Unidade 6 Aplicações do estudo das derivadas
|
|
|
- Moisés Paiva Amarante
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Unidade 6 Aplicações do estudo das derivadas Máximos e mínimos de uma função Definição 6.. Dada a função f : I, um ponto x I é chamado de (i) ponto de máximo relativo (ou local) da função quando f ( x) f ( x) para todo x I ; (ii) ponto de mínimo relativo (ou local) da função quando f ( x ) f ( x) para todo x I. O valor f ( x ) é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local) de f e x, f ( x ) são as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo relativo (ou local) de ( ) f. Os máximos e mínimos de uma função são também chamados de extremos relativos. Definição 6.. Dada a função f ( x ), um ponto x onde f é derivável em x e f '( x ) = ou f não é derivável em x é chamado de ponto crítico da função f. Exemplo 6.. Seja a função f. =, x. Determinar os pontos críticos de f ( x) x x Resolução: Sabemos que x. f ( x) x x = é uma função polinomial derivável em todo Calculando '( ) f x temos f '( x) = x 6x= x( x ) Agora f '( x ) = implica em da função f ( x) x x =. x 6x Exemplo 6.. Determinar o ponto crítico da função Resolução: Calculando f '( x ), temos =, ou seja, x= e x= são os pontos críticos f ( x) = ( x ), x. ou, f '( x) = ( x ) = ( x ) = ( x ),
2 f '( x) = ( x ). A função dada não derivável em x=, isto é, não existe f '(). Nesse caso, x= é o único ponto crítico de f. Exemplo 6.. Calcular os pontos críticos da função [, ]. f ( x) = x + x x+ no intervalo Resolução: Inicialmente temos se f ( x) = x + x x+ então f '( x) = x + x. Fazendo f ( x ) =, vem x + x =. Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontramos as raízes x= e Portanto, x= e x= são os pontos críticos de f ( x) = x + x x+ em [, ]. x=. Definição 6.. Seja f uma função derivável em x. Se f tem um máximo ou mínimo relativo (ou local) em x, então f ( x ) =. Por exemplo, a função f ( x) = x, para x (, ), tem derivada f '( x) = x. Em x=, a função tem um mínimo relativo e f '() =. Vimos no Capítulo, seção.6 que dada uma função f : I, f é crescente no intervalo I quando dados x, x I, quaisquer, com x < x, tem-se f ( x ) < f ( x ) e f é decrescente no intervalo I quando dados x, x I, quaisquer, com x < x, tem-se f ( x ) > f ( x). O teorema a seguir estabelece um critério para determinar onde uma função f é crescente ou decrescente. Teorema 6.. Seja f ( x ) uma função derivável no intervalo ( a, b ), então (a) Se f '( x ) = em ( a, b ), então f (x) é constante em ( a, b ) ; (b) Se f '( x ) > em ( a, b ), então f (x) é crescente em ( a, b ) ; (c) Se f '( x ) < em ( a, b ), então f (x) é decrescente em ( a, b ). Exemplo 6.4. Seja decrescente. f ( x) = x. Determinar os intervalos onde f é crescente e Resolução: Temos f ( x) = x e '( ) f x = x.
