Investigação Operacional 2004/05 2º Mini-teste. 26 de Novembro, 9:00h 10:30h. Sem consulta, sem máquina de calcular Justifique todas as respostas

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1 Investigação Operacional 004/05 º Mini-teste 6 de Novembro, 9:00h 0:h Sem consulta, sem máquina de calcular Justifique todas as respostas Departamento de Engenharia Civil Secção de Planeamento do Território e Ambiente. Problema da Distribuição de Cimento (4,0 valores) A empresa Cimentil é a principal fornecedora de cimento no Sul de Portugal. Embora a sede da empresa seja em Lisboa, a produção ocorre em fábricas localizadas em Marrocos e em Espanha. Depois de produzido, o cimento chega a Portugal por três pontos: - pela fronteira de Portalegre (vindo da fábrica em Espanha) - pelo porto de Lisboa (vindo da fábrica em Marrocos) - pelo porto de Sines (vindo da fábrica em Marrocos). Destes pontos o cimento é transportado para os 8 centros de distribuição local assinalados na figura. O quadro mostra o consumo diário de cimento em cada centro de distribuição e o quadro mostra a menor distância entre os pontos de entrada no país e alguns dos centros de distribuição. Quadro. Consumo diário de cimento (kg) Leiria 500 Évora 0 C.Banco 0 Beja 00 Santarém 400 Portimão 0 Lisboa 000 Faro 500 Sabe-se que a capacidade diária de produção da fábrica em Espanha é de apenas 000 kg por dia, e que a toda a sua produção é enviada para Portugal. Por outro lado, o conjunto dos navios que fazem o percurso entre Marrocos e Portugal permitem transportar diariamente 4000 kg de cimento. Suponha que as quantidades de cimento transportadas para Lisboa e Sines são iguais. Quadro. Distância entre pontos de entrada no país e centros de distribuição (km) Leiria C.Branco Santarém Lisboa Évora Beja Portimão Faro Lisboa Portalegre Sines X X X3 70 X X5

2 Leiria () Santarém (3) 40 () Castelo Branco () 00 Portalegre (4) Lisboa (5) Évora (6) Sines (7) 00 Beja (8) Portimão (9) Faro (0) Figura. Principais Estradas no Sul de Portugal (números sobre os arcos indicam distância entre os nós adjacentes).a. Determine, justificando, o caminho mais curto entre o porto de Sines e todos os centros de distribuição. No caso de não conseguir obter uma resposta, assuma os seguintes valores: - Sines Leiria : km - Sines C. Branco : 400 km - Sines Santarém : km - Sines Évora : 00 km - Sines Faro : 00 km ( valor).b. Após chegar a Portugal, o cimento tem de ser transportado até aos centros de distribuição locais. A empresa Cimentil pretende saber qual a melhor forma de repartir o cimento que chega a Portugal pelos diferentes centros. Formule um problema de transportes para apoiar esta decisão. ( valor).c. Para o problema da alínea anterior explique por palavras qual é a função-objectivo, as variáveis e as restrições a considerar. (0,5 valores).d. Formule o problema de transportes da alínea.b como um problema de programação linear. (0,5 valores).e. O Governo pretende introduzir uma portagem na estrada que liga Sines a Lisboa. Em sinal de protesto, a empresa Cimentil vai boicotar essa estrada pelo que não será possível abastecer

3 Lisboa a partir de Sines. Por outro lado, a Administração da empresa decidiu adquirir um vagão de carga para fazer o transporte entre Sines e Beja por via ferroviária. Para rentabilizar esse investimento, todo o cimento consumido em Beja terá que vir de Sines. Re-formule o problema de transportes da alínea.b de forma a reflectir estas novas condicionantes. (,0 valor). Problema de Transportes (,0 valores) Considere o quadro de um problema de transportes abaixo. Os valores no canto superior direito de cada célula são os custos de transporte cij. Os valores no canto inferior esquerdo de algumas células (i,j) são os valores de uma solução básica (quantidade transportada da origem i para o destino j). M representa um número muito grande. I J K L Oferta A B, C M Procura a. Mostre que a solução é óptima. ( valor).b. Haverá outra solução óptima? Justifique a resposta. (0,5 valores).c. Indique qual é a nova solução óptima. Comente brevemente o resultado. (0,5 valores) 3. Método Simplex Duas Fases e Teoria da Dualidade (,5 valores) Considere a seguinte representação gráfica de um problema (primal) de programação linear, em que se pretende minimizar a função objectivo: z = x + x Neste gráfico está representada a cinzento a região de admissibilidade (espaço-solução admissível), e indica-se a solução óptima. 3

4 x 3 D Óptimo: x = 3/5; x = 6/5 C A 0 B x.a. Formule este problema primal. (0.5 valores) (*).b. Apresente o quadro inicial de resolução deste problema pelo Método Simplex Duas Fases, explicando o modo como efectuou o respectivo preenchimento, bem como as variáveis que considerou e porquê. (0.4 valores).c. Explique, com recurso ao gráfico, o que pode concluir relativamente ao final da primeira fase e à segunda fase do Método Simplex Duas Fases. (0.4 valores).d. Formule o problema dual deste problema. (0.4 valores).e. Aplicando os teoremas da dualidade, e sem resolver graficamente e sem resolver pelo Método Simplex, determine qual é a solução óptima do problema dual. Justifique. (0.4 valores).f. Supondo que as variáveis de decisão do problema primal se referem a recursos utilizados num dado processo produtivo, indique os valores unitários de cada um desses recursos. Justifique. (0.4 valores) (*) Caso não consiga formular o problema na alínea.a., considere o seguinte problema para a resolução das alíneas.b.,.d.,.e.,.f.: Min Z = x + x s.a x + x 4 x 3x x, x +.5x + x ( restrição activa) ( restrição activa) A solução óptima deste problema é x = 3/5; x = 6/5 4

5 Nome: () () (3) 40 () 00 (4) (5) (6) (7) 00 (8) 40 (9) 40 (0) 5