys Castillo 5

6 Interpretação Econômica do Problema Dual. Preços Sombras. Preço sombra corresponde ao custo de oportunidade de uma atividade, que pode ser referido como sendo o seu verdadeiro preço econômico Na pesqui operacional, o preço sombra é a variação do valor objetivo da solução ótima de um problema de programação linear obtido através do relaxamento da restrição por uma unidade - é a utilidade marginal de relaxar a restrição. Um exemplo custo de oportunidade: imagine uma fábrica que produzia 0 cadeiras por mês num mercado que absorvia totalmente esta produção. Diante de uma oportunidade de negócios, esta fábrica resolveu iniciar uma produção de um novo produto: mes. Porém, ao alocar recursos para tal, descobriu que terá de deixar de produzir cadeiras para suprir a demanda de mes. O custo de oportunidade está no valor perdido da venda das cadeiras que deixaram de ser fabricadas Prof.ª Gladys Castillo 6

7 Interpretação Econômica do Problema Dual. Preços Sombras. min W = 4y + y + 8y y + y y + y 5 y, y, y 0 F F F x x Base y y y E E b -W 6 6 y / -/ 0 y -/ / -/ / Solução do Primal Prof.ª Gladys Castillo 7

8 Formulação do Problema de PL em termos de Atividades. Exemplo Protótipo. E E y y y Base x x F F F b Z / 6 f / -/ x / 0 6 x -/ / F F F x x Base y y y E E b -W 6 6 y / -/ 0 y -/ / -/ / Z*= 6 x *= x *= 6 F *= F *= 0 F *= 0 W*= 6 y *= 0 y *= / y *= E *= 0 E *= Prof.ª Gladys Castillo 8

9 Exemplo Protótipo: Recurso. Preços Sombras. Representação Gráfica. z*= x + 5 x = 6 y * = 0 Se incrementar a capacidade de produção da seção em unidade ( b = 5 ) o valor ótimo ( z*=6 ) não muda. Este recurso é abundante ( "gratis") x x + x = 8 x = 4 X*=(, 6) x = 6 Região factível max Z x x = 5 x x x, x x 4 min D 4y y 0y y, y 5x x 0 0y y, y y 8 y y 0 ( y ) ( y ( y 8y ) ) x Prof.ª Gladys Castillo 9

10 Exemplo Protótipo: Recurso. Preços Sombras. Representação Gráfica. z*= x + 5 x = 7 / z*= x + 5 x = 6 x 8 X*=(5/, /) x = 4 min D 4y y 0y y, y 0y x = / y y, y y y 0 8y 5 y * =/ Se incrementar a capacidade de produção da seção em unidade ( b = ) o valor ótimo será incrementado em / Euros ( z*=7 ½ ). Este recurso é escasso. 6 4 Região Factível x = /=6 x + x = x Prof.ª Gladys Castillo 0

11 Exemplo Protótipo. Recurso. Preços Sombras. Representação Gráfica. x 8 x = 4 min D 4y y 0y y, y y 0y y, y y y 0 8y 5 y * = Se incrementar a capacidade de produção da seção em unidade ( b = 9) o valor ótimo será incrementado em Euro ( z*=7 ). Este recurso é escasso. 6 4 Região das soluções admissíveis X*=(7/, 6) x = /=6 x + x = x Prof.ª Gladys Castillo