3 Agora, f '( x) = x se e somente se x então f ( x ), logo, f é decrescente em (,] e f '( x) = x se e somente se x então f ( x), logo, f é crescente em (,]. Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim: x f ( x ) Conclusão x< f ( x ) decrescente em (, ] x> + f ( x ) crescente em [, ) Veja a figura abaixo: Figura 6. Exemplo 6.. Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente onde f ( x) = x. Resolução: De f ( x) = x temos f ( x) = x. Agora, todo x e f é crescente em. x então f ( x), para Exemplo 6.6. Seja f ( x) = x 6x + 9x+ definida para todo x real. Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente. Resolução: Temos f ( x) = x 6x + 9x+ então ( ) = + 9. Agora, f x x x fazendo f ( x) =, vem x x+ 9=. Resolvendo esta equação pela regra de Bhaskara, temos as raízes x= e x=. Logo, f ( x) = ( x )( x ). Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim, x f ( x) Conclusão ponto crítico de f x< + f é crescente < x< f é decrescente x= ponto crítico de f x> + f é crescente
4 Portanto, f ( x ) é crescente em (,] e [, ) e decrescente em [,]. Também x= e x= são extremos da função (pontos críticos). Teste da segunda derivada para extremos relativos Este teste é empregado para pesquisar o(s) ponto(s) de máximo(s) e mínimo(s) relativo de uma dada função e para isto temos a seguinte definição. Definição 6.4. Seja x um ponto crítico de uma função na qual f ( x) = e f existe para todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha o ponto x. Então f ( x ) existe e (i) se f ''( x ) < então f tem um valor máximo relativo em x ; (ii) se f ''( x ) > então f tem um valor mínimo relativo em x. Exemplo 6.7. Pesquisar máximos e mínimos relativos da função pelo critério ou teste da segunda derivada. 4 f ( x) = x + x 4x 4 Resolução: Temos 4 f ( x) x x 4x 4 = + então = +. f ( x) 4x 4x 8x Agora, f ( x) = vem vem 4x 4x 8x + =. Fatorando a expressão 4x + 4x 8x= 4 x( x x ) 4 x( x )( x ) + = + =. A partir desta fatoração fica claro que f '( x ) será igual a zero se, e somente, x=, x= e x=. Logo, x=, x= e x= são pontos críticos da função f. Vamos analisar agora, os pontos críticos obtidos separadamente. Calculando f ''( x ) temos f ( x) = x + 8x 8. Analisando para x=, vem f () = + 8 8= 8<, assim x= é um ponto de máximo relativo da função f e seu valor no ponto x= é 4 4 f () = + 4 = ou f () =. Analisando para x=, vem f () = + 8 8= >, assim x= é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é 4
5 f = + = + = ou 4 () f () =. Finalmente analisando para x=, vem f ( ) = ( ) + 8 ( ) 8= 4 6 8= 4>. Assim x= é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é f ( ) = ( ) + ( ) 4 ( ) = 6 + ( 8) 4 4=, ou seja, f ( ) =. Portanto, x= é um ponto de máximo relativo da função f, x= é um ponto de mínimo relativo da função f e x= é um ponto de mínimo relativo da função f. Veja a figura abaixo Figura 6. Exemplo 6.8. Encontrar os extremos relativos da função usando o critério da segunda derivada. f x x x x ( ) = Resolução: Temos, f ( x) = 6x. f ( x) = x 6x + 9x+ então ( ) = + 9 e f x x x Agora, para calcular os pontos críticos de f é só igualar f '( x ) a zero, ou seja, f ( x) =, isto é, x x+ 9= fatorando vem ( x )( x ) =. A partir desta fatoração fica claro que f '( x ) será zero se, e somente x= e x=. Logo, x= e x= são pontos críticos de f. Vamos determinar agora os extremos relativos de f.
