Métodos e Medidas II

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1 Métodos e Medidas II Disciplina: 1 Prof. Álvaro José Periotto [email protected] 3. Método Gráfico (conjunto de soluções/ponto ótimo) 1. Entendimento do Enunciado 2 Início Entendimento do Enunciado do P.P.L. Computacional Resolução e Análise Fim Estoque = 50 Kg ALFA Estoque = 30 Kg BETA Lucro unitário = R$5, g 300 g 300 g 180 g Luxo Lucro unitário = R$3,70 Standard

2 2. do PPL 3 Início Entendimento do Enunciado do P.P.L. Computacional Resolução e Análise Max LUCRO = 5,00. LX + 3,70. ST Sujeito a: {Alfa} 350. LX ST {Beta} 300. LX ST LX, ST 0 Fim 3. Resolução do PPL Método Gráfico 4 O Método Gráfico, aplicável somente quando o PPL tem apenas 2 variáveis, é trabalhado no plano cartesiano com um fator de escala. Procura-se enfatizar o 1º quadrante, em função das exigências de não-negatividade das variáveis.

3 3. Resolução do PPL Método Gráfico 5 Cada restrição matemática (desigualdade) define uma região (no plano cartesiano), cuja reta base é a correspondente igualdade linear. Ex: A restrição de uso do ingrediente ALFA define a região do semi-plano com reta base: 300 ST LX = Para representá-la graficamente precisamos obter 2 de seus pontos: fazendo ST=0, temos LX=50000/350 ou LX=142 para LX=0, temos ST=50000/300 ou ST= Resolução do PPL Método Gráfico 6 De maneira análoga, a restrição de uso do ingrediente BETA define a região do semi-plano com reta base: 180 ST LX = Com a estratégia de atribuir valor a uma variável e calcular a outra, obtemos 2 pontos para a representação gráfica: para ST=0, temos LX=30000/300 ou LX=100 para LX=0, temos ST=30000/180 ou ST=166 Observe que os pontos do plano cartesiano que satisfazem às restrições de não-negatividade e, simultaneamente, às 2 restrições que limitam o uso dos ingredientes ALFA e BETA, estão na região do 1º quadrante e abaixo da reta azul (BETA).

4 3. Resolução do PPL Método Gráfico 7 A Programação Linear visa uma solução extrema (de máximo lucro ou de mínimo custo), portanto as alternativas viáveis candidatas a solução ótima estão associadas aos pontos extremos da Região Viável. Pontos extremos (alternativas viáveis) candidatos à solução ótima. Observe que cada ponto extremo pode ser determinado em função de posicionar-se no cruzamento de 2 retas ou no cruzamento de 1 reta com 1 dos eixos. Assim, o cálculo exato de suas coordenadas resulta de um sistema de 2 equações (de retas) à 2 variáveis. Região Viável Para determinar qual ponto extremo é ótimo precisaremos com a ajuda da função objetivo 3. Resolução do PPL Método Gráfico 8 A função objetivo induz um vetor (gradiente) no plano cartesiano, que indica a direção de maxização. No caso em estudo, o objetivo é Maximizar LUCRO = 3,70 ST + 5,00 LX e, portanto, o vetor gradiente (3,70, 5,00) indica a direção de Maximização. Considerando a escala trabalhada, esse vetor será representado por uma seta que sai da origem na direção do ponto (37, 50).

5 3. Resolução do PPL Método Gráfico 9 Para (ST,LX)=(0,0) o LUCRO = 0,00. Deslocando na região viável na direção do vetor gradiente, percebe-se que o LUCRO Maximiza. Para (ST,LX)=(0,100) o LUCRO = 500,00 Como ainda é possível deslocar na região viável na direção do vetor gradiente pode-se obter LUCRO ainda maior. Observe que para (ST,LX)=(166,0) o LUCRO é 614,00 e qualquer deslocamento na direção do vetor gradiente nos tira da região viável! Conclui-se, então, que esse ponto extremo é a solução ótima do PPL. 4. Análise dos Resultados 10 Vimos que a solução ótima do PPL é (ST,LX)=(166,0); O estudo pretende estabelecer o planejamento ótimo da produção. Plano de Produção: Até o esgotamento do estoque de matéria prima ALFA ou BETA, produzir: LX = 166 unidades (embalagens) de produtos LUXO ST = 0 unidades (embalagens) de produtos STANDARD

6 4. Análise dos Resultados 11 Sobre o objetivo: Maximizar LUCRO TOTAL = 5,00. LX + 3,70. ST LUCRO TOTAL = 5,00 (166) + 3,70 ( 0 ) = 614,00 Sobre as restrições ao uso de matéria prima: parcela do lucro correspondente a fabricação de produtos LUXO O ponto ótimo (ST,LX)=(166,0) está sobre a reta base relativa à matéria prima ALFA. Logo satisfaz a igualdade 300 ST LX = Portanto, esse plano de produção esgota a matéria prima ALFA O ponto ótimo (ST,LX)=(166,0) também está sobre a reta base relativa à matéria prima BETA. Logo satisfaz a igualdade 180 ST LX = Portanto, esse plano de produção também esgota a matéria prima BETA