INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Teste A CURSOS: EMP e EEM 00/00 Data: 1 de Novembro de 00 Duração: 19:0 às 1:0 Instruções: 1. Leia atentamente o teste/eame antes de começar. Só haverá lugar a esclarecimento de dúvidas nos primeiros 1 minutos.. Está autorizado a usar máquina de calcular individual.. O abandono da sala por desistência só deverá ocorrer depois de decorridos minutos a partir do início do teste/eame. Questões: [.0] 1. Uma empresa de informática pretende minimizar o custo (em unidades monetárias) de uma rede de computadores com topologia de interligação total, que satisfaça as seguintes condições:. a velocidade mínima de processamento (soma das velocidades de processamento de cada máquina utilizada) é de 1000 MHz;. a quantidade mínima de memória RAM é de 1 GB;. a velocidade mínima de transmissão é de GBPS. As especi cações dos computadores disponíveis são detalhadas na seguinte tabela: Máquina 1 Máquina Máquina Máquina Máquina Máquina 6 Custo (u.m.) RAM (GB) Processador (MHz) Os cabos disponíveis para a construção da rede seguem as seguintes especí cações: Cabo 1 Cabo Cabo Cabo Custo (u.m. por metro) Velocidade (GBPS) A topologia da rede é a seguinte com o comprimento em metros a ligar os computadores A, B, C e D: A C B D A velocidade de transmissão é dada pela média ponderada das velocidades dos cabos usados. Desta forma, a única maneira de atender à restrição de velocidade mínima de transmissão é utilizar apenas o cabo do tipo. Modele o problema em Programação Linear Inteira.. Considere o seguinte problema de Programação Linear: [.] (a) Resolva o problema geometricamente. ma z = 1 s. a = ; 0 (b) Indique, recorrendo à alínea anterior, um ponto que corresponda a: [0.] i. uma sba não óptima;

2 [0.] ii. uma snba; [0.] iii. uma snba óptima; [0.] iv. uma snbna; [0.] v. uma sbna. [1.0] (c) Formule o correspondente problema dual. [.0] (d) Determine a solução óptima do problema dual através das propriedades da dualidade. (e) Indique uma função objectivo que tenha por solução óptima: [1.0] i. o ponto = (; ) ; [1.0] ii. o conjunto = ( 1 ; ) IR : 1 + = 0 ^ 0 :. Considere o seguinte problema de Programação Linear: [1.0] (a) Passe o problema à forma standard. (b) Considere o quadro óptimo correspondente [1.0] i. Indique a solução óptima do problema. min z = 1 + s. a = ; 0 e livre P PPPPPP c j c B AB A j A 0 A 1 A A 0 A 00 A 1 A A z j z j c j [1.0] ii. Eistem soluções óptimas alternativas? Caso eistam calcule-as. Caso não eistam justi que porquê. [1.] (c) Formule o correspondente problema dual e indique a sua solução óptima. [1.0] (d) Veri que o teorema dos desvios complementares. [1.]. Demonstre que o número de vértices de um conjunto de soluções admissíveis de um problema de PL é nito.

3 Tópicos de Resolução do Teste A de IO (1/11/0) 1. Uma empresa de informática pretende minimizar o custo (em unidades monetárias) de uma rede de computadores com topologia de interligação total, que satisfaça as seguintes condições:. a velocidade mínima de processamento (soma das velocidades de processamento de cada máquina utilizada) é de 1000 MHz;. a quantidade mínima de memória RAM é de 1 GB;. a velocidade mínima de transmissão é de GBPS. As especi cações dos computadores disponíveis são detalhadas na seguinte tabela: Máquina 1 Máquina Máquina Máquina Máquina Máquina 6 Custo (u.m.) RAM (GB) Processador (MHz) Os cabos disponíveis para a construção da rede seguem as seguintes especí cações: Cabo 1 Cabo Cabo Cabo Custo (u.m. por metro) Velocidade (GBPS) A topologia da rede é a seguinte com o comprimento em metros a ligar os computadores A, B, C e D: A C B D A velocidade de transmissão é dada pela média ponderada das velocidades dos cabos usados. Desta forma, a única maneira de atender à restrição de velocidade mínima de transmissão é utilizar apenas o cabo do tipo. Modele o problema em Programação Linear. i - n o de computadores ou máquinas do tipo i (i = 1; : : : ; 6) min z = s.a : = j 0 (j = 1; ; : : : ; 6) e inteiros. Considere o seguinte problema de Programação Linear: (a) Resolva o problema geometricamente. ma z = 1 s. a = ; 0

4 = = 7. z = * + 1 = = (; 0) e z = 10: (b) Indique, recorrendo à alínea anterior, um ponto que corresponda a: i. uma sba não óptima; (; ) ii. uma snba; (:; 1) iii. uma snba óptima; Não eiste iv. uma snbna; (; 1) v. uma sbna. (0; 10) (c) Indique, justi cando, uma função objectivo que tenha por solução óptima: i. o ponto = (; ) ; min z = 1 ii. o conjunto = ( 1 ; ) IR : 1 + = 0 ^ 0 : ma z = 1 + (d) Formule o correspondente problema dual. min w = u 1 + 0u + u s. a u 1 + u u u + u u 1 0; u livre, u 0 (e) Determine a solução óptima do problema dual através das propriedades da dualidade. n n 1 Passando o problema primal à forma standard, veri ca-se que = =, = 1 = 9 : Pelo teorema dos desvios complementares: 1 u = 0, u = 0, u = 0 u 1 = 0, u 1 1 = 0, u 1 = 0 u = 0, u 9 = 0, u = 0 Logo, passando as restrições de funcionalidade do problema dual a igualdades: n n u = u u =, u = 1= u = u = (0; 1=; 0; 0; ) e w = 10:. Considere o seguinte problema de Programação Linear: min z = 1 + s. a = ; 0 e livre

5 (a) Passe o problema à forma standard. min z = s. a = = 6 1 ; ; 0 ; 00 ; 0 (b) Considere o quadro óptimo correspondente P PPPPPP c j c B AB A j A 0 A 1 A A 0 A 00 A 1 A A z j z j c j i. Indique a solução óptima do problema. = (0; 1; 6; 0) e z = 19. ii. Eistem soluções óptimas alternativas? Caso eistam calcule-as. Caso não eistam justi que porquê. não eistem pois embora, z 0 c 0 = 0, resulta do desdobramento da variável ; relativamente a z 1 c 1 = 0; este valor deve-se ao facto de A 1 ser simétrica a A 00, originando diferenças iguais. Estas situações con rmam-se pela impossibilidade de utilizar o critério de entrada. (c) Formule o correspondente problema dual e indique a sua solução óptima. ma w = u 1 6u s. a u 1 + u 1 u 1 1 u 1 + u = 1 u 1 livre e u 0 u = ( 1; ; 0; 0) e w = 19. (d) Veri que o teorema dos desvios complementares. 1 u = 0 0 = 0 u = 1 0 = 0 u = 0 = 0. Demonstre que o número de vértices de um conjunto de soluções admissíveis de um problema de PL é nito. Com n o vértices = n o de sba n o de sb = n o bases C n m (de uma matriz de ordem (m n)), que é um n o nito, então o n o de vértices é nito.