6 Para x=, temos f () = 6 = 6<, logo x= é um ponto de máximo relativo da função f. Para x=, temos f () = 6 = 6>, logo x= é um ponto de mínimo relativo da função f. Portanto, x= é um ponto de máximo relativo da função f e x= é um ponto de mínimo relativo da função f. Veja a figura abaixo: Exemplos práticos Figura 6. Exemplo 6.9. A função custo mensal de fabricação de um produto é dada por x C( x) = x + x+ e a função de demanda mensal ( p ) do mesmo produto é dada por p( x) = x. Qual o preço x que deve ser cobrado para maximizar o lucro? Resolução: O lucro total é dado por Lucro( L) = Re ceita( R) Custo( C) e a receita será Re ceita= p x, assim R= p x= ( x) x= x x. Logo, x x L= R C= x x x + x+ = x x + x x, ou ainda, x L( x) = + x. Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x, temos L '( x) x x = + e L ''( x) = x+. Agora, para calcular os pontos críticos de L é só igualar L '( x ) a zero, ou seja, L '( x ) = e vem x + x=. Resolvendo esta equação pela fórmula de Bháskara, temos as raízes x= e x=. Logo, x= e x= são os pontos críticos de L. 6
7 Vamos determinar agora os extremos relativos de L. Para x=, temos L ''() = + = >, logo, é um ponto de mínimo relativo de L. Para x=, temos L ''() = + = <, logo, é um ponto de máximo relativo de L. Portanto, o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro é x=. Exemplo 6.. A empresa Sempre Alerta produz um determinado produto com um custo mensal dado pela função C( x) = x x + x+. Cada unidade deste produto é vendida por R$,. Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal. Resolução: Seja x a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal. O lucro mensal é dado assim Lucro( L) = Re ceita( R) Custo( C), ou ainda, L= R C= x x x + x+ = x x + x x = x + x + x L( x) = x + x + x. Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x, temos L '( x) = x + 4x+ e L ''( x) = x+ 4. Agora, para calcular os pontos críticos de L é só igualar L '( x ) a zero, ou seja, L '( x ) = e vem x + 4x+ =. Resolvendo esta equação pela fórmula de Bháskara, temos as raízes x= e x= 7. Logo, x= e x= 7 são os pontos críticos de L. Vamos determinar agora os extremos relativos de L. Para x=, temos L ''( ) = ( ) ( ) + 4= >, logo, é um ponto de mínimo relativo de L. 7
8 Para x= 7, temos L ''(7) = 7+ 4= <, logo, é um ponto de máximo relativo de L. Portanto, a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal é x= 7. Exercícios propostos ) Seja f ( x) = x + x x. a) Determine os pontos críticos de f. b) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente. ) Seja f ( x) = x + x 6x+ 8, determine: a) os pontos críticos, b) os intervalos onde f é crescente e decrescente, c) os valores máximos e mínimos de f. 4) O custo total de produção de x aparelhos de certa TV Plasma por dia é R$ x + x+ e o preço unitário que elas podem ser vendidas é 4 R$ x cada. Qual deve ser a produção diária para que o lucro seja máximo? ) A produção de bicicletas da empresa Roda Viva é de x por mês, ao custo x dado por C( x) = + x. Se a equação de demanda por p=, obtenha o número de unidades que devem ser produzidas e vendidas para maximizar o lucro mensal. 6) A equação de demanda de um produto é p= ln x. Determinar: a) a função receita R( x ) ; b) o valor de x que maximiza a receita. Respostas ) a) e. b) f é crescente no intervalo x< ; f é decrescente no intervalo < x< ; f é crescente no intervalo x>. 8
9 ) a) e. b) f é crescente no intervalo x< ; f é decrescente no intervalo < x< ; f é crescente no intervalo x>. c) em x=, f tem ponto de máximo e em x=, f tem ponto de mínimo. 4) aparelhos de TV Plasma por dia. ) bicicletas. 6) a) R( x) = x x ln x ; b) x = e. 9
Derivadas e suas Aplicações
Capítulo 4 Derivadas e suas Aplicações Ao final deste capítulo você deverá: Compreender taa média de variação; Enunciar a definição de derivada de uma função interpretar seu significado geométrico; Calcular
Mais Sobre Valores Extremos
