Problema de designação

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1 Departamento de Engenharia de Produção UFPR 48 Problema de designação Imagine, que em uma gráfica eiste uma única máquina e um único operador apto a operá-la. Como você empregaria o trabalhador? Sua resposta imediata será: o operador disponível irá operar a máquina. Novamente, suponha que há duas máquinas na gráfica e que dois operadores estejam habilitados a taas de eficiência diferentes para operá-las. Qual operador deve operar qual máquina para maimizar o lucro? Da mesma forma, se houver n máquinas disponíveis e n pessoas estiverem envolvidas com diferentes taas de produtividade para operá-las. Qual operador deve ser atribuído a qual máquina para garantir a máima eficiência? Ao responder as perguntas acima, temos de pensar no interesse da gráfica, por isso temos de encontrar uma designação em que a gráfica obtém o máimo lucro com o investimento mínimo. Tais problemas são conhecidos como "problemas de designação" (=assignment=afectação=asignación). Eemplo Há pessoas, {,, } e tarefas {A, B, C}. Cada pessoa deve eecutar uma única tarefa e todas as tarefas devem ser eecutadas. Cada pessoa i tem um interesse em efetuar cada tarefa j, dado por c. Queremos fazer a alocação de modo que a soma dos interesses seja otimizada. Seja a variável binária da designação da pessoa i para a tarefa j, i,,, j A, B, C O problema de programação linear inteira-pli para resolver é dado por.

2 Departamento de Engenharia de Produção UFPR 49 min Z sa 0,, i,,, j A, B C, A A A B B B C C C A A A B B B C C C Consideremos somente a função objetivo Z A B C A B C a) Procedendo a seguinte alteração Z' A B C A B C Então Z' Z' Z A Da primeira restrição do PPLI tem-se que, e portanto, B C A B C Z ' Z Como Z e Z são lineares e diferem em uma constante (α), então a solução de ambos os PLIs é igual. b) Procedendo outra alteração Z'' ' A B C A B C Então Z'' Z'' Z AB A A Da quarta restrição do pli tem-se que, e portanto B C A A A B C A A Z '' Z Como Z e Z são lineares e diferem em uma constante (β), então a solução de ambos os PLIs é igual.

3 Departamento de Engenharia de Produção UFPR 50 Portanto, procedendo alterações bem conduzidas (não escolhidas a esmo) em coeficientes da função objetivo levam a PLI s, cujas resoluções são facilitadas, com soluções ótimas iguais às do PLI original. Formalização Seja o problema de transporte com as seguintes restrições adicionais i) número de origens igual ao número de destinos (m = n); ii) capacidade de cada origem igual a (ai = i); iii) demanda de cada destino igual a (bj =, j). O modelo matemático de designação é min Z i j n i n j n n c 0,, j,,..., n i,,..., n i, j,,..., n Como cada origem abastecerá um único destino então o conjunto de restrições 0 é equivalente a, 0, se a origem i caso contrário abastecer o destino j O problema de designação/atribuição é uma variação do problema de transporte original, uma variação na qual as variáveis de decisão só podem assumir valores binários, isto é, zero (0) ou um (), na solução ótima, que pressupõe que a oferta e a demanda estão perfeitamente equilibradas, de fato, ambas são iguais a um (). Inclusão de fictício: Se a matriz não for quadrada, deve-se incluir ou destinos ou origens fictícias com custo zero. Mas sempre posso incluir o fictício com custo zero? Depende do objetivo (e do conteto do modelo). Por eemplo, suponha que você tenha cinco trabalhos, cada um eigindo um único trabalhador dedicado em tempo integral e três funcionários disponíveis, e suponha que seu objetivo seja minimizar os custos. Você pode adicionar dois funcionários fictícios, mas é preciso se perguntar o que eles representam. Se você atribuir um funcionário fictício ao trabalho nº, isso significa que: i) ou o trabalho nº é deiado por fazer (não será feito); ii) ou terceirizar o trabalho; iii) ou mais um trabalhador temporário; iv) ou fazer hora etra para eecutá-lo. Cada um desses presumivelmente tem um custo diferente (possivelmente zero se você puder deiar o trabalho sem fazer e não sofrer consequências).

4 Oferta Departamento de Engenharia de Produção UFPR 5 Resolver o problema de designação consiste em determinar como as designações devem ser feitas de modo a minimizar o custo total. O algoritmo de designação será baseado apenas na matriz de custos (pois as demandas e ofertas são unitárias) Demanda... n c c.. cn c c... cn n cn cn... cnn Algoritmo Húngaro Suponha que se deseja designar n itens a n locais. O algoritmo para determinar a designação ótima que minimiza o custo total é dado pelo método Húngaro. O método húngaro é um método de otimização de problemas de designação, conhecido como tal graças ao fato de que as primeiras contribuições para o método clássico foram por Dénes König e Jenő Egerváry, dois matemáticos húngaros. O algoritmo, conforme detalhado abaio, foi projetado para resolver apenas os problemas de minimização; será então uma questão de adicionar um passo adicional para abordar os eercícios de maimização. Passo 0: Em primeiro lugar, devemos lembrar que o método húngaro funciona em uma matriz de custos n n. Se necessário acrescentar itens ou locais fictícios. Passo : O menor elemento deve ser encontrado em cada linha da matriz. Uma nova matriz n n deve ser construída, na qual os valores resultam da diferença entre cada custo e o valor mínimo da linha à qual cada custo corresponde. Dessa forma, cada linha terá pelo menos um elemento nulo e todos os outros são não negativos. Passo : Esta etapa consiste em realizar o mesmo procedimento do passo anterior agora relacionado às colunas, ou seja, o valor mínimo de cada coluna é encontrado, com a diferença de que é da matriz resultante do segundo passo, então será construída uma nova matriz na qual os valores resultam da diferença entre cada custo e o valor mínimo da coluna a que cada custo corresponde. Dessa forma, cada coluna terá pelo menos um elemento nulo e todas os outros são não negativos. Esta nova matriz é denominada de "Matriz de Custos Reduzidos". Passo : Então, deve-se traçar retas horizontais ou verticais ou ambas (somente desses tipos) para cobrir todos os zeros da matriz de custos reduzidos com o menor número possível de retas. Se o número de retas for igual ao número de linhas ou colunas a solução ótima foi obtida (a melhor designação de acordo com o conteto de otimização), se o número de retas for menor que o número de linhas ou colunas, prossiga com o Passo 4.

