Programação. Linear (PL) Exemplos Típicos de Aplicação da PL

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1 Programação Linear (PL) Exemplos Típicos de Aplicação da PL Planeamento de produção Problema de Transporte Programa de Investimento Programação Sequencial da Produção (Scheduling) Problema de Transexpedição (Transhipment) Utilização de máquinas Turnos de Produção Produção de Conjuntos de peças Optimização de Necessidades de Pessoal Problema de Afectação Problema de Encaminhamento Problema de Mistura 1

2 Planeamento de produção A MOTORAUTO fabrica 3 modelos de automóveis nas suas 3 fábricas : modelo 1100 cc, modelo 1400 cc e modelo de 1800 cc. Um conflito laboral faz prever uma greve prolongada na fábrica 1 num futuro próximo. Para fazer face a esta situação, a Direcção da empresa decidiu preparar um plano excepcional de produção e vendas para o próximo período orçamental, pressupondo que não haverá produção na fábrica 1, durante este período. Neste período a capacidade da fábrica 2 é de 4000 automóveis de 1100 cc, ou 3000 automóveis de 1400 cc, ou 2000 automóveis de 1800 cc, ou qualquer combinação apropriada destes 3 modelos (sem exceder as capacidades instaladas de cada modelo). Analogamente, a fábrica 3 tem capacidade para 3000 automóveis de 1100 cc, ou 8000 automóveis de 1400 cc, ou qualquer combinação apropriada destes 2 modelos (sem exceder as capacidades instaladas de cada modelo). O modelo de 1800 cc não será produzido nesta fábrica. 2

3 Planeamento de produção (cont( cont.) Os preços de venda e custos variáveis unitários (Euros) são os seguintes : Modelo 1100 cc Modelo 1400 cc Modelo 1800 cc Preço de venda Custos variáveis Fábrica Fábrica A empresa assumiu compromissos que a obrigam a fornecer 1000 veículos de 1800 cc para exportação. Dado o declínio que se tem vindo a verificar na procura interna de 1100 cc e 1800 cc, o Dept. Comercial estima em 1000 e 1500 unidades as vendas máximas destes dois modelos, respectivamente. Como o modelo de 1400 cc, tem um grande sucesso comercial, não se prevêem limitações quanto às vendas. 3

4 Planeamento de produção (cont( cont.) No início do período orçamental, os stocks dos 3 modelos são : Modelo 1100 cc Modelo 1400 cc Modelo 1800 cc Stock inicial A empresa mãe (Itália) tem capacidade disponível para produzir o modelo de 1100 cc e acordou o fornecimento deste modelo à MOTORAUTO até um limite máximo de 500 unidades ao preço de 1000 u.m. (incluindo frete) durante este período. Estabeleça o modelo de PL que permita planear a actividade da empresa para o período orçamental. 4

5 Planeamento de produção (cont( cont.) VARIÁVEIS DE DECISÃO X 1 = nº automóveis do modelo 1100 cc a produzir na fábrica 2 X 2 = nº automóveis do modelo 1100 cc a produzir na fábrica 3 X 3 = nº automóveis do modelo 1100 cc provenientes de Itália X 4 = nº automóveis do modelo 1400 cc a produzir na fábrica 2 X 5 = nº automóveis do modelo 1400 cc a produzir na fábrica 3 X 6 = nº automóveis do modelo 1800 cc a produzir na fábrica 2 FUNÇÃO OBJECTIVO Maximizar a margem bruta total que resulta da venda dos 3 modelos de veículo produzidos nas fábricas 2 e 3 ou importados; ( )X 1 = 275 X 1 = margem bruta da venda do modelo 1100 cc a produzir na fábrica 2 ( )X 2 = 250 X 2 = margem bruta da venda do modelo 1100 cc a produzir na fábrica 3 ( )X 3 = 150 X 3 = margem bruta da venda do modelo 1100 cc proveniente de Itália ( )X 4 = 190 X 4 = margem bruta da venda do modelo 1400 cc a produzir na fábrica 2 ( )X 5 = 350 X 5 = margem bruta da venda do modelo 1400 cc a produzir na fábrica 3 ( )X 6 = 350 X 6 = margem bruta da venda do modelo 1800 cc a produzir na fábrica 2 5

