IST-TAGUS PARQUE-2007/08-2 o SEMESTRE ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EXERCÍCIOS DE REVISÃO

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1 IST-TAGUS PARQUE-007/08- o SEMESTRE ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EXERCÍCIOS DE REVISÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM. Diga, justi cando, se as seguintes a rmações são verdadeiras ou falsas a) A EDO 0 = x x é uma equação de variáveis separáveis. b) A EDO t + + e x 0 cos = 0 não é exacta. c) A EDO 0 = x x admite um factor integrante da forma xn. Resolva os seguintes problemas de valor inicial, indicando um intervalo para cada solução a) e t 0 = t; (0) = b) t = 0 = arcsen t; (0) = c) 0 + t = t; (0) =. Resolva as equações que se seguem a) sen (t) + cos () 0 = 0 b) e t sen sen t + (e t cos + cos t) 0 = 0 c) t + 6t + (ln t ) 0 = 0. Considere a seguinte equação t + t + t (t + ) 0 = 0 a) Determine para que valores de a equação é exacta. b) Para esses valores de determine uma solução da equação que satisfaça a condição () = c) Como explica que este PVI possua mais de uma solução?. Mostre que nenhuma das equações seguintes é exacta. Resolva cada uma delas determinando previamnete factores integrantes que as transformam em equações exactas. a) e t + (e t tg + sec ) 0 = 0 b) t sen + cos + (t cos sen ) 0 = 0 c) + sen 0 = 0 t d) t + t ( + t) = 0 6. Considere a equação t t + t + 0 = 0 a) Veri que que a equação não é exacta nem possui nenhum factor integrante dependendo apenas de uma só das variáveis t ou b) Mediante a multiplicação por um factor integrante da forma = t + ; torne a equação em exacta. c) Resolva a equação. 7. Resolva a equação 0 t = t +

2 8. Resolva o seguinte problema de valor inicial, indicando um intervalo para a respectiva solução 9. Com n 6= 0; ; uma equação diferencial do tipo é chamada de equação de Bernoulli. 0 tg t = sec t; (0) = 0 + A (t) = B (t) n a) Veri que que através da mudança de variável u = n a equação se transforma de modo equivalente numa EDO linear. b) Com base na alínea anterior resolva a equação t 0 + = t 0. Relativamente a uma dada população composta por uma só espécie animal, designemos por P (t) o correspondente número de seres vivos em cada instante t A sua variação dependerá não só das suas taxas de natalidade e mortalidade, mas também da competição que possa existir entre os seus elementos. Daí que o belga P.F. Verhulst tenha proposto como modelo para uma população desse tipo, a EDO seguinte dp dt = ap bp (a; b > 0) Resolva a equação usando o facto de que se trata de uma equação de Bernoulli. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR. Resolva os seguintes problemas de valor inicial a) = 0; (=) = 0; 0 (=) = b) () = 0; (0) = ; 0 (0) = 0; 00 (0) = ; 000 (0) = 0. Determinar a solução geral da equação sabendo que e x cos x é solução.. Qual a solução geral da equação sabendo que ' (t) = t é solução = 0 t 00 t 0 + = 0;. Determine a solução geral das seguintes equações não homogéneas a) () 000 = t + e t b) = sen (e t ) c) = e t arctg t d) = (e t + e t ). Resolva o seguinte PVI não homogéneo 00 + = t + e t ; (0) = 0; 0 (0) = 6. Um salto na modalidade de "bungee jumping" é modelado pela EDO m 00 = mg + b () 0 ; onde (t) descreve a distância dos pés do saltador com relação à posição de equilíbrio do sistema e mg indica o peso do saltador. O termo 0 corresponde à resistência do ar enquanto 0; se 0; b () = k; se > 0;

3 descreve um efeito da corda sobre o saltador, o qual segundo a lei de Hooke, é proporcional à distância abaixo do ponto de equilíbrio. a) Determine a solução geral da equação (t) b) Supondo que a corda tem um comprimento de 0 metros e que o salto é feito sem impulso, as condições iniciais associadas ao problema são (0) = 0; 0 (0) = 0 Nestas condições e para os valores = ; m = e g = 0; seja t 0 o tempo de queda livre, isto é o tempo que o saltador levou a percorrer o comprimento da corda. Mostre que < t 0 < 7. Considere a equação diferencial t 00 ( + t) 0 + = t e t (t > 0) a) Veri que que as funções (t) = t + e (t) = e t são soluções linearmente independentes da equação homogénea correspondente. b) Obtenha a solução geral da equação. 8. Uma EDO de Cauch-Euler de ordem n é uma equação da forma a n x n (n) + a n x n (n ) + + a x 0 + a 0 = g (x) A seguir são indicados dois casos deste tipo de equações (i) x 00 x 0 + = + x; (ii) x x x 0 6 = + ln x Indique a solução geral destas equações transformando-as primeiramente, através da mudança de variável x = e t ; em equações de coe cientes constantes. 9. Diga, justi cando, se as seguintes a rmações são verdadeiras ou falsas a) A EDO t 000 = 0 tem como solução geral (t) = c t + c t + c b) A EDO 00 (a + b) 0 + ab = 0 tem como solução geral (t) = c e at + c e bt se e só se a 6= b TRANSFORMADA DE LAPLACE 0. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções 8 < 0; se 0 t < ; a) f(t) = t ; se t < ; b) g(t) = 0; se 0; se 0 t < ; (t ) ; se t. Designando por H a função de Heaviside determine a transformada de Laplace de f(t) = cos t H(t ) + cos (t) H t. Sabendo que calcule para x ]0; +[ a) L t = (x) b) L t = (x) Z + 0 exp( x )dx = p. Indique se são verdadeiras ou falsas as seguintes a rmações a) A transformada de Laplace inversa de z (z+) é te t b) A transformada de Laplace de t cos t é z (z+). Determine uma função f(t) de nida em [0; +[ tal que L [f] (z) = F (z); nos seguintes casos