Mais Sobre Valores Extremos Aula 15 5950253 Plano da Aula Valores Extremos de Funções Teorema de Rolle Funções Crescentes e Decrescentes Teste de Primeira Derivada Exercícios Referências James Stewart
Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções
Capítulo Funções Ao final deste capítulo você deverá: Recordar o conceito de função, domínio e imagem; Enunciar e praticar as operações com funções; Identificar as funções elementares, calcular função
Extremos e o Teste da Derivada Primeira
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Extremos e o Teste
EQUAÇÃO DO 2º GRAU. Prof. Patricia Caldana
EQUAÇÃO DO 2º GRAU Prof. Patricia Caldana Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas
Conjuntos Numéricos. I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... }
Conjuntos Numéricos I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } II) Números Inteiros Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z III) Números Racionais
Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x
EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a
Matemática E Extensivo V. 7
Matemática E Etensivo V. 7 Eercícios ) B ) A P() = ³ + a² + b é divisivel por. Pelo teorema do resto, = é raiz de P(). P() = ³ + a. ² + b a + b = Da mesma maneira, P() é divisível por. Pelo teorema do
AULA 16 Esboço de curvas (gráfico da função
Belém, 1º de junho de 015 Caro aluno, Seguindo os passos dados você ará o esboço detalhado do gráico de uma unção. Para achar o zero da unção, precisamos de teorias que você estudará na disciplina Cálculo
MAT140 - Cálculo I - Máximos e Mínimos Locais e Globais, Pontos Críticos e o Teste da Derivada Primeira
MAT140 - Cálculo I - Máximos e Mínimos Locais e Globais, Pontos Críticos e o Teste da Derivada Primeira 4 de novembro de 2015 Vimos que a derivada de uma função em um ponto é a inclinação da reta tangente
Matemática A Extensivo V. 4
Etensivo V. 4 Eercícios 0) C f(t) = at + b (t = tempo) (I) t = 0 f(t) = 9000 (II) t = 4 f(t) = 4000 Substituindo os valores na função f(t) = at + b, temos: (I) 9000 = a. 0 + b b = 9000 (II) 4000 = 4a +
BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº GABARITO COMENTADO ) A função será y,5x +, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2008-1 a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como se pretende ordenar 5 elementos amigos) em 5 posições lugares), existem 5 A 5 = P 5 = 5! casos possíveis. Como
Unidade 3. Funções de uma variável
Unidade 3 Funções de uma variável Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de unção. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda.
CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade do gráco de uma função;
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 18: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade do gráco de uma função; Denir ponto de
2 a Edição do Curso de Difusão Pré-Cálculo aos alunos de. Patricia Araripe e Pollyane Vieira. 15 de fevereiro de 2019
Função do 2 o grau: Equação e Inequação 2 a Edição do Curso de Difusão Pré-Cálculo aos alunos de graduação da ESALQ Patricia Araripe e Pollyane Vieira 15 de fevereiro de 2019 Definição (1) (Função) Dados
Matemática Básica Função polinomial do primeiro grau
Matemática Básica Função polinomial do primeiro grau 05 1. Função polinomial do primeiro grau (a) Função constante Toda função f :R R definida como f ()=c, com c R é denominada função constante. Por eemplo:
Aulas particulares. Conteúdo
Conteúdo Capítulo 3...2 Funções...2 Função de 1º grau...2 Exercícios...6 Gabarito... 13 Função quadrática ou função do 2º grau... 15 Exercícios... 22 Gabarito... 29 Capítulo 3 Funções Função de 1º grau
Centro de Estudos Gilberto Gualberto Ancorando a sua aprendizagem LISTA FUNÇÕES
Questão 01 - A quantidade mensalmente vendida x, em toneladas, de certo produto, relaciona-se com seu preço por tonelada p, em reais, através da equação p = 2 000 0,5x. O custo de produção mensal em reais
CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão;
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
