Modelos de planeamento e gestão de recursos hídricos. 19 de Novembro

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1 Modelos de planeamento e gestão de recursos hídricos 19 de Novembro

2 Metodologias de análise Sistema real vs sistema simplificado Modelação Matemática; Física; Análise de sistemas: Simulação; Optimização: Programação linear; Programação dinâmica; Métodos baseados em gradientes; Métodos heurísticos Redes neuronais; Algoritmos genéticos; Simulated Annealing;. IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

3 Problemas tipo Planeamento Que alterações profundas há a realizar no sistema para satisfazer os usos / fins do sistema? Longo prazo; Gestão Qual a política de operação do sistema, tendo em conta a sua configuração (condições naturais, infra-estruturas, usos/fins)? Médio prazo; Gestão em tempo real Qual a decisão apropriada para o próximo período tendo em conta o estado do sistema? Curto prazo. IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

4 Exemplos Planeamento: Como resolver os problemas de cheias de uma determinada localidade? Como resolver os problemas de abastecimento de uma região? Como resolver os problemas de contaminação de um curso de água? Gestão: Qual deve ser a política de exploração de uma albufeira para satisfazer certos fins? Gestão em tempo real: Que volumes de água devo atribuir a cada uso esta semana tendo em conta o estado do sistema e as previsões de afluências? IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

5 Formulação Dado um problema: Alternativa 1 > Implicações (benefícios, custos) Alternativa 2 > Implicações (benefícios, custos).. Alternativa n > Implicações (benefícios, custos) Qual é a alternativa mais apropriada? Problema: Existe um número muito elevado, por vezes infinito, de alternativas para solucionar o problema. IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

6 Resolução 1. Identificação de soluções viáveis (admissíveis), i.e. que satisfazem as condicionantes do problema; 2. Avaliação dos benefícios e custos de cada alternativa. 3. Identificação da melhor alternativa. IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

7 Técnicas de resolução Simulação Modelo matemático que estima o desempenho do sistema se adoptada determinada solução; O utilizador testa várias alternativas e avalia os resultados; Por tentativa e erro, é identificada a melhor alternativa; Alternativa 1 Modelo Implicações Alternativa 2 Alternativa i Modelo Modelo Implicações Implicações Análise Comparação Melhor alternativa Alternativa n Modelo Implicações IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

8 Técnicas de resolução Optimização Identificação de possível solução; Estimativa do desempenho do sistema; Aperfeiçoamento da solução; Identificação da melhor alternativa de forma automática; Alternativa x Simulação Implicações Gera novas alternativas Melhor alternativa IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

9 Vantagens e desvantagens Simulação Permite simular o sistema de forma mais realista; Exige a identificação manual das alternativas viáveis; Exige identificação da melhor alternativa por tentativa e erro; Quando existe um número infinito de alternativas, é difícil identificar a melhor. Optimização Simulação simplificada do sistema; Identificação da melhor solução de forma automática. A solução identificada como melhor pode não ser a melhor no mundo real. Solução: Utilizar optimização para identificar a melhor solução; Avaliar a solução por simulação e proceder a aperfeiçoamentos; IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

10 Formulação de um problema de optimização Cada alternativa é representada pelos valores que um conjunto de variáveis assume. Variáveis de decisão: X 1, X 2,.,X n Função objectivo: B(X 1, X 2,.,X n ) (e.g. beneficios ou custos da alternativa) Max B(X 1, X 2,.,X n ) Sujeito a F 1 (X 1, X 2,.,X n ) <= b 1 F 2 (X 1, X2,.,X n ) <= b 2... F n (X 1, X 2,.,X n ) <= b n IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

