Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

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1 Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo BCC464/PCC /2 Departamento de Computação UFOP

2 Previously... Aulas anteriores sobre Programação Linear: Modelagem Método gráfico Algoritmo Simplex Dualidade Análise de sensibilidade... e implementação dos modelos no Gurobi 2 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

3 Aula de Hoje: mais modelagem! 1 Exemplo 1: Mistura de Minérios 2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo 3 Exemplo 3: Transportes Asteróide 4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas 5 Exemplo 5: Investimentos 6 Exercício: Viagem a Paris 3 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

4 Aula de Hoje: mais modelagem! 1 Exemplo 1: Mistura de Minérios 2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo 3 Exemplo 3: Transportes Asteróide 4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas 5 Exemplo 5: Investimentos 6 Exercício: Viagem a Paris 3 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

5 Questão 01 (6,0 pontos) Questão 01 (6,0 pontos) Uma empresa mineradora deve deveexportar toneladas de deminério minério de de ferro ferroatendendo as especificações Uma as empresa a mineradora seguir: a seguir: deve exportar toneladas de minério de ferro atendendo as especificações a seguir: Fe Al2O3 P PPC He Teor mínimo 44,5 Fe Al2O3 0,27 0,035 P PPC 2,05 He 38 Teor máximo mínimo 49,5 44,5 0,37 0,27 0,043 0,035 2,65 2, Teor máximo 49,5 0,37 0,043 2,65 50 A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição, disponibilidade e custo A mineradora são dados dispõe a seguir: de deum umconjunto de de pilhas pilhas de de minérios, minérios, cuja cuja composição, composição, disponibilidade e custo disponibilidade são dados a eseguir: custo são dados a seguir: Fe Al2O3 P PPC He Disp. Custo Pilha 1 52,64 Fe Al2O3 0,52 0,084 P PPC 4,48 He t Disp. Custo 10,5 Pilha 21 39,92 52,64 0,18 0,52 0,029 0,084 0,65 4, t 1500t 12,5 10,5 Pilha 32 47,19 39,92 0,18 0,5 0,029 0,05 2,52 0, t 2000t 12,5 Pilha 43 49,36 47,19 0,22 0,5 0,039 0,05 1,74 2, t 1700t Pilha 54 43,94 49,36 0,46 0,22 0,032 0,039 2,36 1, t 1450t 11,5 10 Pilha 65 48,97 43,94 0,54 0,46 0,057 0,032 4,34 2, t 1250t 11,5 Pilha 76 47,46 48,97 0,54 0,2 0,047 0,057 5,07 4, t 1890t 10,8 11 Pilha 87 46,52 47,46 0,32 0,2 0,039 0,047 3,51 5, t 1640t 11,2 10,8 Pilha 98 56,09 46,52 0,95 0,32 0,059 0,039 3,51 4, t 1124t 10,4 11,2 Pilha , ,26 0,95 0,031 0,059 2,51 4, t 900t 10,4 12 Pilha , ,22 0,26 0,031 0,04 2,51 4, t 900t 10,3 12 Pilha ,77 49,09 0,22 0,047 4,81 4, t 1540t 11,9 10,3 Pilha ,03 49,77 0,24 0,047 4,17 4, t 1630t 12,3 11,9 Pilha ,96 53,03 0,29 0,24 0,052 0,047 4,81 4, t 1320t 11,1 12,3 Pilha ,09 52,96 0,17 0,29 0,031 0,052 1,38 4, t 1245t 12,1 11,1 Pilha 15 42,09 0,17 0,031 1, t 12,1 BCC464 / PCC174 Data: 17/04/2018 Página 1 de 5 4 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras BCC464 / PCC174 Data: 17/04/2018 Página 1 de 5

6 Ex.: Mistura de minérios Notação utilizada: P : conjunto de pilhas T : conjunto de teores de qualidade d: quantidade de minério a produzir (demanda) c i : custo por tonelada utilizada da pilha i q i : capacidade da pilha i a i,j : teor de qualidade j da pilha i b j : teor mínimo para o parâmetro j b + j : teor máximo para o parâmetro j 5 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

7 Ex.: Mistura de minérios Minimizar: Sujeito a: c i x i x i = d x i q i i P a i,j x i b j d j T a i,j x i b + j d j T x i 0 i P 6 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

8 Ex.: Mistura de minérios (2) Minimizar: Sujeito a: c i x i x i = d x i q i i P a i,j x i b j x i a i,j x i b + j x i x i 0 i P j T j T 7 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

