Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

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1 Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana

2 Bibliografia ARENALES, ARMENTANO, MORABITO e YANASSE. Pesquisa Operacional, Campus, BERTSIMAS, D.; TSITSIKLIS, J. N. Introduction to Linear Optimization, Athena Scientific, BAZARAA, M. S.; JARVIS, J. J. Linear Programming and Network Flows, John Wiley and Sons, N.Y., GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. L. Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos. Editora CAMPUS, 2. ed., LUENBERGER, D. G. Linear and Nonlinear Programming, 2. ed., Reading, Mass, Ad-dison-Wesley; 1984.

3 É a aplicação de métodos científicos a problemas complexos para auxiliar no processo de tomada de decisões Pesquisa Operacional Operational Research

4 Otimização Pesquisa Operacional

5 Otimização Compreende uma grande variedade de problemas que estão dentro da Pesquisa Operacional

6 O Termo Otimização... A área que estuda problemas de otimização é classicamente chamada de Programação Matemática. Esta denominação identifica uma ampla classe de problemas. O nome programação foi empregado porque os militares se referem ao planejamento de atividades como "programa". O termo otimização pode ser usado para designar Programação Matemática de forma a tornar o significado do termo mais compreensível. Otimização Linear Programação Linear Otimização Inteira Programação Inteira Otimização Não-Linear Programação Não-Linear

7 O Termo Otimização... Com a disseminação do uso do computador, Programação passou a ser entendido como a codificação de um algoritmo em uma determinada linguagem (FORTRAN, C, C++, Delphi, etc) Programação Matemática Programação de Computadores. Linguagens de programação e computadores são muito usados no estudo de problemas de otimização, mas a Programação Matemática é muito mais do que a codificação de um algoritmo.

8 Origens e Definição de Pesquisa Operacional

9 Pesquisa Operacional Ramo interdisciplinar da matemática aplicada que faz uso de modelos matemáticos, estatísticos e de algoritmos na ajuda à tomada de decisões. Otimizar significa encontrar a melhor maneira de fazer algo, dada uma medida do que é ser melhor.

10 Tomada de Decisões (Em uma estrada) Qual o melhor caminho a tomar? (Na bolsa de valores) Em que companhias investir? (Em uma indústria) O que e em que ordem produzir? (Em um trabalho em grupo) Que pessoas alocar a que tarefas? (Em uma companhia de distribuição) Que rede (elétrica, de gás, etc.) instalar?

11 Tomada de decisões (origens) A humanidade toma decisões desde os princípios da sua existência. As decisões são baseadas em: experiências anteriores intuição Tomada de decisões: Presente em sociedades completamente primitivas. Problema do caminho mínimo para o transporte de comida. Problema de designação de atividades durante caça.

12 Surgimento da P.O. Problema: Como usar radares? Como aumentar a eficiência da informação fornecida por radares Conexão entre radares e redes de telecomunicações Time Zero: British military applications The term "operational research" first used

13 II Guerra Mundial Problema: Tamanho dos comboios! O que é melhor usar? Vários comboios pequenos (mais rápidos) Poucos comboios grandes (mais protegidos) Problema: Deslocamento de tropas, suprimentos... Melhoria das operações utilizadas Operations Research Pesquisa Operacional

14 Após a Guerra A Pesquisa Operacional evoluiu rapidamente na Inglaterra e nos Estados Unidos. Em 1947, foi implantado o Projeto SCOOP (Scientific Computation of Optimal Programs) no Pentágono com o objetivo de apoiar decisões de operações na força aérea americana. O grupo de pesquisa era coordenado pelo economista Marshall Wood e pelo matemático George Dantzig.

15 George Dantzig Usou o termo Programação Linear para analisar um problema de planejamento para a força aérea americana. Método Simplex Utilizado para resolver problemas de programação linear. ( ) Resolvemos muitos problemas lineares porque: Representam bem várias situações práticas; Sabemos resolver eficientemente problemas lineares.