6 Planeamento de produção (cont( cont.) RESTRIÇÕES : Fábrica 2 : Fábrica 3 : X X X 4 + X X Mercado do modelo 1100 cc : Mercado do modelo 1800 cc : X1 + X 2 + X X X Restrições de Não-Negatividade : X 0 X 0 X 0 X 0 X 0 X

7 Planeamento de produção (cont( cont.) MODELO : MaxZ = 275 X + X X X X X , 025 X 1 + 0X 2 + 0X 3 + 0, 0333 X 4 + 0X 5 + 0, 05X 100 0, 0333 X 2 + 0X 3 + 0X 4 + 0, 0125 X 5 + 0X X 1 + X 2 + X X X X 2300 X 0 X 0 X 0 X 0 X 0 6 X

8 Problema de Transporte Um fabricante de frigoríficos transporta mensalmente os seus produtos entre 3 armazéns e 3 lojas. Os armazéns e lojas possuem as seguintes capacidades de armazenagem e procura, respectivamente : Armazém Capacidade Loja Procura 1. M atinha 200 A. Lisboa Mealhada 150 B. Coimbra Espinho 300 C. Porto 250 Total 650 Total 650 O custo de transporte dos frigoríficos dos armazéns para as lojas, depende da distância e do modo de transporte, de acordo com o seguinte quadro : Do Armazém Para a Loja em A. Lisboa B. Coimbra C. Porto 1. Matinha Mealhada Espinho

9 Problema de Transporte (Cont( Cont.) Determinar a quantidade mensal de frigoríficos a transportar de cada armazém para cada loja, por forma a garantir a satisfação da procura em cada loja com o menor custo de transporte total 9

10 Problema de Transporte (Cont( Cont.) VARIÁVEIS DE DECISÃO Xij= Nº de frigorificos a transportar entre o armazém i e a loja j, com i=1,2,3 e j=a,b,c. FUNÇÃO OBJECTIVO Minimizar o custo total de transporte Min Z= 10X1A + 5X1B + 12X1C + 4X2A + 9X2B + 15X2C + 15X3A + 8X3B + 6X3C em que Do Armazém Para a Loja em A. Lisboa B. Coimbra C. Porto 1. Matinha 10 X 1A 5 X 1B 12 X 1C 2.Mealhada 4 X 2A 9 X 2B 15 X 2C 3. Espinho 15 X 3A 8 X 3B 6 X 3C 10

11 Problema de Transporte (Cont( Cont.) RESTRIÇÕES DO SISTEMA Capacidade de armazenagem e Procura Capacidade de Armazenagem Armazem 1 (Matinha): X 1A + X 1B + X 1C = 200 Armazem 2 (Mealhada) : X 2A + X 2B + X 2C = 150 Armazem 3 (Espinho): X 3A + X 3B + X 3C = 300 Procura nas Lojas Loja A (Lisboa) : X 1A + X 2A + X 3A = 100 Loja B (Coimbra) : X 1B + X 2B + X 3B = 300 Loja C (Porto) : X 1C + X 2C + X 3C = 250 Restrições de Não-Negatividade : X ij 0 11

12 Problema de Transporte (Cont( Cont.) SUMÁRIO DO SISTEMA Min Z= 10X 1A + 5X 1B + 12X 1C + 4X 2A + 9X 2B + 15X 2C + 15X 3A + 8X 3B + 6X 3C s.a. X 1A + X 1B + X 1C = 200 X 2A + X 2B + X 2C = 150 X 3A + X 3B + X 3C = 300 X 1A + X 2A + X 3A = 100 X 1B + X 2B + X 3B = 300 X 1C + X 2C + X 3C = 250 X 1ij 0 12

