MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA. Silvio A. de Araujo Socorro Rangel

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1 MAEMÁICA APLICADA AO PLANEJAMENO DA PRODUÇÃO E LOGÍSICA Silvio A. de Araujo Socorro Rangel saraujo@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Apoio Financeiro:

2 PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceos básicos 2. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros problemas integrados Considerações Finais

3 PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceos básicos 2. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros problemas integrados Considerações Finais AULA 3

4 PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceos básicos 2. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros problemas integrados Considerações Finais

5 PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceos básicos 2. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O4. Problema Exemplo Integrado e conceos debásicos dimensionamento e sequenciamento de lotes 4.2 Modelo indexado pelo tempo 6. Outros problemas integrados 7. Considerações 4.3 Modelo com Finais restrições disjuntivas

6 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4. Exemplo e conceos básicos Definição dado um planejamento preestabelecido, programar determinadas tarefas em uma ou várias máquinas, de forma a otimizar uma função objetivo (por exemplo, minimizar o tempo de processamento) Problema de planejamento da produção em nível operacional

7 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4. Exemplo e conceos básicos Exemplo Considere o Exemplo Anterior. - Suponha que após resolver o PDL, o resultado determine que a indústria deva produzir no dia somente a demanda deste dia, ou seja, um lote de 29 unidades de produtos da cor e lotes de 25 unidades de produtos cada uma das outras cores 2, 3 e 4. - Os produtos são pintados na nova máquina de pintura, em que, depois de iniciada a pintura de um lote de produtos de uma cor, todos os produtos deste lote devem ser totalmente pintados. - Embora a fábrica funcione 24 horas por dia, a máquina de pintura necessa de 4 horas diárias de manutenção, iniciando a produção hora e parando às 20 horas. - No lote do dia têm produtos das 4 cores de forma que é necessário pintar produtos das 4 cores neste dia.

8 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4. Exemplo e conceos básicos Exemplo (continuação) - Devido ás diferentes características (tais como tempo de secagem) os lotes de produtos de cada cor têm horários pré-definidos para finalização do processo de pintura. - Caso algum lote de um produto seja finalizado depois do prazo um custo é cobrado por hora de atraso, pois, tem que se pagar um custo adicional da máquina de secagem. - Os dados referentes ao tempo necessário para a produção de cada lote de produtos de determinada cor, o horário de entrega dos lotes e os custos estão resumidos na abela a seguir. - O gerente de produção precisa definir a sequencia em que ele irá produzir os lotes de produtos de cada cor de forma a minimizar a demora na finalização do processo de pintura (e os respectivos custos).

9 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4. Exemplo e conceos básicos Elementos Conhecidos: n: número de atividades p i : tempo de processamento da atividade i, i =...n e i : data de entrega da atividade, i, i =...n w i : multa (peso) associado à atividade i, i =...n, abela: Dados para o Exemplo Cores C C2 C3 C4 empo de Produção (horas) (p i ) Horário de Entrega (e i ) Custo por Atraso ($/hora) (w i ) Pensar em soluções factíveis! Qual a solução ótima?

10 4. O problema de sequenciamento de tarefas - precisamos calcular o tempo total necessário para o processamento de todas as tarefas: 4.2 Modelo indexado pelo tempo otal = n i= p i - tamanho do horizonte de planejamento =otal períodos de tempo Exemplo: otal= p + p 2 + p 3 + p 4 = =20 Logo =20 -emos n atividades que podem começar em qualquer um dos períodos t=,...,.

11 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4.2 Modelo indexado pelo tempo -A decisão a ser tomada então é se a atividade i começa ou não no período de tempo t. Elementos Desconhecidos:Variáveis de decisão (tempo de início), se a atividade i começa no período t x = 0, caso contrário - Deve-se minimizar os atrasos representados pelos seguintes custos: c = wi (( t + pi ) ei ) se t + pi > 0 caso contrário e i

12 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4.2 Modelo indexado pelo tempo c = wi (( t + pi ) ei ) se t + pi > 0 caso contrário e i Exemplo: Cálculo dos custos: i= e t= tem-se t + p i - = = 6 9 Logo c = 0 i= e t=5 tem-se t + p i - = = 0> 9 Logo c 5 = w ((5+p -)-e c 5 = ((5+6-)-9=

13 Elementos Desconhecidos:Variáveis de decisão (tempo de início), se a atividade i começa no período t x = 0, caso contrário Min z = Sujeo a: p + i t= n 4. O problema de sequenciamento de tarefas is i= s= t p + t x x =0 ou, i n i= 4.2 Modelo indexado pelo tempo p i t= + c x x = i =,..., n t =,..., i =...n t =...