16 Otimização Linear - História Kantorovich 1939: Métodos matemáticos na organização e no planejamento da produção. Dantizig 1947: Método prático para solução de modelos lineares (paper: Programming in a Linear Structure). George B. Dantzig 1949: Publicou Simplex Method. Karmachar 1984, Método dos pontos interiores, polinomial

17 Aplicações Produção e logística; Indústrias: alimentação, automóveis, aviação, computadores, eletrônica, metalurgia, mineração, mísseis, móveis, papel, petróleo, etc Organização de serviços (públicas e privadas): bancos, seguradoras, hospitais, bibliotecas, agência de viagens e turismo, trânsito; Agência de governo: federal, estadual e municipal.

18 Aplicações e Modelagens Matemáticas Problemas de Mistura Problemas de Transporte, Transbordo e Designação Problemas de Planejamento da Produção Problemas de Gestão Financeira (Fluxo de Caixa) Problemas de Meio Ambiente Problemas de Corte e Empacotamento Controle Ótimo de Sistemas Lineares Problemas Lineares por Partes

19 Etapas da Modelagem Problema Real Modelo Matemático Solução do Modelo Matemático Validação do Modelo Solução aceitável

20 Modelagem Não há um algoritmo para se escrever um modelo matemático... Passo fundamental: ouvir aquele que lida com o problema real e entender como obtém suas soluções Passo 1: descobrir o que deve ser determinado: variáveis do problema Passo 2: descobrir o que é disponível: dados do problema Passo 3: reproduzir os caminhos que levam a uma solução: equações

21 Modelos de Otimização Contínuo (linear) Inteiro Misto Não linear

22 Modelo de Otimização Linear c n x n x c x c x f Minimizar ) ( função objetivo sujeito a: m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a restrições ( ou ) x 1 0, x 2 0, x n 0. condição de não-negatividade ),...,, ( 2 1 n x x x que satisfaz todas as restrições é chamado de solução factível.

23 Problemas de Mistura Rações, Vitaminas (mistura de alimentos); Ligas Metálicas (mistura de insumos metálicos); Composição de areia para filtro (mistura de areias).

24 Problemas de Mistura Mistura produzida a partir de ingredientes que possuem os componentes desejados no novo produto, satisfazendo determinadas especificações. Componentes e Custos de cada ingrediente devem ser conhecidos. OBJETIVO: determinar as quantidades de cada ingrediente que será utilizada para obter uma mistura com a composição especificada e com o menor custo possível.

25 Formulação Matemática Dados n : número de ingredientes; m : número de componentes; a ij : fração do componente i no ingrediente j; b i : fração do componente i na mistura; c j : custo unitário do ingrediente j. Variáveis de decisão: x j : quantidade do ingrediente j a ser usada em uma unidade da mistura.

26 Formulação Matemática a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n fornece a quantidade do componente 1 na mistura minimizar f (x 1, x 2,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Sujeito a: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m x 1 + x x n = 1 x 1 0, x 2 0,..., x n 0

27 Exemplo 1 - Rações Uma agroindústria deve produzir um tipo de ração para um determinado animal. A ração é produzida pela mistura de farinhas de 3 ingredientes básicos: farinhas de osso, de soja e de peixe. Cada um dos ingredientes contém diferentes quantidades de dois nutrientes necessários para uma dieta nutricional balanceada: proteína e cálcio. O nutricionista específica as necessidades mínimas desses nutrientes em 1 kg de ração.

28 Exemplo 1 - Rações Cada ingrediente é adquirido no mercado com um certo custo unitário Objetivo: Determinar em que quantidades os ingredientes devem ser misturados de modo a produzir 1 kg de ração que satisfaça às restrições nutricionais com o mínimo custo.