13 Programa de Investimento Uma empresa de gestão de títulos dispõe de EUROs para investir em acções, obrigações, certificados de aforro e títulos de dívida pública. A empresa deseja determinar a carteira de títulos (combinação) que maximize o capital disponível ao fim de seis anos. O investimento em acções deverá ser realizado no inicío de cada ano, ao longo dos próximos seis anos. O Return-on-Investment(ROI) das acções é de 20% em dois anos (1.2 EURO por cada EURO investido), podendo o capital ser re-investido automáticamente em qualquer alternativa. O investimento em obrigações deverá ser realizado no inicío de cada ano, ao longo dos próximos seis anos. O Return-on-Investment(ROI) das obrigações é de 40% em três anos (1.4 EURO por cada EURO investido), podendo o capital ser re-investido automáticamente em qualquer alternativa. O investimento em certificados de aforro só poderá ser realizado uma única vez no inicío do 2º ano. O Return-on-Investment(ROI) dos certificados de aforro é de 80% em quatro anos (1.8 EURO por cada EURO investido). 13

14 Programa de Investimento (cont( cont.) O investimento em títulos de dívida pública poderá ser realizado no inicío dos 5º e 6º ano. O Return-on-Investment(ROI) dos títulos de dívida pública é de 10% ao ano (1.1 EURO por cada EURO investido). Por forma a minimizar o risco da carteira de títulos, salvaguardando assim a posição da empresa e dos potênciais subscritores de títulos, quanto à possível volatilidade de cada tipo de título, a Comissão do Mercado de Valores Mobiliários (CMVM) obriga a empresa a diversificar a composição da referida carteira. Deste modo, a totalidade dos investimentos em acções não poderá exceder 30% do total de investimentos e no mínimo 25% deverão ser certificados de aforro. PROBLEMA Determinar a combinação óptima de investimentos (carteira de títulos) nas várias alternativas disponíveis, que maximize o capital disponível ao fim do 6º ano. 14

15 Programa de Investimento (cont( cont.) FORMULAÇÃO DO PROBLEMA através de PROGRAMAÇÃO LINEAR VARIÁVEIS DE DECISÃO B 2 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 S 1 S 3 S 5 S 2 S 4 B 1 B 4 B 3 C 2 R 5 R 6 S i = montante investido em acções no inicío do ano i, com i=1,2,3,4,5 B i = montante investido em obrigações no inicío do ano i, com i=1,2,3,4 C 2 = montante investido em certificados de aforro no inicío do ano 2 R i = montante investido em títulos de divída pública no inicío do ano i, com i=5,6 I i = montante não investido no inicío do ano i, com i=1,2,3,4,5,6 15

16 Programa de Investimento (cont( cont.) FUNÇÃO OBJECTIVO Maximizar o capital disponível no fim do 6º ano Max Z= (1+0.2)S 5 + (1+0.4)B 4 + (1+0.1)R 6 + I 6 RESTRIÇÕES DO SISTEMA Oportunidades de Investimento e políticas de investimento Oportunidades de Investimento Ano Equação Comentários 1 S 1 + B 1 + I 1 = No inicío S 1 e B 1 são os unicos investimentos 2 S 2 + B 2 + C 2 + I 2 =I 1 No ano 2 o investimento é igual ao montante não investido no ano 1(I 1 ) 3 S 3 + B 3 + I 3 = I 2 +(1+0.2)S No ano 3 o investimento é igual ao capital disponível mais rendimento dos anos 1 anteriores. 4 S 4 + B 4 + I 4 = I 3 +(1+0.2)S 2 +(1+0.4)B No ano 4 o investimento é igual ao capital disponível mais rendimento dos anos 1 anteriores. 5 S 5 + R 5 + I 5 = I 4 +(1+0.2)S 3 +(1+0.4)B No ano 5 o investimento é igual ao capital disponível mais rendimento dos anos 2 anteriores. 6 R 6 + I 6 = I 5 + (1+0.2)S 4 +(1+0.4)B 3 +(1+0.8)C 2 +(1+0.1)R No ano 6 o investimento é igual ao capital disponível mais rendimento dos anos 5 anteriores. Políticas de investimento Restrições de Não-Negatividade Equação Equação?S i 0.30 (?S i +? B i + C 2 +? R i ) S i,b i, C 2, R i, I i 0?C (?S i +? B i + C 2 +? R i ) 16