11 Técnicas de optimização Programação linear Só podem ser incluídas equações lineares g(x1, X2,, Xn) = c1 X1 + c2 X2 + + cn Xn e.g. não é possível assumir que o custo de uma solução varia com o quadrado de uma variável Programação dinâmica A função objectivo tem de ser separável. F(X1, X2,, Xn) = f1(x1) + f1(x2) + + fn(xn) Maldição da dimensão Programação não linear Não há garantia de identificação da melhor solução. Técnicas heurísticas Redes neuronais; Algoritmos genéticos; Simulated annealing (recozimento simulado); Programação inteira Variante da PL que permite considerar variáveis não contínuas Programação dinâmica estocástica; teoria do controlo Variantes da PD IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

12 Programação linear As variáveis são contínuas; Todas as equações são lineares; Formulação padrão (forma canónica;) Max C1X1 + C2X2 + + CnXn Sujeito a a11 X1 + a12 X2 + a11 Xn <= b1 a21 X1 + a22 X2 + a21 Xn <= b2 am1 X1 + am2 X2 + amn Xn <= bm X1>=0, X2>=0,., Xn>=0 IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

13 Exemplo 1 Mitigação de cheias IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

14 Ex.1 - Mitigação de cheias Uma pequena cidade, que sofre frequentemente cheias, está a estudar as duas soluções tecnicamente viáveis para mitigar este problema. A primeira solução consiste em construir um dique que custa 200 mil euros por cada metro de altura, sendo possível construir diques até um máximo de 4 m. Cada metro de altura do dique reduz o risco de cheia em 5%. A outra solução é a definição de um volume de encaixe de cheias numa albufeira localizada a montante da cidade. A entidade que gere essa albufeira está disposta vender o direito de utilização da capacidade de armazenamento, até um volume de 10 dam3, por 150 mil euros por cada dam3. Cada dam3 de volume de encaixe de cheias reduz o risco de cheia em 3%. Actualmente, sem qualquer medida de protecção, o risco de cheia é 50%. A cidade pretende saber qual é a solução mais barata que reduza o risco de cheia para um valor inferior a 10 % Qual é a solução mais barata para atingir o risco de cheia pretendido? Quanto é custaria reduzir o risco de cheia para 9 %? Quanto a cidade estaria disposta a pagar pela possibilidade de utilizar mais um dam3 de capacidade de armazenamento na albufeira? IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

15 Ex.1 - Mitigação de cheias Formulação / Resolução Função objectivo: Minimizar custos Variáveis de decisão: Volume de encaixe de cheias, V (dam3) Altura do dique, H (m) 8 H Solução óptima V = 6.6 dam3 H = 4 m Custo = 1790 milhares de euros Min 200H + 150V (milhares de euros) Sujeito a: V <= 10 dam3 4 Soluções Admissíveis H <= 4 m 50 5H 3V <= 10 V>=0; H>= ,3 V IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

16 Programação linear Todas as equações (restrições e função objectivo) são lineares e são representadas por rectas no espaço das soluções; A zona das soluções admissíveis é um polígono convexo; A solução óptima é sempre um dos vértices do polígono; O número de restrições condicionantes é igual (ou superior) ao número de variáveis. Polígono não convexo Polígono convexo IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

17 Preços-sombra Cada restrição tem um preço-sombra (incluindo as de não negatividade); Definição: Variação do valor da função objectivo decorrente do incremento em uma unidade do lado direito da equação; Significado: Custo unitário do recurso associado à restrição; Restrições: Condicionantes -> preço-sombra <> 0. Não condicionantes -> preço-sombra = 0 Max C 1 X 1 + C 2 X C n X n Sujeito a a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 11 X n <= b 1 Y1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 21 X n <= b 2 Y a m1 X 1 + a m2 X 2 + a mn X n <= b m Yn X 1 >=0 z1 X 2 >=0 X n >=0 Preços sombra IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira, z2 zn Custos reduzidos

