Um grande número de problemas de otimização linear inteiro envolve a ocorrência ou não de um evento, e a decisão entre duas alternativas.

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1 Modelagem com variáveis binárias

2 Um grande número de problemas de otimização linear inteiro envolve a ocorrência ou não de um evento, e a decisão entre duas alternativas. seoeventoocorre 0 se o evento nãoocorre Decisão sobre uma atitude (fazer ou não fazer, comprar ou não comprar...).

3 Custo fio (um eemplo) A produção de um item implica em um custo fio, por eemplo, de preparação da máquina. Nos modelos de produção dados anteriormente tínhamos: jquantidade produzida de um item.

4 Para o item j, a função custo, designada por c j ( j ), traduz os custos incorridos quando se produzem j itens do tipo j. (não linear devido a descontinuidade no ponto 0). Como Modelar de forma linear?

5 Seja uma variável binária y j, tal que y j vale se j >0 e y j vale 0 caso contrário y j se j > 0 0 cc K sy j + c j Como associar e y? Considerando M um limite superior para a produção do item ( j ) podemos escrever: j My j

6 Podemos formular matematicamente um problema de planejamento da produção da seguinte maneira

7 Considere uma situação em que, se o produto é fabricado, então o produto também deve ser fabricado. Sejam quantidade produzida do item. quantidade produzida do item. As condições são epressas por: Podemos ter a condição de que da desigualdade ny y implica que > 0. Isto é obtido por meio, onde n é o limitante para a produção do item

8 Suponha que quatro itens podem ser produzidos em uma máquina denotada por k, e se o item é produzido na máquina k, então os outros itens:, 3 e 4 não podem ser processados em k e são processados em outras máquinas. então se k implica que k 3k 4k 0. Como as variáveis são binárias, pode-se epressar esta condição como: k > 0 então k + 3k + 4k 0, ou k 3k 4k 0.

9 Seja a desigualdade f (, L, n) 0 Definindo: se f 0 y 0 cc Podemos epressar esta implicação como: f (, L, ) M ( y) n Onde M é um número grande. Note que se y0, a restrição é desativada, isto é, f n (, L, ) pode assumir qualquer valor até seu limite superior M.

10 Considere as desigualdades: f (, L, ) 0 (4) e n g(, L, ) 0 (5) n Deseja-se que somente uma das desigualdades esteja ativada. Definindo se f 0 y 0 se g 0 Isto pode ser representando por: f (, L, n) M ( y) g(, L, ) My n

11 4 M 4 O acréscimo de um número M grande do lado direito das restrições faz com que a restrição seja transladada paralelamente no quadrante superior. As linhas pontilhadas indicam a translação mínima das duas retas de forma que somente uma das restrições seja ativada ( y ma{0,00} 0 y) 00 00

12 Suponha que eistam cinco tipos de investimento financeiro e seja j a variável binária de decisão tal que se o investimento j é selecionado j 0 cc Considere as seguintes restrições e situações: ) No máimo três investimentos são selecionados ) Eatamente um investimento é selecionado ) O investimento ou o investimento é selecionado + 4) Se o investimento é selecionado, então o investimento é selecionado 5) Se os investimentos, 3 ou 4 são selecionados, então o investimento é selecionado. Duas formas: 3 4 ou

13 Qual é o melhor? Relaação linear???

14 Relaação linear??? 4},, 0, 3 { 4 3 L + + i X i 4},, 0,,, { 4 3 L i X i 4 3 satisfazem não mas satisfazem 3, 4, pois X X X X relação em preferido X X

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16 Considere o problema de localização de armazéns cujo objetivo é escolher os armazéns que devem ser instalados para servir um conjunto de clientes. Neste modelo eistem uma capacidade associada a cada local possível e uma procura associada a cada cliente. A procura dos clientes associados a um certo armazém não pode eceder a sua capacidade. O objetivo do problema é ainda satisfazer os pedidos a um custo global mínimo, que envolve os custos mensais da renda dos armazéns e os custos de transporte da mercadoria entre os armazéns e os clientes. Considere 4 possíveis armazéns (A,B,C e D) com capacidades de 35, 8, e 8 respectivamente e com as rendas mensais indicadas na tabela. Eiste um conjunto de 5 clientes (a,b,c,d, e e) que representam as procuras de 4,, 0, e 8, respectivamente. Os custos de transporte unitários entre cada possível armazém e cada cliente são indicados na tabela.

17 Eemplo Formule um modelo de programação inteira que lhe permita determinar qual o conjunto ótimo de armazéns a selecionar. Considere as variáveis a quantidade a ser transportada do armazém i até o cliente j. As variáveis binárias assumem o valor se o armazém i é selecionado e 0, caso contrário. Para o problema é necessário respeitar as seguintes restrições: Dos locais C e D, eatamente deve ser selecionado A seleção do local A ou do local B implica na eclusão do local C. A seleção do local A ou do local B implica a seleção do local D