17 Programação Sequencial da Produção Uma empresa foi contratada por outra para fornecer 210 motores eléctricos em Janeiro, 140 em Fevereiro, 180 em Março e 160 em Abril (admita-se que são fornecidos ao cliente no fim de cada mês). A capacidade normal de produção é de150 motores/mês e os custos de produção normal são 20, 22, 25 e 27 KPTE/motor, em cada mês, respectivamente. Utilizando horas extraordinárias a empresa consegue produzir um adicional de 30 motores/mês ao custo unitário de 25, 27,30 e 32 KPTE/motor, em cada mês do período. A empresa pode ainda sub-contratar a produção de qualquer quantidade de motores ao custo unitário de 30 KPTE em Jan/Fev e 35 KPTE em Mar/Abr. Janeiro Fevereiro Março Abril Custo Produção Custo Produção (extra.) Custo Subcontratação

18 Programação Sequencial da Produção (cont( cont.) Sabe-se que a capacidade de armazenagem da empresa apenas é suficiente para 220 motores. Em stock existem 50 motores armazenados, sendo o custo de armazenamento de 0,5 KPTE/motor/mês. PROBLEMA Sabendo-se que a empresa se comprometeu a fornecer os motores atempadamente (caso contrário incorrerá será penalizada por quebra de contrato), o Director de Produção pretende determinar o programa de produção que permita minimizar o custo total de produção e armazenagem (pelos quais ele é responsável!). 18

19 Programação Sequencial da Produção (cont( cont.) Variáveis de decisão Janeiro Fevereiro Março Abril Produção no horário normal X1 X4 X7 X10 Produção no horário extraordinário X2 X5 X8 X11 Produção por subcontratação X3 X6 X9 X12 Função Objectivo Janeiro Fevereiro Março Abril Produção Normal 20X 1 22X 4 25X 7 27X 10 Produção Extraordinária 25X 2 27X 5 30X 8 32X 11 Produção por Subcontratação 30X 3 30X 6 35X 9 35X 12 19

20 Programação Sequencial da Produção (cont( cont.) Custos de Produção Janeiro Fevereiro Março Abril Produção Normal 20X 1 22X 4 25X 7 27X 10 Produção Extraordinária 25X 2 27X 5 30X 8 32X 11 Produção por Subcontratação 30X 3 30X 6 35X 9 35X 12 Custos Produção no mês J Custos Produção Custos Produção = + + Normal Extraordinária Custos Produção Subcontratação Janeiro = 20X X X 3 Fevereiro = 22X X X 6 Março = 25X X X 9 Abril = Custos de Armazenagem 27X X X 12 Custo Armazenagem no mês J Custo Médio de Stock inicial no = x + Armazenagem mês J Produção no mês J Janeiro = 0,5 x Fevereiro = 0,5 x Março = 0,5 x Abril = 0,5 x X 1 + X 2 + X X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 - X 7 + X 8 + X X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 - X 7 + X 8 + X 9 + X 10 + X 11 + X

21 Programação Sequencial da Produção (cont( cont.) RESTRIÇÕES FUNCIONAIS Procura (Regra geral) Não pode ser inferior Produção no mês J + Stock do mês J-1 Procura no mês J X 1 + X 2 + X >= 210 X 4 + X 5 + X 6 + X 1 + X 2 + X >= 140 X 7 + X 8 + X 9 + X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X >= 180 X 10 + X 11 + X 12 + X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 - X 7 + X 8 + X >= 160 Armazenagem (Regra geral) Não pode exceder Produção no mês J + Stock do mês J-1 Capacidade de armazenagem no mês J X 1 + X 2 + X <= 220 X 4 + X 5 + X 6 + X 1 + X 2 + X <= 220 X 7 + X 8 + X 9 + X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X <= 220 X 10 + X 11 + X 12 + X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 - X 7 + X 8 + X <=

22 Programação Sequencial da Produção (cont( cont.) Capacidade produtiva (Regra geral) Produção no mês J em horário normal Não pode exceder X 1 <= X 4 <= X 7 <= X 10 <= Capacidade de produção em horário normal no mês J Produção no mês J em horário extraordinário Não pode exceder X2 <= X5 <= X8 <= X 11 <= Capacidade de produção em horário extraordinário no mês J

