Aula de Hoje 1. PROGRAMA E CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO; 2. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL (PO) 3. APLICAÇÕES DE PO 4. CONCLUSÃO

Transcrição

1 Aula de Hoje Prof. Silvio Alexandre de Araujo 1. PROGRAMA E CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO; 2. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL (PO) 3. APLICAÇÕES DE PO 4. CONCLUSÃO PROGRAMA Parte I: Revisão 1. Formulação de Problemas de Otimização Linear 2. Conceitos de Álgebra Linear e Análise Convexa 3. Método simplex 4. Dualidade 5. Análise de Sensibilidade 6. Aplicação: - Problema do transporte - Problema da Designação - Outros Parte II: Fluxo em Redes BIBLIOGRAFIA 1. ARENALES, M., ARMENTANO, V., MORABITO, R. E YANASSE, H.-Pesquisa Operacional-2007 Editora Campus. 2. Bazaraa, M.S. & Jarvis, J.J., Linear Programming and Network Flows. John Wiley & Sons Inc,. New York, CHVÁTAL, V. - Linear Programming, W.H. Freeman and Company, DANTZIG. G.B. e TAPPA,M.N. - Linear Programming - 1: Introduction, Springer, Goldbarg, M. C. e Luna, H. P. Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos. Editora Campus. Rio de Janeiro, Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, 3a ed., 1988.

2 BIBLIOGRAFIA 7. LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões, Ed. Campus, MENEZES, M.A. LabPL - Laboratório de Programação Linear (disponível em 9. PRADA, D. Programação Linear, Editora DG, PUCCINI, A.L. e PIZZOLATO, N.D. - Programação Linear, LTC, RANGEL, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira. 1. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC, v. único. 82 p. (disponível em ) 12. WILLIAMS, H.P. - Model Bulding in Mathematical Programming, John Wiley & Sons, KOCH, T. ZIMPL User Guide (Zuse Institute Mathematical Programming Language) for Version 2.04, 30. January 2005 (disponível em Critério de Avaliação VERIFICAÇÕES DA APRENDIZAGEM Avaliações 1ª (19/04) 2ª (21/06) PESO 1 1 Média Final (MF): MF = (P1 + P2) / 2 Se MF>= 5 Aprovado Se MF<5 Prova de Recuperação (PR) Nota Final = (MF + PR)/2 >= 5 Aprovado Obs: Caso seja solicitado um trabalho, o critério de avaliação poderá ser modificado Construção de Modelos Motivação "Existem duas maneiras de aumentar a eficiência de uma loja, empresa, ou indústria. Uma delas requer a melhoria tecnológica, isto é, atualização dos equipamentos, mudança no processo tecnológico, descoberta de novos e melhores tipos de matéria prima. A outra maneira, até hoje muito menos utilizada, envolve melhorias na organização do planejamento e da produção. Isto é, melhorias no processo de distribuição do trabalho entre as máquinas da empresa, distribuição de matéria prima, combustível, entre outros fatores." (Kantarovich (1939) in Dantzig, 1963, pg 22) Construção de Modelos Matemáticos Sistema Real Definição e Descrição do Problema Simplificações Modelo Matemático

3 Construção de Modelos Matemáticos Sistema Real Aulas Anteriores Construção de Modelos Matemáticos Sistema Real Aulas Anteriores Definição e Descrição do Problema Simplificações Definição e Descrição do Problema Simplificações Modelo Matemático Diversos Exemplos Aplicações Problemas de Transportes Problemas de Alocação Problemas de Corte e Empacotamento Modelo Matemático Classes de Problemas de Pesquisa Operacional Modelos de Programação Linear Modelos de Programação Inteira Modelos de Programação Não linear Modelos de Programação Inteira Mista Construção de Modelos Matemáticos Sistema Real Aulas Anteriores Construção de Modelos Matemáticos Sistema Real Aulas Anteriores Definição e Descrição do Problema Simplificações Definição e Descrição do Problema Simplificações Modelo Matemático Classes de Problemas de Pesquisa Operacional Modelos de Programação Linear Modelos de Programação Inteira Modelos de Programação Não linear Modelos de Programação Inteira Mista Modelo Matemático Modelos de Programação Linear Restrições e Função Objetivo Lineares e Variáveis Contínuas Características: Proporcionalidade, Aditividade e Divisibilidade Exemplos de Modelagem

4 Aula de Hoje Desafio 1 (Programação Linear) Sistema Real Definição e Descrição do Problema Simplificações - Considere o Problema: A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são: Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4 Implementação Solução do Modelo Modelo Matemático Sub Sub Sub Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico? Objetivos do curso Apresentar a Programação Linear como ferramenta básica da Pesquisa Operacional para formulação e resolução de problemas de otimização; Estudar os métodos clássicos de resolução de problemas de Programação Linear através de aplicações diversificadas; Pesquisa Operacional Desenvolvimento Histórico : Durante a segunda Guerra Mundial. Abordagem científica para tratar problemas de natureza logística, tática e de estratégia militar, de forma eficaz. Terminado o conflito, os cientistas e a sua nova metodologia se transferiram para as empresas.