EQUAÇÕES BIQUADRADAS Acredito que só pelo nome dar pra você ter uma idéia de como seja uma equação biquadrada, Se um time é campeão duas vezes, dizemos ele é bicampeão, se uma equação é do grau quando
Matemática A Intensivo V. 1
Matemática A Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Nesse caso temos {a} como subconjunto de {a, b}, logo a relação correta seria a} {a,
Lista 2 - Cálculo. 17 de maio de Se f e g são funções cujos grácos estão representados abaixo, sejam u(x) = f(x)g(x),
Lista 2 - Cálculo 17 de maio de 2019 1. Se f e g são funções cujos grácos estão representados abaixo, sejam u(x) = f(x)g(x), h(x) = f(g(x)) e k(x) = g(f(x)). Encontre as seguintes derivadas: (a) u (1)
CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 17: Crescimento e Decrescimento de funções. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Aula nº 1 do plano nº 12
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Aula nº do plano nº Resolver os eercícios 35, 355, 358, 360, 36, 364 das páginas 67 a 7 Conceito de derivada de uma função
Limites, derivadas e máximos e mínimos
Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,
CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Máximos e Mínimos - 2 a Parte
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 16: Máximos e Mínimos - 2 a Parte Objetivos da Aula Denir e discutir a concavidade de uma função em um intervalo do domínio; Denir e calcular
MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I. Prova 2 14 de Junho de 2012
MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Paolo Piccione Prova 2 14 de Junho de 2012 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas
MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I. Prova 2 14 de Junho de 2012
MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Paolo Piccione Prova 2 14 de Junho de 2012 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas
CÁLCULO I. Gabarito - Lista Semanal = 0, 5 π 70 dr. 0, 55 m/min. m3 /min. Então, para = 0, 2 m/min, teremos
CÁLCULO I Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz Gabarito - Lista Semanal 06 Questão. Uma tempestade no mar danicou uma plataforma do petróleo, produzindo uma vazamento de 60 m /min que resultou numa mancha
CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV
CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV ADM Objetiva Prova A 11/dezembro/011 matemática 01. Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto fabricado por
GAAL - Exame Especial - 12/julho/2013. Questão 1: Considere os pontos A = (1, 2, 3), B = (2, 3, 1), C = (3, 1, 2) e D = (2, 2, 1).
GAAL - Exame Especial - /julho/3 SOLUÇÕES Questão : Considere os pontos A = (,, 3), B = (, 3, ), C = (3,, ) e D = (,, ) (a) Chame de α o plano que passa pelos pontos A, B e C e de β o plano que passa pelos
Aplicações: Funções marginais
Eercícios propostos ) Calcular dy da função y= f ( ) = e no ponto = para =,. ) Obtenha a diferencial de y= f ( ) = no ponto = para =,. 3) Seja a função y= f ( ) = 5. Calcular y e dy para = e =,. Aplicações:
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 00 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Como só existem bolas azuis e roxas, e a probabilidade de extrair uma bola da caixa, e ela ser azul é igual a, então existem
Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Aplicações da Derivada
1) Velocidade e Aceleração 1.1 Velocidade Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Aplicações da Derivada Suponhamos que um corpo se move em
Unidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação
Unidade 5 Diferenciação Incremento e taa média de variação Consideremos uma função f dada por y f ( ) Quando varia de um valor inicial de para um valor final de, temos o incremento em O símbolo matemático
CÁLCULO I Aula 15: Concavidade. Teste da Segunda Derivada.
CÁLCULO I Aula 15: Concavidade.. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 Concavidade 2 Considere um intervalo I e uma função f : I R derivável cujo gráco é dado abaixo.
