PESQUISA OPERACIONAL I

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1 PESQUISA OPERACIONAL I Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza [email protected]

2 Dualidade

3 Introdução Uma das mais importantes descobertas no início do desenvolvimento da programação linear foi o conceito de dualidade. Esta descoberta revelou que todo o problema de programação linear tem associado a ele outro problema de programação linear chamado de dual. As relações entre o problema dual e o problema original (chamado de primal) provam seretremamente úteis. Interpretação e implementação da análise de sensibilidade Teoria da Dualidade

4 Introdução Dualidade é um fenômeno que ocorre freqüentemente na formulação de problemas A solução de um problema Dual segue as mesmas regras de solução PL, ou seja, pode seraplicado o método Simple e suas etensões

5 Formulação do Problema Dual Dado um problema de maimização, Ma s. a. Z AX X CX b 0 Eiste um problema associado, o dual, tal que Min s. a. W T A Y Y b T Y C 0 T 5

6 Formulação do Problema Dual Dado um problema de minimização, Min s. a. Z AX X CX b 0 Eiste um problema associado, o dual, tal que Ma s. a. W b T A Y Y T Y C 0 T 6

7 Regras de Transformação Cada variável do primal corresponde a uma restrição no dual, Cada restrição do primal corresponde a uma variável do dual, Os coeficientes da função objetivo do primal correspondem aos termos independentes das restrições do dual, Os termos independentes das restrições do primal correspondem aos coeficientes da função objetivo do dual, A transposta da matriz das restrições do primal, é a matriz das restrições do dual, Se o primal for um problema de maimização (minimização) na forma típica, então o problema dual será um problema de minimização (maimização) na formatípica 7

8 8 Eemplo Dado o primal: 0 0; a s Z Ma O Dual associado é: 0 0; 0; a s Z Min

9 Relações Primal-Dual 9

10 Eemplo Dado o primal: O Dual associado é: 0

11 Teorema de Eistência Para um par de problemas duais, uma e somente uma das alternativa é verdadeira: Nenhum dos problemas tem solução. Um deles não tem solução viável e o outro tem solução ótima ilimitada. Ambas possuem solução ótima finita.

12 Interpretação Econômica do Dual Ma s. a. Z 0; I II III recursos variáveis de decisão: - quantidade a ser produzida do produto ; - quantidade a ser produzida do produto ; unidade de medida: unidade física função objectivo ma: Maimizar o lucro total. unidade de medida: unidade monetária (Euros)

13 Interpretação Econômica do Dual 0 0; a s Z Ma, i f f f a s Z Ma i variáveis de folga: f - quantidade do recurso I não utilizada; f - quantidade do recurso II não utilizada; f - quantidade do recurso III não utilizada. unidade de medida: unidade física 6 6 Z

14 Interpretação Econômica do Dual o valor da f.o. traduz o valor total atribuído aos recursos minimizar w 8 As variáveis de decisão duais,, são valorizações unitárias a atribuir a cada recurso e podem ser interpretadas como a contribuição ao lucro total por cada unidade de recurso i utilizada. Estes são preços internos, também designados como preços sombra 5,, 0 0,5 W 6

15 Interpretação Econômica do Dual z* * 0 Se incrementar o insumo em unidade ( b 5 ) o valor ótimo ( z*6 ) não muda. Este recurso é abundante ( "gratis") 6 X*(, 6) Região de admissibilidade

16 Interpretação Econômica do Dual z* 5 7 / z* X*(5/, /) / 6 /6 * / Se incrementar o insumo em unidade ( b ) o valor ótimo será incrementado em / Reais ( z*7 ½ ). Este recurso é escasso. Região de admissibilidade 8 6 6

17 Interpretação Econômica do Dual 8 * Se incrementar o insumo em unidade ( b 9) o valor ótimo será incrementado em Real ( z*7 ). Este recurso é escasso. 6 X*(7/, 6) /6 Região das soluções 9 admissíveis 6 7

18 Eemplo primal Ma s. a. Z 5 6 0; 6 0 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão f f f f Valores da Solução 0 / -/ /8 / 0 0 / f 0 0 /8-5/ 0 5/ f 0 0 /8 -/ 0 / Z 0 / / 0 0 8

19 Eemplo dual Min s. a. Z 6 0; 6 0; 0; 5 0 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão f f R R Valores da Solução 0-0,8 0, -/ 0, X X / 0 5/ / / -/ X X / Z 0 0-5/ -/ - -/ X X 9

20 Eemplo Variáveis na Solução Variáveis de Decisão (Primal) f f f f Valores da Solução 0 / -/ /8 / 0 0 / f 0 0 /8-5/ 0 5/ f 0 0 /8 -/ 0 / Z 0 / / 0 0 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão (Dual) f f R R Valores da Solução 0-0,8 0, -/ 0, X X / 0 5/ / / -/ X X / Z 0 0-5/ -/ - -/ X X 0