5 Definição de Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional (Operations Research) conjunto de técnicas e métodos matemático/computacionais para auxiliar a tomada de decisões nas operações de sistemas organizacionais Definição de Pesquisa Operacional Problema de Pesquisa Operacional ou Problema de Otimização: - Critério de avaliação de soluções alternativas que nos permite dizer que uma solução é melhor que a outra - A este critério chamamos de função objetivo que buscamos otimizar, ou seja, maximizar ou minimizar. - Por outro lado, as soluções alternativas devem ser passíveis de execução indicando a presença de restrições que devem ser respeitadas. A PO é uma ciência aplicada voltada para resolução de problemas reais, tendo como foco a otimização da tomada de decisões Construção de um Modelo de Programação Linear: Problema da Mistura Descrição do Problema: uma fundição deve produzir 30 toneladas de um tipo liga a partir de quantidades variadas de diversos produtos de forma a minimizar o custo de produção desta liga

6 Ingredientes Composição % Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Descrição do Problema: dados Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil Matéria-prima: ingredientes Ferro-gusa Composição % Carbono Silício Manganês Composição Mínima Liga Metálica (Mistura) Fabricação da Peça

7 Ingredientes Composição % Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Descrição do Problema: dados Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil Construindo um modelo para o Problema da Mistura Neste problema temos: Construção de Modelos elementos conhecidos: composição e custo dos ingredientes elementos desconhecidos: quanto colocar de cada ingrediente na misttura Ferro-gusa Composição % Carbono Silício Manganês Composição Mínima objetivo a ser alcançado: obter uma mistura de baixo custo restrições: a mistura deve ter uma quantidade mínima de componentes Construção do Modelo Variáveis de decisão: - A mistura deve ser feita a partir da mistura de 4 itens (j= 1,2,3,4) - x j : quantidade (em kg) do ingrediente j a ser colocada na mistura - Função Objetivo: Minimizar 90 x x x x 4 Objetivo Obter a mistura de menor custo possível. Proporcionalidade: 1 tonelada de lingote ==> R$ 90,00 2 toneladas de lingote ==> R$ 180,00 x1 toneladas de lingote ==> R$ 90* x1 gasto associado a quantidade de grafite na mistura: R$ 180 * x2 Aditividade gasto total com lingote e grafite é dado pôr: R$ 90 x x2 Construção do Modelo Variáveis de decisão: - A mistura deve ser feita a partir mistura de 4 itens (j= 1,2,3,4) - x j : quantidade (em kg) do ingrediente j a ser colocada na mistura - Função Objetivo: Minimizar 90 x x x x 4 - Restrições de Composição Mínima: 0.50 x x x x 4 30 (0.43) :C 0.20 x x x x 4 30 (0.19) :Si 0.23 x x x x (0.12) :Mn - Restrições de Atendimento da Demanda: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 30 - Restrições de Não Negatividade das Variáveis: x 1 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 (Divisibilidade x j R)

8 Modelo Matemático Extensão 1: suponha que novos clientes tenham surgido e esses são mais exigentes com as especificações Minimizar 90 x x x x 4 Sujeito a: 0.50 x x x x 4 30 (0.43) Ingredientes Composição % Carbono Lingotes 0.5 Grafite 0.9 Restos Industriais 0.5 Restos Domicil x x x x 4 30 (0.19) Silício x x x x 4 30 (0.12) Manganês x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 30 Custo R$/ton x 1 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Composição Máxima Carbono Silício Manganês Modelo Matemático: exercício Minimizar 90 x x x x 4 Sujeito a: 30 (0.43) 0.50 x x x x 4 30 (0.65) :C 30 (0.19) 0.20 x x x x 4 30 (0.30) :Si 30 (0.12) 0.23 x x x x 4 30 (0.35) :Mn x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 30 x 1 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 Extensão 2: suponha que devido a uma elevação no nível de exportação passou a ocorrer falta de matéria-prima de forma que os estoques ficaram limitados Ingredientes Composição % Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Estoque (ton) Ferro-gusa Composição % Carbono Silício Manganês Lingotes Grafite Composição Mínima Restos Industriais Composição Máxima Restos Domicil