23 Programação Sequencial da Produção (cont( cont.) Min Z = 22X X X X X X X X X X X X X 1 + X 2 + X 3 X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 - X 7 + X 8 + X 9 X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 - X 7 + X 8 + X 9 + X 10 + X 11 + X 12 X 1 + X 2 + X 3 X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 - X 7 + X 8 + X 9 X 1 + X 2 + X 3 - X 4 + X 5 + X 6 - X 7 + X 8 + X 9 + X 10 + X 11 + X 12 X 1 X 2 X 4 X 5 X 7 X 8 X 10 X 11 >= 160 >= 300 >= 480 >= 640 <= 170 <= 380 <= 520 <= 700 <= 150 <= 30 <= 150 <= 30 <= 150 <= 30 <= 150 <= 30 23

24 Problema de Transexpedição (Transhipment) Uma empresa responsável pelo abastecimento semanal de certo bem às cidades de Lisboa e Porto, pretende estabelecer um plano de distribuição desse bem a partir dos centros produtores situados em Peniche, Viseu e Évora, através de entrepostos localizados nos centros produtores e consumidores e ainda em Aveiro e Santarém. O consumo semanal previsto é de 180 ton em Lisboa e 140 ton no Porto. As quantidades semanalmente disponíveis em Peniche, Viseu e Évora, são 70, 130 e 120 toneladas, respectivamente(quadro 1). Os custos unitários de transporte (u.m./ton) são os constantes de Quadro 2. 24

25 Problema de Transexpedição (Transhipment) Quadro 1 Produtor Capacidade Consumidor Procura 1. Peniche Lisboa Viseu Porto Évora 120 Total 320 Total 320 Quadro 2 Peniche Viseu Évora Aveiro Santarém Lisboa Porto Peniche Viseu Évora Aveiro Santarém Lisboa Porto

26 Problema de Transexpedição (Transhipment) FORMULAÇÃO DO PROBLEMA através de PROGRAMAÇÃO LINEAR VARIÁVEIS DE DECISÃO 7 j= 1 i j X ij Quantidade que sai da cidade i para todas as outras cidades 7 i= 1 i j X ij Quantidade que chega à cidade j de todas as outras cidades FUNÇÃO OBJECTIVO 7 7 cij X = 20X + 20X X Min Z = ij i= j j= 1 i j 26

27 Problema de Transexpedição (Transhipment) RESTRIÇÕES FUNCIONAIS CENTRO PRODUTOR Entrada + Disponibilidade = Saída 7 7 X1 j X i1 = j= 1 i= X 2 j X i 2 = j= 1 i= X 3 j X i 3 = j= 1 i= ENTREPOSTO Entrada = Saída 7 7 X 4 j X i4 = j= 1 i= X 5 j X i5 = j= 1 i= CENTRO CONSUMIDOR Entrada = Saída + Necessidade 7 7 X 6 j X i6 = j= 1 i= X 7 j X i7 = j= 1 i=

28 Utilização de máquinasm Uma metalomecânica utiliza 3 máquinas (M1, M2, M3 ) na manufactura de 3 produtos (A, B e C). Uma unidade do produto A necessita 4 horas da máquina M1, 2 horas da máquina M2 e 1 horas da máquina M3. Para o produto B são necessárias, respectivamente 3, 5, 2 horas enquanto para o produto C são necessárias 2, 4, 5 horas. O lucro de venda, por unidade, é de 35 u.m. para A, 45 u.m. para B e 40 u.m. para C. Estando prevista a disponibilidade de 180 horas de M1, 155 horas de M2 e 160 horas de M3 de que modo se optimiza a produção? 28