9 Ex.: Mistura de minérios (3) Minimizar: Sujeito a: c i x i x i = d x i q i i P ( a i,j b j ) x i 0 j T ( ) a i,j b + j x i 0 j T x i 0 i P 8 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

10 teration Objective Primal Inf. Dual Inf. Time e e e+00 0s e e e+00 0s Ex.: Mistura de minérios olved in 8 iterations and 0.00 seconds ptimal objective e+04 Solução ótima: olução: x_1 = base: Não reduced cost = x_2 = base: Sim reduced cost = 0.0 x_3 = base: Não reduced cost = x_4 = base: Sim reduced cost = 0.0 x_5 = base: Sim reduced cost = 0.0 x_6 = base: Não reduced cost = x_7 = base: Não reduced cost = x_8 = base: Não reduced cost = x_9 = base: Sim reduced cost = 0.0 x_10 = base: Não reduced cost = x_11 = base: Sim reduced cost = 0.0 x_12 = base: Não reduced cost = x_13 = base: Não reduced cost = x_14 = base: Não reduced cost = x_15 = base: Sim reduced cost = 0.0 nformações: demanda : dual = folga = 0.0 range = 5.6e+0 capacidade_1 : dual = folga = range = 0. 9 / 40 capacidade_2 Túlio Toffolo Otimização : dual Linear e Inteira = Aula 09: Modelagem folga / Variáveis = inteiras range = 2.7e+0

11 Exercícios Exercício prático Adapte o modelo de forma que: 1 O custo fixo de 100 unidades monetárias seja considerado pela utilização de uma pilha. 2 Uma pilha seja utilizada apenas se 500 ou mais toneladas forem extraídas. E agora, como modelar estas situações? 10 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

12 Variáveis inteiras Embora tenham profundo impacto negativo na resolução do modelo, variáveis inteiras (e binárias) são extremamente úteis! Para resolver o exercício 1: criaremos uma variável binária (e portanto inteira) y i {0, 1} se y 1 = 1 então a pilha i é utilizada; se y 0 = 0 então a pilha i não é utilizada. 11 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

13 Ex.: Mistura de minérios (3) Minimizar: Sujeito a: c i x i + 100y i x i = d x i q i y i i P ( a i,j b j ) x i 0 j T ( ) a i,j b + j x i 0 j T x i 0, y i {0, 1} i P 12 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

14 Variáveis inteiras Para resolver o exercício 2: A variável y i pode ser utilizada também para definir um mínimo a ser retirado da pilha: se y 1 = 1 então x i 500 se y 0 = 0 então x 1 não precisa ser maior ou igual a 500 Basta adicionar a restrição a seguir: x i 500y i i P 13 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

15 Ex.: Mistura de minérios (3) Minimizar: Sujeito a: c i x i + 100y i x i = d x i q i y i x i 500y i i P ( a i,j b j i P ) x i 0 j T ( ) a i,j b + j x i 0 j T x i 0, y i {0, 1} i P 14 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

16 Aula de Hoje: mais modelagem! 1 Exemplo 1: Mistura de Minérios 2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo 3 Exemplo 3: Transportes Asteróide 4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas 5 Exemplo 5: Investimentos 6 Exercício: Viagem a Paris 15 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

17 Ex.: Indústria do Vestuário Uma indústria fabrica camisetas, meias e calças. O maquinário necessário para a confecção de cada item pode ser alugado semanalmente por: camisetas (200), meias (150) e calças (100). A fabricação de cada item requer um certo tempo de trabalho em horas e uma quantidade de tecido em m 2. Além disso, existe um preço de venda para cada item e um custo unitário de produção. Item Horas de Trab. Tecido Preço Venda Custo Produção Camiseta Meias Calça Em uma semana, existe a disponibilidade de 150 horas de trabalho e 160 m 2 de tecido. Formule o programa linear que maximize o lucro dessa indústria considerando o planejamento de uma semana. 16 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

18 Ex.: Indústria do Vestuário Variáveis x 1 : número de camisetas produzidas x 2 : número de meias produzidas x 3 : número de calças produzidas x 1, x 2, x 3 Z Custo Fixo Note que o custo de aluguel das máquinas não depende da quantidade produzida de um determinado item e sim da decisão binária de produzir ou não determinado item. 17 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