14 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4.2 Modelo indexado pelo tempo Formulação: Min z = Sujeo a: p + i t= n is i= s= t p + t x x =0 ou, i n i= p i t= + c x x = i =,..., n t =,..., i =...n t =...

15 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4.2 Modelo indexado pelo tempo Min z = n i= p i t= + c x Exemplo: Min c x + c 2 x c,5 x,5 + c 2 x 2 + c 22 x c 2,7 x 2,7 + c 3 x 3 + c 32 x c 3,3 x 3,3 + c 4 x 4 + c 42 x c 4,9 x 4,9

17 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4.2 Modelo indexado pelo tempo p + i t= x = i =,..., n Exemplo: x + x x,5 = i= x 2 + x x 2,7 = i=2 x 3 + x x 3,3 = i=3 x 4 + x x 4,9 = i=4

19 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4.2 Modelo indexado pelo tempo n is i= s= t p + Exemplo:x + x 2 + x 3 + x 4 t= t i x t =,..., x + x 2 + x 2 + x 22 + x 3 + x 32 + x 4 + x 42 t=2... x 5 + x 6 + x 67 + x 8 + x 9 + x,0 + x 27 + x 28 + x 29 + x 2,0 + x 33 + x 34 + x 35 + x 36 + x 37 + x 38 + x 39 + x 3,0 + x 49 + x 4,0 t=0

21 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4.3 Modelo com restrições disjuntivas Elementos Desconhecidos:Variáveis de decisão (tempo de início) x i : início do processamento da atividade (lote) i, i =...n Função Objetivo: minimizar as multas relacionadas à demora na entrega de cada um dos lotes. - A demora ponderada da atividade i é dada por: max{0, w i (x i +p i e i )} - A função objetivo é minimizar a demora: min max{0, w i (x i +p i e i )} (*) - Nova Variável: A função-objetivo acima é linear por partes, mas pode ser linearizada se criarmos uma nova variável, t i, tal que: - Restrições: para linearização da Função-objetivo: t i x i + p i e i t i 0 i =,...,n e substuirmos a expressão (*) por: - Função-objetivo Linear: Min n i= w i t i

22 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4.3 Modelo com restrições disjuntivas - Considerar quaisquer atividade i e j. Para garantir que a máquina processe apenas uma delas de cada vez devemos ter: Restrições disjuntas: x i + p i x j ou x j + p j x i Isto é, apenas uma das duas restrições acima deve estar ativa. Nova Variável: Controlaremos estas condições com uma nova variável: y ij, se a atividade i começa antes da atividade j = 0, caso contrário ( a atividade j começa antes da atividade i) Restrições: controle de atividades na máquina x i + p i x j + M(- y ij ) x i + p j x i + M(y ij ) onde: M é um número suficientemente grande

23 4. O problema de sequenciamento de tarefas 4.3 Modelo com restrições disjuntivas Min z = n i= w i t i Sujeo a: t i x i + p i e i i =...n x i + p i x j + M(- y ij ) i =...n j =...n x j + p j x i + M(y ij ) i =...n j =... x i 0, t i 0 i =...n j =...n y ij =0 ou, i =...n j =...n

24 PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceos básicos 2. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros problemas integrados Considerações Finais

25 PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceos básicos 2. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes (PDSL) 6. Outros 5. Modelos problemas para integrados o PDSL baseado na indexação do tempo 7. Considerações 5.2 Modelos Finais baseados no PCVA

26 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo

27 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo Estratégias para Integrar os Problemas: small bucket Considerar micro-períodos (horas) e não mais macro-períodos (dias) como anteriormente; Modelos small bucket: somente um tipo de em (lote) pode ser produzido por período. Discrete Lot Sizing and Scheduling Problem DLSP

28 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo - Formulação: min Sujeo N H t= i = Discrete Lot Sizing and Scheduling Problem - DLSP a : I + c t= i = Ii, t + X I = d i =,..., N t =,..., bi X = CAPt Y i =,..., N t =,..., N Y { 0,} i =,..., N t =,..., N Y t =,..., X, I ez z 0 i =,..., N t =,..., X i= Zz Y Yi,t i =,..., N t = + N S i Z t= i =,..., Variável adicional: Z : Variável binária que indica se a máquina está preparada para produzir o em i no período t;

30 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo N Y t =,..., i= Considera micro-períodos (horas) e não mais macro-períodos (dias); Small bucket problem: somente um em pode ser produzido por período. Y +Y Y N (t=) Y 2 +Y Y N2 (t=2)... Y +Y Y N (t=)