9 Modelo Matemático: exercício Minimizar 90 x x x x 4 Sujeito a: 30 (0.43) 0.50 x x x x 4 30 (0.65) :C 30 (0.19) 0.20 x x x x 4 30 (0.30) :Si 30 (0.12) 0.23 x x x x 4 30 (0.35) :Mn x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 30 0 x 1 50; 0 x 2 50; 0 x 3 12; 0 x 4 10 Solução Componentes m Custo Ingrediente Estoque Ingrediente Formulação Genérica 1 a 11 a 21 a m1 c 1 E 1 Ingredientes 2 a 12 a 22 a m2 c 2 E n a 1n a 2n... a mn c n E n Composição Min Max l 1 u 1 l 2 u 2... l m u m Mistura: x 1 = 12; x 2 = 0; x 3 = 12; x 4 =6 Valor do f.o.=1590 Demanda de Q unidades da Mistura Formulação Genérica: exercício minimizar f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n sujeito a: l 1 Q a 11 x 1 + a 12 x a in x n Q u 1 l 2 Q a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n Q u 2 : l m Q a m1 x 1 + a m2 x a mn x n Q u m x 1 + x x n = Q 0 x 1 E 1 ; 0 x 2 E 2 ;... ; 0 x n E n ; Dados do Problema: Q : quantidade de mistura a ser produzida; a ij : fração do componente i no ingrediente j ; l i : fração mínima do componente i na mistura ; u i : fração máxima do componente i na mistura ; c j : custo de uma unidade do ingrediente j. E j : quantidade em estoque do ingrediente j. Variável do Problema: x j : quantidade do ingrediente j a ser colocada na mistura. Tela Inicial

10 Composição de cada Liga Composição de cada Ingrediente Composição de cada Liga Cálculo da Liga

11 Problema da Mistura de Ligas Metálicas Diferença para algumas ligas em uma fornada 360 kg Sol. Ind Sol. Prog. % CF-8 725,55 554,21 31,1 CF-8M 1066,78 736,89 44,7 HH 984,90 748,01 31,6 CA ,48 195,87 16,1 Diferença Significativa considerando que a indústria produz 10 cargas por dia Dificuldades Encontradas Durante o Desenvolvimento Durante o desenvolvimento do programa foram detectados vários problemas - Composição Química dos Ingredientes Incorreta; - Peso de uma Compra de Ingredientes Incorretos; - Informações de Estoques Incorretas; - Custos de Estocagem Imprecisos, etc. Melhorias Obtidas Problemas Resolvidos Após o Desenvolvimento do Programa - Melhoria na Qualidade de Informações Básicas; - Melhoria na Qualidade de Compra dos Fornecedores; - Melhoria da Qualidade da Liga Feita; - Redução nos Custos das Ligas; - Melhoria no Armazenamento de Novas Informações Melhorias Obtidas Melhorias Inesperadas pelo Gerente Obtidas por meio de Simulações - Simular para Estabelecer Preço de Venda - Simular para Discutir Preço de Compra - Simular para Prazo de Entrega aos Clientes - Simular para Prazo de Recebimento de Matéria-prima

12 Passos para Resolução do Problema Passos para Resolução do Problema Modelagem Matemática Organização dos dados Implementação computacional: Método Simplex Desenvolvimento da Interface Dados Brutos Dados Estruturados Conhecimento Informação/conhecimento como base para tomada de decisão Pesquisa Operacional - O problema da mistura é apenas um exemplo simples de aplicação de Pesquisa Operacional - Vejamos a seguir outras aplicações onde a Pesquisa Operacional aparece como uma ferramenta.

13 Problema de Planejamento Programação da Produção Indústrias em geral produzem diversos tipos de itens, os quais são solicitados por diferentes clientes, com entrega em diferentes datas Como as indústrias têm capacidade de produção limitadas (máquinas, funcionários, etc.), se faz necessário a programação da produção, isto é, para cada período de tempo deve-se decidir o que e quanto fazer O problema consiste em atender a demanda de cada item, na data solicitada, de modo que os custos de produção, estoque, etc., sejam os menores possíveis Problema de Planejam. Programação da Produção Demanda Período 1 Período 2 Período 3 Item Item Custo de Produção Período 1 Período 2 Período 3 Item Item Custo de Estoque Período 1 Período 2 Período 3 Item Item Capacidade: 40 horas/período Tempo para produzir uma unidade: Item 1: 15 minutos Item 2: 20 minutos it N i= 1 it N T N T N T min z = c x + h z + s y it it it it it it i= 1 t= 1 i= 1 t= 1 i= 1 t= 1 sujeito a : zit 1 + xit = dit + zit i = 1,..., N t = 1,...,T x My i = 1,..., N t = 1,...,T Problema de Planejamento Programação da Produção it b x Cap t = 1,...,T i it t Modelagem Matemática: xit 0, zit 0 i = 1,..., N t = 1,...,T ( zi0 = 0 ) y {0,1} i = 1,..., N t = 1,...,T Tela Inicial