5 Departamento de Engenharia de Produção UFPR 5 Passo 4: Este passo consiste em encontrar o menor elemento daqueles valores que não são cobertos pelas retas do Passo. Este menor elemento será subtraído dos elementos restantes que não são cobertos pelas retas. Este mesmo valor será adicionado aos valores que estão nas interseções das retas horizontais e verticais. Uma vez que este passo esteja completo, devese voltar ao Passo. O Passo pode ser decomposto da seguinte forma: Etapa : Subtrair o elemento mínimo de cada linha de todos os elementos daquela linha. Fazer o mesmo para as colunas. Etapa Eaminar as linhas e colunas sucessivamente. Para cada linha (coluna) com eatamente um zero restante, reserve () àquela posição para uma designação, e elimine () os outros zeros da coluna (linha) correspondente. Repetir, se necessário, para as linhas e colunas sem posições reservadas até que todos os zeros tenham sido reservados ou eliminados. Se as posições reservadas completam as designações a solução é ótima. Caso contrário, seguir para o passo iii. Etapa Traçar um número mínimo de retas para cobrir todos os zeros, da seguinte maneira: a) Marcar todas as linhas que não tenham designações; b) Marcar todas as colunas que tenham zeros (não designados_ em linhas marcadas; c) Marcar todas as linhas que tenham designações em colunas marcadas; d) Repetir os passos b) e c) até não ser mais possível marcar linhas ou colunas. e) Traçar uma reta sobre cada linha não marcada e sobre cada coluna marcada. Etapa 4 Eaminar todos os elementos não cobertos por uma reta. Escolher o elemento mínimo desses elementos e subtraí-lo de todos os elementos não cobertos por uma reta. Somar esse elemento mínimo a cada elemento situado na interseção de duas retas. Retornar ao passo ii. Maimização: A conversão é realizada subtraindo todos os elementos da matriz fornecida do elemento mais alto. Iremos, então, minimizar a perda de oportunidade e produz a mesma solução de designação que o problema original de maimização.

6 Departamento de Engenharia de Produção UFPR 5 Eemplo 4 5 min A B C D E A B C D E min 4 5 A B C 0 0 D E A solução ótima corresponde à seguinte designação: Item A B C D E Local 4 5 O custo final será ( ) = Eemplo 4 5 min A B C D E A B C D E min 4

7 Departamento de Engenharia de Produção UFPR A B C D E 0 O mínimo é, na célula (A,). 4 5 A B C D E 0 4 A solução ótima corresponde à seguinte designação: Item A B C D E Local 4 5 O custo final será ( ) = 50. Eemplo Uma empresa vende produtos em quatro regiões e possui quatro vendedores para serem destacados, um para cada região. As regiões não são igualmente ricas e apresentam o seguinte potencial de vendas: Região I: R$ ,00 Região II: R$ ,00 Região III: R$ ,00 Região IV: R$ 0.000,00 Os vendedores, por outro lado, não são igualmente hábeis e as suas eficiências, que refletem a capacidade de atingir o mercado potencial da região, são dadas pelo quadro que se segue. A 0,7 0,7 0,7,0 B 0,8 0,8 0,8,0 C 0,5 0,5 0,5,0 D,0 0,4,0 0,4 [Amarelo: linhas não marcadas e colunas marcadas Vermelho: adicionar o mínimo Verde: fazer nada]

8 Departamento de Engenharia de Produção UFPR 55 Pede-se: determinar, empregando o método da designação, como destacar os vendedores para que o volume de vendas seja o maior possível. O potencial de venda de cada vendedor é A B C D Resolução: Deve-se gerar a tabela de ineficiências (lembre-se de custos/prejuízos) A B C D min 5 0 A 0 4 B C D A 0 4 B C D O mínimo é, na célula (A,II). A B C D

9 Departamento de Engenharia de Produção UFPR 56 O mínimo é, na célula (B,II). A 0 0 B C D O mínimo é, na célula (A,III). A B 0 0 C D As designação são feitas segundo os potenciais de venda das regiões. Solução ótima: Os vendedores deverão ser designados da seguinte maneira: Vendedor A B C D Região III II IV I Fazendo esta designação, o volume de vendas (em R$) será Volume = (0, , , , ) = R$ ,00 Casos Especiais a) Empate na entrada: escolha aleatória b) Algoritmo de Munkres: O algoritmo Munkres não é limitado a matrizes quadradas de custo c) Algoritmo de Hopcrofft-Karp d) Designação Generalizada (ARENALES, pg. 79)