4 a) F (z) = z z + z + b) F (z) = c) F (z) = (z ) exp ( z) z z + exp ( z) (z ). Resolva os seguintes problemas de valores iniciais a) 00 + = g(t); (0) = 0; 0 (0) = ; onde t; se 0 t < ; g(t) = 0; se t b) 00 + = sen t H (t ) sen (t ) ; (0) = 0; 0 (0) = 0 c) = t H t t (0) = 0; 0 (0) = 0 6. A função F (z) é a transformada de Laplace de uma dada função f(t) de ordem exponencial. a) Mostre que F (z)! 0; quando Re z! + b) Utilizando a alínea anterior mostre que zf (z)! f (0) ; quando Re z! +; se f for diferenciável e f 0 também for de ordem exponencial. c) Pode F (z) ser i) um polinómio de grau n? ii) cos z? iii) cosh z? 7. Os polinómios de Laguerre são de nidos pela seguinte relação a) Determine L 0 (t) ; L (t) e L (t) b) Prove que d n L n (t) = et n! dt n tn e t ; n = 0; ; ; L [L n (t)] (z) = (z )n z n+ c) Usando a alínea anterior prove que L n (t) são soluções da seguinte EDO t 00 + ( t) 0 + n = 0 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 8. Sejam A e B duas matrizes n n tais que AB = BA Mostre que i) e A e B = e B e A ; ii) e A B = Be A 9. Para a matriz a M = b b a (a; b R) ; mostre que e M = e a cos b sen b sen b cos b 0. Calcule e ta e resolva o problema de valor inicial, X 0 = AX; X(0) = T

5 a) Para a matriz A = 0 0 através da forma canónica de Jordan de A b) Relativamente à matriz A = usando a transformada de Laplace.. Considere o sistema ( x 0 = x cos t 0 = x + sin t a) Com X (t) = x (t) (t) escreva o sistema na forma X0 (t) = AX (t) + B (t) b) Determine e ta c) Sob as condições iniciais x(0) = (0) = ; determine (t) RESPOSTAS. a) F. b) V. c) V (n = ). a) (t) = p e t (t ) + ; t ] ; +[ = b) (t) = (arcsen t) + ; t [ ; ] c) (t) = + exp t ; t ] ; +[. a) = arcsen C + cos (t) b) e t sen + cos t = C c) = C t = (ln t ). a) = b) (t) = t t p t ; t [; +[ c) As condições do teorema de Picard não são totalmente veri cadas.. a) e t sec + tg + ln cos = C b) (t ) e t sen + e t cos = C c) t + cos sen = C d) t + + ln t = C 6. b) = t + c) t + t ( + ) + t ( + ) + = C 7. (t) = t t = + C ( + t) = ( t) 8. (t) = (t + ) = cos t; t ; 9. b) = = t k t 0. P = a= (b + ce at )

6 . a) e t = sen (t) b) cost. c e x + c e x cos x + c e x sen x. c t + c t ln t. a) c + c t + c t + c e t 6 t t + te t b) c e t + c e t + sen (e t ) e t cos (e t ) c) c e t + c te t + t e t et arctg t + t arctg t t ln + t d) c e t + c e t + c e t tet 0 e t 9. 0 cos (t) + sen (t) 8 + t + et 6. a) (t) = a + a exp ( t=m) + mgt= se (t) 0; (t) = b exp ( t) + b exp ( t) mg=k se (t) > 0 p p = + +km m ; = +km m 7. b) c ( + t) + c e t + et (t ) 8. (i) c x cos ( ln x) + c x sen ( ln x) x (ii ) c x + c x + c x 7 9. a) V. b) V. ln x 0. a) L [f] (z) = z exp ( z) ; se z 6= 0; L [f] (0) = = b) L [g] (z) = z exp ( z) z. L [f] (z) = z + exp ( z) z + exp ( z=) (Re z > 0). a) L t = (x) = p =x b) L t = (x) = p x =. a) F. b) F.. a) f(t) = ( sen t cos t) exp ( t) b) f(t) = H (t ) (exp ( (t ) + exp (t ))) c) f(t) = H (t ) (t ) exp (t 8). a) (t) = t + H (t ) (cos (t ) sen (t ) + t) b) (t) = sen t 6 c) (t) = sen (t) ; se 0 t < ; (t) = 0; se t t exp( t+=) exp( t+)+t exp( t) exp( t)+t + H 6. a) i) N~ao ii) N~ao iii) N~ao 7. a) L 0 (t) = ; L (t) = t; L (t) = t + t = 0. a) e ta = et te t te t te t 0 e t 0 ; X (t) = tet + e t e t te t te t te t + e t te t + e t. a) b) e ta = x 0 0 b) A = et e t e t e t e t 0 e t e t e t 0 0 e t = x + c) (t) = cos t sen t + t cos t ; X (t) = cos t sen t et e t e t cos t + sen t sen t ; e ta = sen t cos t sen t 6