14 Carteira de Pedidos Cálculo das Peças Passos para Resolução do Problema Modelagem Matemática Organização dos dados Implementação computacional: Implementação de diferentes meta-heurísticas para a fixação da variáveis inteiras Avaliação de cada solução através da resolução do problema linear restante Desenvolvimento da Interface

15 Problema de Corte e Empacotamento uma empresa tem uma demanda de: 2800 barras de 2 metros, 1000 barras de 3 metros, 2000 barras de 3,5 metros e 1500 barras de 4 metros fornecedor vende apenas barras de 11 metros Problema de Corte e Empacotamento Como atender as encomendas com o mínimo de perda possível? Problema de Corte e Empacotamento Modelagem Matemática minimizar f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 )= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 Problema de Corte e Empacotamento Problemas de corte de dimensões maiores Corte Bidimensional sujeito a: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 e inteiros. Onde: x i é o número de vezes que o padrão de corte i é utilizado Alocação de Tarefas recurso Empacotamento Tridimensional tempo

16

17 Problema de Corte de Bobinas de Aço Problema de Corte de Bobinas de Aço

18 Problema de Corte de Bobinas de Aço Problema de Corte de Bobinas de Aço Passos para Resolução do Problema Modelagem Matemática; Organização dos dados; Implementação computacional Método de Geração de Colunas para geração dos padrões de corte (Problema da Mochila); Relaxação para um problema de programação linear; Implementação do Método Simplex; Implementação de um heurística de arredondamento; Desenvolvimento da Interface; Problemas de Logística Problemas de Localização Problemas de Sequenciamento Dentre Muiiiiitas Outras!!

19 Considerações Finais Infelizmente, ainda é pequeno o número de empresas que utilizam em seus processos alguma técnica de otimização. Isto se deve, principalmente, a uma falta de conhecimento a respeito do poder real de tais técnicas. É muito comum que as empresas não tenham consciência de que certas tarefas são passíveis de otimização ( sempre funcionou tão bem assim, não é mesmo? ). Ter prejuízo não significa somente terminar o mês no vermelho. Significa também terminar o mês com um "lucro" de R$ ,00 sem se dar conta de que o lucro poderia ter sido de R$ ,00. Considerações Finais Felizmente, essa situação vem se alterando. É cada vez maior o número de companhias que adotam modelos de otimização No Brasil, esse processo vem ganhando força mas ainda é incipiente. As empresas brasileiras ainda estão organizando os dados e, não conseguem fornecer dados de maneira adequada Nos demais países, principalmente na Europa e nos Estados Unidos, a utilização de técnicas de otimização dentro das empresas é bem mais difundida. Considerações Finais Na sociedade da informação, mais preparado é aquele que possui o conhecimento certo para ser aplicado ao problema certo. Quanto vale um profissional capaz de reduzir os custos de uma empresa em 30%? Nem é preciso responder, certo?

20 Desafio 1 (Programação Linear) - Considere o Problema: A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são: Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4 Sub Sub Sub Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico? Fazendo uso de indexação e somatórios é possível escrever modelos matemáticos compactos usando a forma literal Capacidade das subestações Demanda das Cidades s 1 =35 Sub1 s 2 =50 Sub2 s 3 =40 Sub3 Desafio 1 (Programação Linear) x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 Cid1 d 1 =45 Cid1 d 2 =20 Cid1 d 3 =30 Cid1 d 4 =30 Modelagem Matemática Elementos Presentes na Modelagem Matemática dados do problema: são constantes conhecidas função objetivo: qualifica as soluções restrições do problema: limitam as decisões a serem tomadas variáveis de decisão: são incógnitas do problema Modelagem Matemática: forma geral Minimizar ou Maximizar Função objetivo sujeito a Restrições do Problema - equações ou inequações Restrições sob as Variáveis de Decisão Construção de Modelos: exercício Variável de decisão: x ij = quantidade de energia enviada da subestação i à cidade j Modelo Matemático: min z = 8x x x x x x x x x x x x 34 sujeito a: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 35 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 50 Restrições de capacidade x 31 +x 32 +x 33 + x 34 = 40 x 11 + x 21 + x 31 = 45 x 12 + x 22 + x 32 = 20 x 13 +x 23 +x 33 = 30 x 14 +x 24 +x 34 = 30 x ij 0 i=1,2,3 e j=1,2,3,4 Restrições de demanda Variáveis de Decisão