29 Utilização de máquinasm 29

30 Utilização de máquinasm 30

31 Turnos de Produção Uma fábrica têxtil labora em 3 turnos : 7 ás 15 horas ; 15 ás 23 horas ; 23 ás 7 horas. Em cada turno necessita de modelistas, costureiras e embaladoras que auferem por hora de trabalho, respectivamente 23, 19 e 7.5 u.m. As modelistas e costureiras auferem um adicional de 2 u.m./hora quando trabalham no último dos turnos indicados sendo o salário das embaladoras, neste turno, de 8.5 u.m./h. As necessidades da produção exigem, em cada turno, 1 hora de modelista por cada 3 horas de costureira não podendo haver mais do que um total de 200 horas de embaladora em cada turno. Pretende-se que o total de horas de trabalho de modelista e costureira seja no mínimo de 400 horas no turno da manhã, 376 horas no turno da tarde e 270 horas no turno da noite. 31

32 Turnos de Produção Devendo haver, no mínimo, 600 horas de trabalho em cada turno, como fixar o contributo de cada par categoria/turno? É necessário decidir o número de horas de trabalho, em cada turno, por cada tipo de trabalhador pelo que se consideram as seguintes Variáveis de Decisão: Em cada turno, 1 hora de modelista por cada 3 horas de costureira; No primeiro turno a modelista faz x11 horas e a costureira faz x21 horas; Logo x11 = 1 hora pelo que o valor de x12 deve ser 3 horas. 1º turno: 3x11 = x21 ou 3x11 - x21 = 0 2ºturno: 3x12 = x22 ou 3x12 - x22 = 0 3º turno: 3x13 = x23 3x13 - x23 = 0 32

33 Turnos de Produção Em cada turno, o número de horas das embaladoras não deve exceder 200 horas; estas operárias fazem, em cada turno, respectivamente x31, x32 e x33 horas de trabalho pelo que : O total de horas das modelistas e costureiras, em cada turno, não deve ser inferior a 400 horas no turno da manhã, 376 horas no turno da tarde e 270 horas no turno da noite 33

34 Turnos de Produção O total de horas de trabalho em cada turno não deve ser inferior a 600 horas; no primeiro turno, o total de horas de trabalho é igual à soma de x11, x21 e x31 do que : Min 34

35 Produção de Conjuntos de peças Uma empresa produz 3 componentes (A, B, C) para máquinas de barbear. A Secção 1 produz os componentes A e B e a Secção 2 produz apenas o componente C. As actuais condições de produção são as seguintes: A montagem de 1 máquina de barbear necessita de 1 componente A, 1 componente B e 1 componente C pelo que a produção deve ser equilibrada para garantir esta exigência. Sendo o lucro de venda de uma máquina de barbear de 10 unidades monetárias como optimizar a produção? 35

36 Produção de Conjuntos de peças É necessário calcular o número de componentes a produzir em cada Secção pelo que as Variáveis de Decisão são: Na secção 1, são feitas 8 peças A por hora de laboração pelo que para produzir uma unidade de A são necessárias 1/8 horas. De forma similar tem-se 1/5 horas para uma peça B e 1/14 horas para uma peça C. Atendendo ao tempo semanal disponível em cada secção, têm-se as Restrições Técnicas 36

37 Produção de Conjuntos de peças Para equilibrar a produção : A decisão sobre o número de "conjuntos de peças" a produzir é efectuada à luz do critério da maximizar o lucro total da venda das máquinas de barbear. Como o número destas é igual ao número de componentes A (ou B ou C), atendendo ao lucro unitário da venda tem-se a Função Objectivo para Maximizar: 37

38 Organização das necessidades de pessoal Uma empresa tem várias cervejarias em Lisboa que funcionam todos os dias da semana durante 8 horas consecutivas. Os seus empregados trabalham semanalmente, 5 dias consecutivos podendo a empresa fixar o 1º dia de serviço em qualquer dia da semana. As necessidades mínimas de pessoal em cada dia da semana são as seguintes: Como minimizar o total de empregados necessários à satisfação das necessidades referidas? 38

39 Organização das necessidades de pessoal É necessário calcular o número de empregados que, em cada dia, iniciam os seus 5 dias consecutivos de trabalho pelo que as Variáveis de Decisão são: 39