29 Dados do problema Ingredientes Nutrientes Osso Soja Peixe Ração Proteína Cálcio Custos ($/kg) Variáveis de decisão (1 kg de mistura) x osso : quantidade de farinha de osso x soja : quantidade de farinha de soja x peixe : quantidade de farinha de peixe

30 Formulação Matemática Custo da mistura f(x osso, x soja, x peixe ) = 0.56 x osso x soja x peixe Quantidade de proteína (1 kg de mistura) 0.2x osso x soja x peixe 0.3 Quantidade de cálcio (1 kg de mistura) 0.6x osso x soja x peixe 0.5 Soma dos ingredientes: 1 kg de mistura x osso + x soja + x peixe = 1

31 Formulação Matemática min f(x osso, x soja, x peixe ) = 0.56 x osso x soja x peixe Sujeito a: 0.2 x osso x soja x peixe x osso x soja x peixe 0.5 x osso + x soja + x peixe = 1 x osso 0; x soja 0; x peixe 0 Solução ótima: x osso = 0.5; x soja = 0; x peixe = 0.5 Função objetivo: f(0.5, 0, 0.5) = 0.51

32 Exercício 1 Verifique que se a composição x osso = 0.5 ; x soja = 0.3 ; x peixe = 0.2 também é uma solução do problema. Calcule o custo desta nova solução. É melhor ou pior do que a anterior?

33 Exercício 2 Paula deseja balancear os alimentos que consume de forma a obter uma dieta alimentar que forneça diariamente toda a energia, proteína e cálcio que necessita. Seu médico recomendou que ela se alimente de forma a obter diariamente no mínimo 2000 kcal de energia, 65g de proteína e 800 mg de cálcio. Quanto de cada alimento Paula deve consumir para obter uma dieta que atenda a recomendação médica e que tenha o menor custo possível? O Valor nutritivo e o preço (por porção) de cada alimento a ser considerado na dieta é dado na tabela a seguir:

34 Composição nutricional e custo dos alimentos Tipo de alimento Tamanho da porção Energia (Kcal) Proteína (g) Cálcio (mg) Preço por porção (centavos) Arroz 100g Ovos 2 un Leite 273 ml Feijão 260g Variáveis de decisão?? Custo da mistura?? Restrições??

35 Formulação Matemática min f(x a, x o, x l, x f ) = 14 x a + 13 x o + 9x l + 19x f Sujeito a: 170 x a x o + 160x l + 337x f x a + 13 x o + 8x l + 22x f x a + 54 x o + 285x l + 86x f 800 x a 0; x o 0; x l 0; x f 0 Solução ótima: x a = 0; x o = 0; x l =12.5; x f = 0 Função objetivo: f(0, 0,12.5,0) = 112,5 centavos

36 Análise da Solução O que dizer desta solução? (x l : número de porções do alimento leite e uma porção de leite é igual a 237ml) = ml Apesar de ser a de menor custo, a dieta sugerida é composta por apenas um alimento em uma quantidade que não é adequada.

37 Análise da Solução Paula consegue tomar esta quantidade de leite em uma refeição? Uma pergunta natural para fazer a Paula é: "Quantas porções de leite você tomaria?". Este diálogo fictício ilustra bem a necessidade de se avaliar as respostas que um modelo produz. No processo de construção de um modelo a fase de validação pode resultar em uma revisão do modelo proposto. A resposta da Paula à pergunta acima implica em impor um limite para o número de porções de leite a serem incluídas na dieta.

38 Análise da Solução Novos elementos conhecidos passam a fazer parte do nosso modelo: número máximo de porções do leite. Podemos prever que limitar apenas o consumo do leite pode gerar novas soluções que sugiram um consumo igualmente inaceitável dos demais alimentos. Para obter um modelo que reflita melhor a situação precisamos conhecer os limites máximos aceitáveis para o consumo de cada um dos alimentos. Obtendo de Paula estes dados, podemos representar matematicamente esta nova restrição impondo um limite superior para o valor das variáveis.

39 Reformulação do Modelo Considerando que o limite máximo para o consumo de arroz, ovos, leite e feijão são 1, 2, 2, 3 respectivamente: min f(x a, x o, x l, x f ) = 14 x a + 13 x o + 9x l + 19x f Sujeito a: 170 x a x o + 160x l + 337x f x a + 13 x o + 8x l + 22x f x a + 54 x o + 285x l + 86x f 800 x a 1; x o 2; x l 2; x f 3 x a 0; x o 0; x l 0; x f 0