32 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo bi X = CAPt Y i =,..., N t =,..., Small bucket problem: Neste modelo, esse em usa toda a capacidade do período - all-or-nothing, ou seja, sey = b i X =CAP t i,t sey =0 b i X =0 X =0 i,t

34 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo min N H t= i = I + N c t= i = X + N S i Z t= i = z Y Yi,t i =,..., N t =,..., Custo Setup é considerado somente quando começa um novo lote e não mais a todo período - Se Y i(t-) =Y = Z - Z =0 - Se Y i(t-) =0 e Y = Z -0 Z =

35 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo Estratégias para Integrar os Problemas: large bucket Considera N t posições dentro de cada período, sendo que, em cada posição somente um lote pode ser feo. O usuário define o número máximo de lotes (N t ) por período; General Lot Sizing and Scheduling Problem-GLSP

36 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo Análise do Modelo - GLSP Modelo large bucket considerando os dois problemas integrados; Considera N t posições dentro de cada período, sendo que, em cada posição somente um lote pode ser feo. O usuário define o número máximo de lotes (N t ) por período; 2 N =0 0 N 2 =5 N 3 =2 N 4 =3 N 5 =5 t = t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

37 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo Análise do Modelo - GLSP t τ= Notação: - F t =+ N τ : Denota a primeira posição do período t; - L t =F t + N t -:Denota a última posição do período t; - otal de posições em todos os períodos: N t =25 t= 2 N =0 0 N 2 =5 N 3 =2 N 4 =3 N 5 =5 t = t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 Exemplo: F = F 2 = + 0= F 3 =+0+5=6 L = + 0 -=0 L 2 =+5-=5 L 3 =6+2-=7

38 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo General Lot Sizing and Scheduling Problem - GLSP - Formulação: N min H I t= i = Sujeo a : I i,t + Lt X n= Ft t N L bi i= n= Ft i in X in in I = d CAP t in t i =,..., N t =,..., b X CAP Y i =,..., N n = in in in + L N c n= F i= in X N Y in n = F,..., L i= Z in Yin Yi,n i =,..., N Y {0,} i =,..., N n = F,..., L z n = t =,..., F,..., L X, I e z 0 i =,..., N t =,..., n = Z in in + L S Z in n= F i= N i Z n F,..., L F,..., L

39 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos para o PDSL baseado na indexação do tempo General Lot Sizing and Scheduling Problem - GLSP - Formulação: N min H I t= i = Sujeo a : I i,t + Lt X n= Ft t N L bi i= n= Ft i in X in in I = d CAP t in t i =,..., N t =,..., b X CAP Y i =,..., N n = in in in + L N c n= F i= in X N Y in n = F,..., L i= Z in Yin Yi,n i =,..., N Y {0,} i =,..., N n = F,..., L z n = t =,..., F,..., L X, I e z 0 i =,..., N t =,..., n = Z in in + L S Z in n= F i= N i Z n F,..., L F,..., L

40 GLSP wh sequence-dependent setup time- GLSP-S - Formulação: N min H I t= i = Sujeo a : I i,t + Lt X n= Ft in I = d N Lt N N Lt bixin + i= n= Ft i= j= n = Ft i in t in i =,..., N s ij z ijn b X CAP Y i =,..., N n = Y {0,} i =,..., N n = F,..., L in in ijn + L N c n= F i= in X t =,..., CAP t F,..., L t =,..., X, I e z 0 i =,..., N t =,..., n = in N Y in n = F,..., L i= Zz ijn Yi,n + Yj,n i =,..., N j =,..., N n = F,..., L in i in i,n + L S Z n n= F i= X m (Y + Y ) i =,..., N j =,..., N n = Z ijn N Z ijn F,..., L F,..., L

41 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos baseados no PCVA - os ens a serem produzidos no período t são equivalentes ás cidades do PCVA e o custo de troca da produção do em i para o em j é equivalente ao custo de viajar da cidade i para a cidade j. - para obter a sequência de produção dos ens em cada período, as restrições de designação e as restrições de eliminação de subrotas do PCVA são usadas. - assim, garante-se, em cada período, que apenas os ens produzidos são sequenciados, e eliminam-se soluções que gerem subsequencias.

42 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos baseados no PCVA Em geral, não sabemos qual deve ser o primeiro em a ser produzido em cada período e também não ha necessidade de deixar a maquina preparada ao final do período para o em inicial. Para modelar esta suação, incluímos um em (ou cidade) fantasma, que chamamos de i o para ser o primeiro e o último em a ser preparado em cada período e consideramos que o custo de troca de/para o em fantasma e zero.