Concavidade e pontos de inflexão Aula 20
Concavidade e pontos de inflexão Aula 20 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 22 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Teoremas e Propriedades Operatórias
Capítulo 10 Teoremas e Propriedades Operatórias Como vimos no capítulo anterior, mesmo que nossa habilidade no cálculo de ites seja bastante boa, utilizar diretamente a definição para calcular derivadas
AULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA
AULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA As derivadas têm inúmeras aplicações. Com o estudo da primeira e da segunda derivada podemos esboçar o gráfico de uma
Aplicações de Derivadas
Aplicações de Derivadas f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no intervalo aberto a x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que f '(c) f (b) f (a) b a. pelo menos um ponto c (a,
Exercícios de Aprofundamento Matemática Equações e Inequações Modulares e Quadráticas 1
Eercícios de Aprofundamento Matemática Equações e Inequações 1. (Mackenzie 013) A função f() a) S / 3 ou 1 3 b) S / 3 ou 1 3 c) S / 3 ou 1 3 d) S / 1 ou 1 3 e) S / 1 ou 1 3 9 tem como domínio o conjunto
Curso de Biomedicina
Curso de Biomedicina Centro de Ciências da Saúde Universidade Católica de Petrópolis Matemática - Biomedicina Fevereiro de 2018 Luís Rodrigo de O. Gonçalves luis.goncalves@ucp.br Petrópolis, 14 de Março
Matemática Aplicada em C. Contábeis/Mário FUNÇÃO QUADRÁTICA
FUNÇÃO QUADRÁTICA Definição A função f: R R dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a 0, denomina-se função quadrática. Exemplos: f(x) = x² - 4x 3 (a = 1, b = -4, c = -3) f(x) = x² - 9 (a = 1,
Questões para Prova Integrada Institucional Curso: Administração de Empresas Semestre: 2osem/3osem Disciplina: Matemática Aplicada à Administração
Questões para Prova Integrada Institucional Curso: Administração de Empresas Semestre: 2osem/3osem Disciplina: Matemática Aplicada à Administração FÓRMULAS: q = a.p + b (oferta e demanda) R T = p v.q (p
Sabendo que f(x) é um polinômio de grau 2, utilize a formula do trapézio e calcule exatamente
MÉTODOS NUMÉRICOS E COMPUTACIONAIS II EXERCICIOS EXTRAIDOS DE PROVAS ANTERIORES EXERCICIOS RESOLVIDOS - INTEGRACAO-NUMERICA - EDO. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f x i..5.7..5 f(x
ANEXOS Anexo A: Esboço de Curvas Anexo B: Exemplos Extras Anexo C: Aplicação do Software SLD
ANEXOS Anexo A: Esboço de Curvas Anexo B: Exemplos Extras Anexo C: Aplicação do Software SLD ANEXO A Critérios para determinar o comportamento de uma função através do estudo da derivada. Vamos relembrar
Extremos e o Teste da Derivada Primeira. Extremos e o Teste da Derivada Primeira
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1. Etremos relativos
CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e decrescentes; Determinar os intervalos
Matemática A Intensivo V. 1
Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Neste caso temos {a} como subconjunto de {a, b} logo a relação correta seria a} {a, b} c) Falso
f x x x f x x x f x x x f x x x
Página 1 de 7 I. FUNÇÃO DO º GRAU (ou QUADRÁTICA) 1. Definição Chama-se função do º grau (ou função quadrática) a toda função do tipo onde a, e c são números reais e a 0. São exemplos: f ( x) ax x c =
Lista 1 - Cálculo Numérico - Zeros de funções
Lista 1 - Cálculo Numérico - Zeros de funções 1.) De acordo com o teorema de Bolzano, se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a, b], isto é se f(a)
TEORIA CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 812EE 1 INTRODUÇÃO
CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 1 TEORIA 1 INTRODUÇÃO Os assuntos tratados a seguir são de importância fundamental não somente na Matemática, mas também na Física, Química, Geografia, Estatística
Sessão 03: Introduzindo os conceitos de Máximos e Mínimos.
