INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC INVESTIGÇÃO OPERCIONL Eame - a Chamada CURSOS: EMP,EEM e EME / Data: de Janeiro de Duração: 8: às : Instruções:. Leia atentamente o teste/eame antes de começar. Só haverá lugar a esclarecimento de dúvidas nos primeiros minutos.. Está autorizado a usar máquina de calcular individual.. O abandono da sala por desistência só deverá ocorrer depois de decorridos minutos a partir do início do teste/eame. Questões: [.]. Um Fundo de Investimentos tem que decidir sobre a melhor composição da sua carteira de aplicações financeiras para o próimo ano. O regulamento da sua constituição estipula que, pelo menos, % dos investimentos têm de ser feitos em Títulos do Tesouro e os investimentos em acções não podem ultrapassar % do total. gestão do Fundo vai ainda considerar investimentos em Obrigações de empresas privadas. Para cada tipo de aplicação, indicam-se as rentabilidades esperadas e o correspondente risco estimado: Rentabilidades esperada (em %) Investimentos por unidade percentual da composição Risco estimado Títulos do Tesouro cções. Obrigações 6. Na perspectiva da segurança dos seus investidores, a gestão do Fundo decidiu que a média do risco ponderada pelas proporções de cada tipo de aplicação financeira não deve eceder 7.. Qual deverá ser a composição da carteira de investimentos do Fundo que poderá proporcionar a melhor rentabilidade? Modele o problema em Programação Linear.. Um negociante de vinhos produz duas variedades de vinho branco: meio seco e seco. venda de litros de vinho meio seco rende euros enquanto que a venda de litros de vinho seco rende euros. Para produzirlitrosdevinhomeiosecosãonecessáriascaiasdeuvas,quilosdeaçúcaremedidasde etracto. Para produzir litros de vinho seco utilizam-se caias de uvas, quilos de açúcar e medida de etracto. O negociante dispõe de caias de uvas, 8 quilos de açúcar e 6 medidas de etracto. Para determinar o plano de produção que maimiza o lucro obtido com a venda dos vinhos, modelou o seguinte problema de PL: ma z = + s. a , [.] (a) Passe o problema à forma standard e indique qual o algoritmo do simple adequado à sua resolução, justificando. [.] (b) Sabendo que a base óptima é constituída por {P,P,P }, apresente o quadro óptimo recorrendo ao cálculo matricial. [.] (c) Formule o problema dual e calcule a sua solução óptima através das propriedades da dualidade. [.] (d) Verifique o Teorema dos Desvios Complementares e interprete economicamente a solução óptima do par de problemas duais. [.] (e) Considere uma alteração β no termo independente da restrição relativa aos quilos de açúcar. Qual a quantidade que, no máimo, o negociante pode reduzir no açúcar de forma a manter a anterior base óptima? (f) [.] Suponha que a procura de vinho seco aumenta e o negociante aproveita para aumentar o preço para 6 euros/litro. Verifique o impacto na solução óptima do par de problemas duais.

2 [.]. Considere o problema de Programação Linear Inteira: min z = s.a: + + 6, einteiros Resolva-o através do algoritmo Branch and Bound.. Considere a seguinte tabela de distâncias (em quilómetros) da rede viária entre localidades portuguesas: Castro de ire Moimenta Castro de ire Moimenta Viseu guiar 8 9 Fornos guiar Mangualde Fornos 8 guiar R. Moinhos Viseu R. Moinhos R. Moinhos Mangualde [.] (a) Represente a situação numa rede e indique, justificando, se esta é conea e completa. [.] (b) Determine o caminho mais curto entre e Mangualde, utilizando um algoritmo adequado. [.] (c) Suponha que se pretende construir uma nova rede telefónica ao longo da rede viária. Que ligações devem ser feitas de forma a minimizar a etensão da rede telefónica? Utilize um algoritmo adequado.

3 Tópicos de Resolução do Eame - a Chamada de IO (//). Um Fundo de Investimentos tem que decidir sobre a melhor composição da sua carteira de aplicações financeiras para o próimo ano. O regulamento da sua constituição estipula que, pelo menos, % dos investimentos têm de ser feitos em Títulos do Tesouro e os investimentos em acções não podem ultrapassar % do total. gestão do Fundo vai ainda considerar investimentos em Obrigações de empresas privadas. Para cada tipo de aplicação, indicam-se as rentabilidades esperadas e o correspondente risco estimado: Rentabilidades esperada (em %) Investimentos por unidade percentual da composição Risco estimado Títulos do Tesouro. cções Obrigações 6. Na perspectiva da segurança dos seus investidores, a gestão do Fundo decidiu que a média do risco ponderada pelas proporções de cada tipo de aplicação financeira não deve eceder 7.. Qual deverá ser a composição da carteira de investimentos do Fundo que poderá proporcionar a melhor rentabilidade? Modele o problema em Programação Linear. (a) - percentagem de investimento em Títulos do Tesouro no próimo ano - percentagem de investimento em cções no próimo ano - percentagem de investimento em Obrigações no próimo ano ma z = s.a : ,,. Um negociante de vinhos produz duas variedades de vinho branco: meio seco e seco. venda de litros de vinho meio seco rende euros enquanto que a venda de litros de vinho seco rende euros. Para produzirlitrosdevinhomeiosecosãonecessáriascaiasdeuvas,quilosdeaçúcaremedidasde etracto. Para produzir litros de vinho seco utilizam-se caias de uvas, quilos de açúcar e medida de etracto. O negociante dispõe de caias de uvas, 8 quilos de açúcar e 6 medidas de etracto. Para determinar o plano de produção que maimiza o lucro obtido com a venda dos vinhos, modelou o seguinte problema de PL: ma z = + s. a , (a) Passe o problema à forma standard e indique qual o algoritmo do simple adequado à sua resolução, justificando. ma z = + s. a + + = + + =8 + + =6,,,, OalgoritmodosimpleadequadoàsuaresoluçãoéoPrimaldadoquepossuímosumasbado problema primal associada à base canónica (I ). (b) Sabendo que a base óptima é constituída por {P,P,P }, apresente o quadro óptimo recorrendo ao cálculo matricial. Como B = P j = B j = [ ],entãob = [ : 8 : 6 :, logo ] 6 : = : :