43 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 5. Modelos baseados no PCVA

47 2. Problemas clássicos de logística 2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV) Formulação I - Eliminação de subrotas: Miller,ucker e Zemlin x 64 = u i u j + nx ij n i, j = 2,..., 6; i j. i=6 j=4 u 6 -u 4 +6x () (absurdo!!)

48 PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceos básicos 2. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros tipos de problemas integrados Considerações Finais

49 6. Outros ipos de Problemas Integrados Problema de Dimensionamento de Lotes Integrado ao Problema de Corte e Empacotamento

50 6. Outros ipos de Problemas Integrados Problemas de corte de dimensões maiores Corte Bidimensional Alocação de arefas recurso tempo Empacotamento ridimensional

51 6. Outros ipos de Problemas Integrados Indústria de lajes treliçadas

52 6. Outros ipos de Problemas Integrados

62 6. Outros ipos de Problemas Integrados Problema de Dimensionamento de Lotes Integrado ao Problema de Distribuição

63 PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceos básicos 2. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros tipos de problemas integrados Considerações Finais

64 Considerações Finais Infelizmente, ainda é pequeno o número de empresas que utilizam em seus processos alguma técnica de otimização. Isto se deve, principalmente, a uma falta de conhecimento a respeo do poder real de tais técnicas. É muo comum que as empresas não tenham consciência de que certas tarefas são passíveis de otimização ( sempre funcionou tão bem assim, não é mesmo? ). er prejuízo não significa somente terminar o mês no vermelho. Significa também terminar o mês com um "lucro" de R$ ,00 sem se dar conta de que o lucro poderia ter sido de R$ ,00.

65 Considerações Finais Felizmente, essa suação vem se alterando. É cada vez maior o número de companhias que adotam modelos de otimização No Brasil, esse processo vem ganhando força mas ainda é incipiente. As empresas brasileiras ainda estão organizando os dados e, não conseguem fornecer dados de maneira adequada Nos demais países, principalmente na Europa e nos Estados Unidos, a utilização de técnicas de otimização dentro das empresas é bem mais difundida.

66 Considerações Finais Na sociedade da informação, mais preparado é aquele que possui o conhecimento certo para ser aplicado ao problema certo. Quanto vale um profissional capaz de reduzir os custos de uma empresa em 30%? Nem é preciso responder, certo?

67 Considerações Finais Principais Eventos Nacionais: - CNMAC - Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional - SBPO - Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional - ENEGEP Encontro Nacional de Engenharia de Produção Principais Veículos de Divulgação Nacionais: - Revista Gestão e Produção - Revista Pesquisa Operacional - Revista Pesquisa Operacional para o Desenvolvimento - Revista Produção

68 6. Considerações Finais UNESP/SJRP Departamento de Matemática Aplicada Docente ulação Bolsa CNPq Alagacone Sri Ranga Prof. ular B Cleonice Fátima Bracciali Prof. Adjunto 2 Dimar Kolev Dimrov Prof. ular C Eliana X. Linhares de Andrade Prof. Adjunto (voluntário) Geraldo Nunes Silva Prof. ular 2 Heloisa Helena Marino Silva Prof. Assis. Doutor Maria do Socorro N. Rangel Prof. Adjunto 2 Maurílio Boaventura Prof. Adjunto Silvio Alexandre de Araújo Prof. Adjunto 2 Valeriano Antunes de Oliveira Prof. Assis. Doutor

69 6. Considerações Finais Pós graduação em matemática com mestrado e doutorado (conceo 5 na Capes) Comemorando 25 anos Matemática Aplicada: Otimização e eoria do Controle Estudo de modelos e métodos de solução para problemas de otimização linear discreta, não-linear e de inequações variacionais. Investigação de condições de viabilidade e otimalidade para problemas de controle ótimo. Modelagem Matemática: A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, tais como física, química, biologia, economia e engenharias. Ou seja, modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de se descrever matematicamente um fenômeno. Dentre as diferentes formas e métodos de modelagem temos a modelagem via equações diferenciais, parciais e/ou ordinárias.

70 6. Considerações Finais Grupo de Modelagem e Otimização de Sistemas: Professora Socorro Rangel Professor Silvio Alexandre de Araujo Professor Geraldo Nunes Silva Professor Valeriano Antunes de Oliveira Se você tem curiosidade e disposição para a pesquisa Venha rabalhar Conosco

71 6. Considerações Finais Grupo de Modelagem e Otimização de Sistemas: Em Geral temos tido bolsas FAPESP, CNPq e CAPES. Os Valores atuas das bolsas FAPESP são: Iniciação Científica: R$ 579,30 Mestrado: R$.806,60 Doutorado: R$ 3.04,70 Pós-Doutorado: R$ 6.43,40

72 OBRIGADO