40 Organização das necessidades de pessoal 40

41 Problema de Afectação Uma empresa de construção civil necessita contratar 4 sub-empreitadas (S1, S2, S3 e S4). As seis empresas concorrentes (E1, E2, E3, E4, E5 e E6 ) apresentaram as seguintes propostas (milhares de escudos): Garantindo que a qualquer dos concorrentes não é atribuída mais do que uma sub-empreitada como optimizar a contratação? 41

42 Problema de Afectação Para cada empresa i, é necessário estabelecer se lhe é atribuída ou não uma das sub-empreitadas j. À empresa E1, por exemplo, pode ser atribuída uma ou nenhuma das subempreitadas pelo que temos uma situação de "ou exclusivo". Esta situação pode programar-se matematicamente recorrendo a variáveis binárias. Se a variável tem valor "1" a sub-empreitada é atribuída não o sendo se a variável tem valor "0". A cada par (E1, sub-empreitada) associamos então uma variável como mostra o quadro seguinte: 42

43 Problema de Afectação Tendo em atenção o valor possível para estas variáveis é necessário reflectir sobre quais os valores que admitimos para a sua soma. Atendendo a que: - o número de empresas é superior ao número de sub-empreitadas; - uma empresa só pode aspirar, no máximo, a uma das sub-empreitadas; então a soma das quatro variáveis só pode ser zero (não é atribuída subempreitada) ou 1 (é atribuída uma sub-empreitada). 43

44 Problema de Afectação As restrições estabelecidas são insuficientes porque não impedem, como é necessário, que seja atribuída a mesma sub-empreitada a mais do que uma empresa. Sendo obrigatório atribuir todas as sub-empreitadas, então S1 é atribuída a uma das seis empresas concorrentes ou seja a soma das variáveis associadas a cada par (S1, empresa concorrente) deve ser igual a uma unidade o que conduz a: 44

45 Problema de Afectação Função Objectivo : Os valores das variáveis de decisão só são admissíveis se iguais a 0 ou 1 pelo que : 45

46 Problema de encaminhamento Um aluno pretende deslocar-se de sua casa para a universidade no menor tempo possível. Do estudo dos transportes disponíveis recolheu a informação apresentada na figura seguinte: Qual é o itinerário óptimo? 46

47 Quando o aluno está em casa, pode decidir deslocar-se para A ou B ou U. Se, por exemplo, se encontrar em B pode decidir deslocar-se para A ou C. Idêntico estudo pode fazer-se para qualquer dos pontos da rede pelo que se deve associar uma Variável de Decisão a cada uma das ligações existentes. Estas variáveis deverão ser do tipo binário ou seja quando a variável tem valor 1 a ligação é utilizada e quando a variável tem valor 0 a ligação não é utilizada. Assim sendo, quando o aluno está em casa pode escolher deslocar-se para A ou B ou U (escolhas disjuntas) pelo que a Restrição Técnica é: Deste modo "obriga-se" a que uma das variáveis tenha valor 1 e que consequentemente o aluno saia de casa e se desloque para : 47

48 Vejamos agora o ponto A. O aluno só atinge A se efectuou a ligação ZA ou BA ou seja se xza + xba =1; por outro lado, o aluno nunca atinge A no caso contrário ou seja se xza + xba = 0. Na primeira destas situações, porque ainda não atingiu a universidade o aluno terá que decidir seguir para U ou C o que implica xau + xac = 1 enquanto na segunda das situações xau + xac = 0. Resumindo, se o aluno atinge A deve prosseguir viagem não tendo que o fazer se nunca atingiu A pelo que neste ponto intermédio do deslocamento deve verificar-se : concluindo-se que em qualquer ponto intermédio da rede são iguais as somas das entradas e saídas do vértice. 48

49 Como os pontos B e C são pontos intermédios tal como o ponto A : No ponto U (universidade) deve verificar-se a chegada do aluno pelo que este deve efectuar a ligação ZU ou AU ou CU o que implica : 49

50 Dado que as variáveis de decisão só podem ter valor 0 ou 1 : O aluno decide à luz do menor tempo de casa (ponto Z) até à universidade (ponto U) pelo que a Função Objectivo a minimizar é a seguinte: Notar que o número de Variáveis de Decisão é igual ao número de ligações em rede e que o número de restrições é igual ao número de vértices da rede. 50