7.6.3. Sessão 03: Introduzindo os conceitos de Máximos e Mínimos. Data: 26/04/2010, horário: 07h30min.. Turma: T14 do curso de Engenharia Elétrica, Cálculo A MTM 1019. 7.6.3.1. Atividade 03: Situação Problema
Ou seja, D(f) = IR e Im(f) IR.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICAS INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA-CAMPUS ITAJAÍ Profª Roberta Nara Sodré de Souza Função Quadrática
Universidade Católica de Petrópolis. Matemática 1. Funções Funções Polinomiais v Baseado nas notas de aula de Matemática I
Universidade Católica de Petrópolis Matemática 1 Funções Funções Polinomiais v. 0.1 Baseado nas notas de aula de Matemática I da prof. Eliane dos Santos de Souza Coutinho Luís Rodrigo de O. Gonçalves luis.goncalves@ucp.br
c) R 2 e f é decrescente no intervalo 1,. , e f é crescente no intervalo 2, 2
UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº As questões de números a 9 referem-se à função f ( ). - O domínio da função f é o conjunto: a) R b) R c) R R, 0 e) R 0 - A derivada
MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
1 MAT001 Cálculo Dierencial e Integral I RESUMO DA AULA TEÓRICA 1 Livro do Stewart: Seções 4.1 a 4.. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS: revisão da aula teórica 6 Deinição: O máximo absoluto de uma unção em um
Objetivos. Expressar o vértice da parábola em termos do discriminante e dos
MÓDULO 1 - AULA 17 Aula 17 Parábola - aplicações Objetivos Expressar o vértice da parábola em termos do discriminante e dos coeficientes da equação quadrática Expressar as raízes das equações quadráticas
3. Limites e Continuidade
3. Limites e Continuidade 1 Conceitos No cálculo de limites, estamos interessados em saber como uma função se comporta quando a variável independente se aproxima de um determinado valor. Em outras palavras,
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 009 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como a Maria escolheu CD de um conjunto de 9, sem considerar a ordem relevante, existem 9 C pares diferentes que podem
O Teorema do Valor Médio
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 O Teorema do Valor Médio Começamos este texto enunciando um importante resultado sobre derivadas: Teorema do Valor Médio. Suponha que f é uma
ADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO 2018
ADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO 2018 ITEM 1 DA ADA No desenho, a seguir, estão representados os pontos M e N que correspondem à localização de dois animais. Atividades relacionadas
Funções Crescentes e Funções Decrescentes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Crescentes
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 011-1 a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. A igualdade da opção A é válida para acontecimentos contrários, a igualdade da opção B é válida para acontecimentos
Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Taxas de Variação:
Método de Newton para polinômios
Método de Newton para polinômios Alan Costa de Souza 26 de Agosto de 2017 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de 2017 1 / 31 Seja f(x) uma função polinomial de grau n. A princípio.
Receita, Custo e Lucro
eceita, Custo e ucro eceita total eceita total ou, simplesmente, eceita é a quantia monetária recebida por uma empresa com a venda de seus produtos. Supondo que a empresa vende apenas um produto e que
Elasticidade e Análise Marginal
GOVERNO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA MATEMÁTICA APLICADA A ADM 2015.2 Discentes CPF
MAE0219 Introdução à Probabilidade e Estatística I
Exercício 1 A altura média dos estudantes do sexo masculino em uma universidade é de 170 cm com desvio padrão de 12 cm. Uma amostra aleatória de de 64 estudantes dessa universidade é observada. Calcule
Concavidade. Universidade de Brasília Departamento de Matemática
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 Concavidade Conforme vimos anteriormente, o sinal da derivada de uma função em um intervalo nos dá informação sobre crescimento ou decrescimento
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Observe os quadrados a seguir, cuja a medida do lado varia conforme está indicado Um arremesso de uma bola em um jogo de basquete Calculando a área de cada quadrado obtemos.