19 Ex.: Indústria do Vestuário Variáveis Auxiliares y 1 : 1 se alguma camiseta foi produzida e 0 caso contrário y 2 : 1 se alguma meia foi produzida e 0 caso contrário y 3 : 1 se alguma calça foi produzida e 0 caso contrário y 1, y 2, y 3 {0, 1} Custo Fixo Note que cada y i é uma variável inteira tal que 0 y i 1 (com i {1, 2, 3}) 18 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

20 Ex.: Indústria do Vestuário Maximize Sujeito a 6x 1 + 4x 2 + 7x 3 200y 1 150y 2 100y 3 horas : 3x 1 + 2x 2 + 6x tecido : 4x 1 + 3x 2 + 4x Mas... Como garantir que o valor de y é consistente com o de x, ou seja, que qualquer valor maior que zero em x i implique y i = 1? Big M Utilizaremos o Big M: x i My i, onde M é uma constante suficientemente grande 19 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

21 Ex.: Indústria do Vestuário Maximize Sujeito a 6x 1 + 4x 2 + 7x 3 200y 1 150y 2 100y 3 horas : 3x 1 + 2x 2 + 6x tecido : 4x 1 + 3x 2 + 4x maqcamisetas : x 1 My 1 maqmeias : x 2 My 2 maqcalcas : x 3 My 3 x 1, x 2, x 3 Z y 1, y 2, y 3 {0, 1} 20 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

22 Aula de Hoje: mais modelagem! 1 Exemplo 1: Mistura de Minérios 2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo 3 Exemplo 3: Transportes Asteróide 4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas 5 Exemplo 5: Investimentos 6 Exercício: Viagem a Paris 21 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

23 Ex.: Transportes de Asteróide Uma transportadora tem uma frota de caminhões dedicada a uma rota com alta requisição (ex.: Rio São Paulo). Os caminhões são utilizados para a entrega de um conjunto de encomendas já estabelecido. O objetivo é distribuir todas as encomendas minimizando o número de caminhões necessário. Cada caminhão tem uma determinada capacidade. Além disso, por questões de segurança, encomendas de alto valor não devem ser concentradas em um caminhão só, de modo que existe um limite para o valor máximo estimado das encomendas na carga de um caminhão. O custo de um caminhão realizar uma viagem no trecho também é pré-determinado. 22 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

24 Ex.: Transportes Asteróide Dados de entrada C conjunto de caminhões E conjunto de encomendas w c capacidade do caminhão c p e peso da encomenda e v c valor máx. no caminhão c s e valor da encomenda e t c custo viagem do caminhão c Variáveis { 1 se encomenda e é transportada pelo caminhão c x e,c = 0 caso contrário { 1 se o caminhão c é utilizado y c = 0 caso contrário 23 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

25 Ex.: Transportes Asteróide - Modelo Dados de entrada C conjunto de caminhões E conjunto de encomendas w c capacidade do caminhão c p e peso da encomenda e v c valor máx. no caminhão c s e valor da encomenda e t c custo viagem do caminhão c Restrições cada encomande em um caminhão: capacidade do caminhão: valor máx. em cada caminhão: x e,c = 1 c C p e x e,c w c y c e E s e x e,c v c y c e E e E c C c C 24 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

26 Ex.: Transportes Asteróide - Modelo Minimize Sujeito a t c y c c C x e,c = 1 c C p e x e,c w c y c e E s e x e,c v c y c e E x e,c {0, 1} y c {0, 1} e E c C c C e E, c C c C 25 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

27 Variáveis de Folga Considere o exemplo de Transportes Asteróide Caso todos os caminhões fiquem cheios e ao menos uma encomenda não caiba mais, o resolvedor indicará que o problema é infactível e não informará nenhuma solução. Para o usuário, seria mais prático receber uma solução com o máximo possível de itens carregados e com a informação de quais itens não puderam ser carregados. 26 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

28 Variáveis de Folga Restrições Fortes Até agora os modelos foram especificados com restrições que devem ser satisfeitas sempre. Essas restrições são denominadas Restrições Fortes. Restrições Fracas Para evitar o problema de restringir demais as soluções do problema e torná-lo infactível, podemos utilizar Restrições Fracas: variáveis de folga são inseridas e penalizadas na função objetivo, de forma a minimizar o não atendimento às restrições consideradas. 27 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

29 Aula de Hoje: mais modelagem! 1 Exemplo 1: Mistura de Minérios 2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo 3 Exemplo 3: Transportes Asteróide 4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas 5 Exemplo 5: Investimentos 6 Exercício: Viagem a Paris 28 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