4 Quadro óptimo: c j c B P j PB P P P P P P P 6/ / / P / / / P / z j 7 c j z j Logo, ( =, 6,,, ) e z =7. (c) Formule o problema dual e calcule a sua solução óptima através das propriedades da dualidade. Problema Dual: min w =u +8u +6u s. a u +u +u u +u + u u,u,u Passando as restrições funcionais a igualdades ficamos com: ma w =u +8u +6u s. a u +u +u u = u +u + u u = u,u,u,u,u plicando o teorema dos desvios complementares: u = u = u = u = 6 u = u = u = u = u = Resolvendo { o sistema: { { u +u +u u = u +u u +u + u u = = u +u = u = u = Logo, u =(,,,, ) e w =7. (d) Verifique o Teorema dos Desvios Complementares e interprete economicamente a solução óptima do par de problemas duais. Ṙ: u = = u = 6 = u = = u = = u = = { z =7 o lucro máimo obtido é de 7 euros w =7 a valorização mínima dos recursos é de 7 euros { = produzem-se litros de vinho meio seco u = como eiste produção de vinho meio seco não há custo de oportunidade { = 6 produzem-se 6 litros de vinho seco u = como eiste produção de vinho seco não há custo de oportunidade { = as caias de uvas são completamente utilizadas na produção u = como o recurso é escasso tem o preço sombra de euros/caia de uva

5 { = os 8 quilos de açúcar são completamente utilizados na produção u = como o recurso é escasso tem o preço sombra de euros/quilo de açúcar { = das 6 medidas de etracto há que não são utilizadas na produção u = como o recurso é abundante não é valorizado internamente (e) Considere uma alteração β no termo independente da restrição relativa aos quilos de açúcar. Qual a quantidade que, no máimo, o negociante pode reduzir no açúcar de forma a manter a anterior base óptima? [ ] temos uma alteração nos termos independentes b = β [ ] β ctualizando este acréscimo para o quadro final: B b = β = β. β Paraaactualbasesemanteróptima: ] ] ] 6 β [ [ [ P P + B b + β β 6 β { β + β β β β Conclui-se que a maior diminuição no o termo independente é de β =, istoé,onegociantepode reduzir no máimo quilo de açúcar. (f) Suponha que a procura de vinho seco aumenta e o negociante aproveita para aumentar o preço para 6 euros/litro. Verifique o impacto na solução óptima do par de problemas duais. c j c P j B PB P P P P P P P 6/ / / P / / / P / z j 6 7 c j z j 7 =(/, 6/,,, ) e z =6 e u =(7,,,, ) e w =6.. Considere o problema de Programação Linear Inteira: min z = s.a: + + 6, einteiros Resolva-o através do algoritmo Branch and Bound. logo =(, ) T e z = 7. = = z = 6 = = z = = = 9 z = 8 = = z = 7 Imp.

6 . Considere a seguinte tabela de distâncias (em quilómetros) da rede viária entre 8 localidades portuguesas: Castro de ire Moimenta Castro de ire Viseu 8 Moimenta guiar 9 Fornos Mangualde 8 guiar Fornos guiar R. Moinhos Viseu R. Moinhos R. Moinhos Mangualde (a) Represente a situação numa rede e indique, justificando, se esta é conea e completa. Utilizando a legenda: L=, C=Castro de ire, Mo=Moimenta, F=Fornos, =guiar, V=Viseu, R=R. Moinhos e Ma=Mangualde, temos: Mo 9 F L C Esta rede é conea e não completa. (b) Determine o caminho mais curto entre e Mangualde, utilizando um algoritmo adequado. 8 V R 8 Ma l (L) l (Mo) l (F ) l (C ) l () l (V ) l (R) l (Ma) p=i Γ p ct. l (i) L {C, Mo} l (C )=min {, +}= l (Mo)=min {, +}= C {V } l (V )=min {, + 8}=7 7 Mo {} l ()=min {, + 9}= 7 {R, F} l (R)=min {, + }=7 l (F )=min {, + }= V {R} l (R)=min {7, 7 + }=7 8 7 R {Ma} l (Ma)=min {, 7 + }= 8 F {Ma} l (Ma)=min {, 8 + 8}= Ma Fim O caminho mais curto entre o e Mangualde corresponde a uma distância de quilómetros, sendo o correspondente percurso: Moimenta guiar R. Moinhos Mangualde (c) Suponha que se pretende construir uma nova rede telefónica ao longo da rede viária. Que ligações devem ser feitas de forma a minimizar a etensão da rede telefónica? Utilize um algoritmo adequado. m =9 (arestas) e n =8(vértices) T =8 =7 e = (Mo,) (9), e = (, R) (), e = (V, R) (), e = (F, Ma) (8), e = (, F ) (), e 6 =(R, Ma) (), e 7 =(L, C) (), e 8 =(L, Mo) (), e 9 =(C, V ) (8), 6

7 T = e k = e k T c k T act. k e Mo 9 e Mo R e Mo R V e Mo R V F Ma 8 Mo e Ma F R V 6 e 6 cria ciclo 7 C L Mo e 7 Ma F R V 6 8 C L Mo e 8 Ma F R V 7 Fim Sendo o comprimento da nova rede telefónica igual a 87 quilómetros. 87 7