18 Ex.1 - Mitigação de cheias Cálculo de preços sombra Problema original Min 200H + 150V (milhares de euros) H Sujeito a: Solução óptima original 5 V < 10 dam3 V = 6.6 dam3; H = 4 m 4 H < 4 m Custo = 1790 milhares de euros 50 5H 3V <= 10 V>=0; H>=0 Preço sombra de H <= 4 H<= 5 Nova solução óptima V = 5 dam3; H = 5 m Custo = 1550 milhares de euros Preço sombra = = 240 milhares de euros/m 4 H 10 13,3 V Preço sombra de 50-5H-3V<= H-3V<=11 Nova solução óptima V = 4.6 dam3; H = 4 m Custo = 1490 milhares de euros Preço sombra = = 300 milhares de euros/(%risco) 10 13,3 V IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

19 Ex.1 - Mitigação de cheias Preços sombra Quanto é custaria reduzir o risco de cheia para 9%? Preço sombra da restrição do risco de cheia Custo = 300 milhares de euros/(%risco) Quanto a cidade estaria disposta a pagar pela possibilidade de utilizar mais um dam3 de capacidade de armazenamento na albufeira? Preço sombra da restrição sobre o volume de encaixe de cheias; 0 milhares de euros/dam3 Só está a utilizar 6.6 dam3 dos 10 dam3 que tem disponíveis. Quanto a cidade está a pagar pela imposição de não permitir a construção de um dique com uma altura superior a 4 m? Preço sombra da restrição sobre a altura máxima do dique; Custo = 240 milhares de euros/m IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

20 Ex.1 - Mitigação de cheias Análise de sensibilidade Max Z=c1H+c2V c1 = 200 c2 = 150 Qual é a sensibilidade da solução encontrada a variações dos coeficientes da função objectivo 4 H Max Z=c1H+c2V H = 1/c2 x Z- c2/c1 x V c2/c1 > 8/13.3 c2 > 0,6 x c1 Se c1 = 200 -> c2 > 120 Se c2 = 150 -> c1 < ,3 V IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

21 Exemplo 2 Abastecimento de água IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

22 Ex.2 - Abastecimento de água Uma cidade necessita de garantir um abastecimento de água de 500 dam3 por ano. Para resolver este problema existem duas soluções: a construção de uma barragem num local próximo da cidade ou a construção de um sistema de adução a partir de um aquífero existente localizada a uma grande distância da cidade. O local escolhido para construir a barragem permite o armazenamento de água até um máximo de dam3. Cada dam3 de armazenamento custa 500 euros e proporciona um abastecimento garantido de 0,04 dam3/ano. Os custos de construção do sistema de adução são de 50 mil euros por dam3/ano de capacidade de transporte. Dado que o aquífero que alimenta o sistema de adução só pode garantir o fornecimento de máximo de 800 dam3/ano não há interesse em construir um sistema com uma capacidade de transporte superior a esse valor. A construção destas duas infra-estruturas exige uma rede logística para fazer chegar máquinas e materiais à região. A fim de reduzir o impacto da construção na região foi acordado com a população limitar o número de camiões que transitam a 50/dia. A construção de cada 1000 dam3 de armazenamento da albufeira exige 2 camiões/dia. A construção de cada 100 dam3/ano de capacidade de transporte exige 5 camião por dia. Qual é a solução mais barata? Quanto é que custa o acordo de limitar o número de camiões? Quanto é que a cidade estaria disposta a pagara para conseguir um maior abastecimento garantido por parte da albufeira a montante do sistema de adução? IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,

23 Ex.2 - Abastecimento de água Formulação / Resolução Variáveis de decisão V Volume de armazenamento (mil dam3) A Capacidade de adução (dam3/ano) Função objectivo Min 500V + 50A (milhares de euros) A Restrições: Local de construção: V <= 20 Recarga do aquífero: A <= 800 Necessidades de água: 40V + A >= 500 Acordo: 2V + 0,05A <= 50 V >=0; A >= , V Solução óptima A = 0 dam3/ano V = 12,5 mil dam3 Custo = 6250 mil euros Preços sombra Local de construção: 0 euros/dam3 Necessidades: Nova solução: A=0, V=12,525, Custo= Preço sombra: 12,5 mil euros/dam3/ano Acordo: 0 IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas Rodrigo Proença de Oliveira,