30 Exemplo: Transporte de Fábricas Onde o custo é: custo de transporte da fábrica i para o mercado j multiplicado pela quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado para o mercado j. Fonte: [1] Luís Herique Rodrigues et al. (2014), Pesquisa Operacional - Programação Linear Passo a Passo, Editora Unisinos. Passo 5 Identificando classes de restrições Você possui três fábricas localizadas em regiões geográficas distintas, e precisa saberao quanto observar deveo produzir quadro que e transportar apresenta para os dados quatro do diferentes problema, mercados identificam-se a um duas classes de restrições, destacadas a seguir: custo mínimo. As informações do custo de transporte unitário entre as fábricas e os mercados estão no quadro a seguir. Quadro 9 Classes de restrições do problema 3 transporte Custo de transporte Fábricas Demanda mínima Mercados Capacidade Produtiva A $ 0,90/un $ 1,00/un $ 1,80/un $ 1,05/un un B $ 2,10/un $ 0,80/un $ 0,70/un $ 1,15/un un C $ 1,10/un $ 1,00/un $ 1,20/un $ 1,50/un un un un un un Demanda mínima: Para cada um dos mercados deve ser expedido uma quantidade 29 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

31 Exemplo: Transporte de Fábricas min s.a. c i,j x i,j i F j M x i,j p i j M x i,j d j i F x i,j 0 i F j M i F, j M Mas... faz sentido enviar uma única unidade? Faz sentido produzir só uma unidade? Na prática, geralmente tem-se um frete mínimo (ou custo fixo). E uma produção mínima para viabilizar a fábrica / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

32 Exemplo: Transporte de Fábricas Exercício Adicione as seguintes características do mundo real ao modelo: 1 Inclua uma produção mínima m i para cada fábrica i F. 2 Inclua um custo fixo f i,j para transportar produtos da fábrica i F para o mercado j M (ou seja, um custo fixo se x i,j > 0). 31 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

33 Aula de Hoje: mais modelagem! 1 Exemplo 1: Mistura de Minérios 2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo 3 Exemplo 3: Transportes Asteróide 4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas 5 Exemplo 5: Investimentos 6 Exercício: Viagem a Paris 32 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

34 Ex.: Investimentos A empresa VALOR está considerando 4 investimentos. Cada um tem uma perspectiva de ganho e um custo, os quais são descritos a seguir: Investimento Ganho Custo A empresa tem atualmente disponível para investir. Modele o problema que descreve como a VALOR irá investir de maneira ótima. 33 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

35 Ex.: Investimentos Investimentos (em milhares de unidade monetárias) max. 16x x x 3 + 8x 4 s.t. 5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 3x 4 14 x 1, x 2, x 3, x / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

36 Exercícios Exercícios (para o final da aula) Que restrições adicionais devem ser incluídas no problema da VALOR para tratar as seguintes particularidades: 1 deve-se investir no máximo em 2 investimentos; 2 o investimento em 2 implica que se deve investir em 1; 3 o investimento em 2 implica que não se deve investir em 4; 35 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

37 Dica: negação O Complemento Binário Sejam y e x variáveis binárias (lógicas), se y é a negação de x denominamos y como complemento binário de x. Linearizando: y = x y = 1 x 36 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

38 Aula de Hoje: mais modelagem! 1 Exemplo 1: Mistura de Minérios 2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo 3 Exemplo 3: Transportes Asteróide 4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas 5 Exemplo 5: Investimentos 6 Exercício: Viagem a Paris 37 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

39 Exercício Exercício 1 O casal Uni & Sina decidiu passar a sua lua de mel em Paris. Para tanto, conseguiram uma folga de dez dias para desfrutar as belezas da Cidade Luz. Entretanto, estão com duas grandes dúvidas: 1 Qual passeios escolher dentre as várias possibilidades e estilos disponíveis. 2 Qual opção de financiamento para custear as despesas. Os passeios disponíveis são listados a seguir com seus estilos, dias de duração e custo. 38 / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

40 Exercício Passeios disponíveis Passeio Estilo Duração (dias) Custo (R$) A Histórico 4 R$ B Histórico 3 R$ C Aventura 5 R$ D Aventura 1 R$ E Romance 3 R$ F Romance 4 R$ G Infantil 2 R$ / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear eopções Inteira Aulade 09: Modelagem financiamento / Variáveis inteiras

41 E Romance 3 R$ Exercício F Romance 4 R$ G Infantil 2 R$ Opções de financiamento Financeira Valor mínimo Valor máximo Taxa de juros I Histórico 4 R$ II Histórico 3 R$ III Aventura 5 R$ / 40 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

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