21 Construção de Modelos: exercício Modelo de Transporte em forma literal: possibilita a representação compacta de modelos com muitas variáveis e restrições min z = n j= 1 m i= 1 ij ij ij m sujeito a : n i= 1 j= 1 i j c x x = s i = 1,...,m x = d j = 1,...,n ij x 0 i = 1,...,m j = 1,...,n ij Função Objetivo Restrições de capacidade Restrições de demanda Variáveis de Decisão Resposta (Programação Linear) - Considere o Problema: A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são: Resp. Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade Sub Sub Sub Observe que: c ij, s i e d j são os: Dados do Problema Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico? Capacidade das subestações s 1 =35 s 2 =50 s 3 =40 Resposta (Programação Linear) Sub1 Sub2 Sub3 x 11 =0 x 12 =10 x 13 =25 x 14 =0 x 21 =45 x22 =0 x 23 =5 x 24 =0 x 31 =0 x 32 =10 x 33 =0 x 34 =30 Demanda das Cidades Cid1 d 1 =45 Cid1 d 2 =20 Cid1 d 3 =30 Cid1 d 4 =30 Produção de rações: Exercício (casa) Uma agro-indústria produz rações para dois tipos de animais Essas rações são preparadas fazendo-se uma mistura de farinhas de quatro ingredientes básicos: milho, osso, soja e resto de peixe Cada um desses ingredientes contém diferentes quantidades de dois nutrientes necessários à uma boa dieta nutricional: proteína e cálcio O nutricionista especifica que as rações devem atender às exigências mínimas e máximas de composição desses nutrientes O mercado define os custos unitários de cada tipo de ingrediente A produção deve ser baseada nas disponibilidades em estoque das matérias-primas e a demanda de mercado deve ser atendida.

22 Ingredientes Nutrientes % Proteína Cálcio Estoque (ton) Custo R$/ton Exercício Milho Osso Soja Peixe Considerações sobre o Exercício Duas misturas devem ser produzidas a partir dos mesmos ingredientes em quantidades diferentes: As quantidades Mínimas e Máximas de cada componente dependem da mistura que está sendo feita As limitações de estoque devem ser consideradas para as duas misturas Rações Composição Proteína Cálcio Demanda (ton) Ração Animal Ração Animal Determinar as quantidades de cada ingrediente que devemos misturar para que satisfaça às restrições nutricionais, de disponibilidade e de consumo, com o mínimo custo. Sugestão: Ingredientes: misturas: x 11 1 E 1 x E 2 Variáveis: x jk =qde. do ingrediente j na mistura k. 2 E n x n1 n x n2 Resposta do Exercício Minimizar 27x x x x x x x x 42 Sujeito a: 19 (0.4) 0.5x x x x 41 19(0.5) :Proteína 19 (0.3) 0.6x x x x 41 19(0.6) :Cálcio 12 (0.3) 0.5x x x x 42 12(0.5) :Proteína 12 (0.5) 0.6x x x x 42 12(0.8) :Cálcio x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 19 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 12 0 x 11 + x 12 10; 0 x 21 + x 22 10; 0 x 31 + x 32 14; 0 x 41 + x Solução Animal 1: x 11 = ; x 21 = 10; x 31 = 0; x 41 = Animal 2: x 12 = ; x 22 =0 ; x 32 = ; x 42 = Valor do f.o.= Formulação Genérica: exercício (casa) minimizar f(x 11, x 21,, x n1 ; x 12, x 22,, x n2 ;.;x 1k x 2k,, x nk ) = c 1 x 11 + c 2 x c n x n1 + c 1 x 12 + c 2 x c n x n2 + + c 1 x 1k + c 2 x 2k + + c n x nk sujeito a: l 11 Q 1 a 11 x 11 + a 12 x a in x n1 Q 1 u 11 l 21 Q 1 a 21 x 11 + a 22 x a 2n x n1 Q 1 u 21 : l m1 Q 1 a m1 x 11 + a m2 x a mn x n1 Q 1 u m1 Repetirk vezes(umaparacadamistura) x 11 + x x n1 = Q 1 x 12 + x x n2 = Q 2.. x 1k + x 2k x nk = Q k 0 x 11 +x x 1k E 1 ; 0 x 21 +x x 2k E 2 ;...; 0 x n1 + x n2 + + x nk E n