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 007-1 a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Calculando o valor do ite, temos: x + 1 1 x + 4 x = x + 4 x ) = 1 4 + ) = 1 4 4 + = 1 0 =. Resolvendo a inequação temos
FUNÇÃO DO 2º GRAU. y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola
FUNÇÃO DO 2º GRAU A função do 2º grau está presente em inúmeras situações cotidianas, na Física ela possui um papel importante na análise dos movimentos uniformemente variados (MUV), pois em razão da aceleração,
MATEMÁTICA A - 11.o Ano. Propostas de resolução
MATEMÁTICA A -.o Ano Sucessões Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Designado por a o maior dos dois termos considerados da progressão geométrica, e por b 0 menor, como a razão
I Encontro do PROFMAT-UTFPR-CP
I Encontro do PROFMAT-UTFPR-CP FUNÇÕES EM ECONOMIA Rodrigo Henrique de Oliveira PROFMAT-UTFPR-CP rodrigo olivera@hotmail.com Profa. Dra. Débora Ap.F. Albanez DAMAT-UTFPR-CP deboraalbanez@utfpr.edu.br Profa.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios
EXERCICIOS RESOLVIDOS - INT-POLIN - MMQ - INT-NUMERICA - EDO
Cálculo Numérico EXERCICIOS EXTRAIDOS DE PROVAS ANTERIORES o sem/08 EXERCICIOS RESOLVIDOS - INT-POLIN - MMQ - INT-NUMERICA - EDO x. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f: i 0 f(x i ).50
Para identificar intervalos de crescimento e decrescimento de uma função analisamos o comportamento de sua primeira derivada.
O CONCEITO DE DERIVADA (continuação) Funções Crescentes e Decrescentes Existe uma relação direta entre a derivada de uma função e o crescimento desta função. Em geral, temos: Se, para todo x ]a, b[ tivermos
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior
Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 4: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L Hôspital. Definir e calcular a aproximação linear
TE231 Capitulo 2 Zeros de Funções; Prof. Mateus Duarte Teixeira
TE231 Capitulo 2 Zeros de Funções; Prof. Mateus Duarte Teixeira Sumário 1. Como obter raízes reais de uma equação qualquer 2. Métodos iterativos para obtenção de raízes 1. Isolamento das raízes 2. Refinamento
Capítulo 5 Integral. Definição Uma função será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma função num intervalo I se: ( )= ( ), para todo I.
Capítulo 5 Integral 1. Integral Indefinida Em estudos anteriores resolvemos o problema: Dada uma função, determinar a função derivada. Desejamos agora estudar o problema inverso: Dada uma função, determinar
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO Grupo I
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) ª FASE 25 DE JUNHO 203 Grupo I Questões 2 3 4 5 6 7 8 Versão B D C A D B C A Versão 2 C A B D D C B B Grupo II...
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC BC49 Cálculo Numérico - LISTA 5 - Integração numérica (Profs. André Camargo, Feodor Pisnitchenko, Marijana Brtka, Rodrigo Fresneda). Calcule as integrais a seguir pela regra
13 Fórmula de Taylor
13 Quando estudamos a diferencial vimos que poderíamos calcular o valor aproimado de uma função usando a sua reta tangente. Isto pode ser feito encontrandose a equação da reta tangente a uma função y =
Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Equações Polinomiais do primeiro grau Significado do termo Equação : As equações do primeiro grau são aquelas que podem
Universidade Católica de Petrópolis. Matemática 1. Funções Polinomiais Aula 5: Funções Quadráticas v Baseado nas notas de aula de Matemática I
Universidade Católica de Petrópolis Matemática 1 Funções Polinomiais Aula 5: Funções Quadráticas v. 0.2 Baseado nas notas de aula de Matemática I da prof. Eliane dos Santos de Souza Coutinho Luís Rodrigo
O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.
Universidade Federal Fluminense Departamento de Análise GAN0045 Matemática para Economia Professora Ana Maria Luz 00. Unidade Revisão de função de uma variável real O objeto fundamental deste curso são
Exercícios 5 e 6 do MUROLO, páginas 59 e 60. Matemática Aplicada (UNIP, 2011)
Exercícios 5 e 6 do MUROLO, páginas 59 e 60 Matemática Aplicada (UNIP, 2011) Exercício 5 (página 59) a) a função receita é dada por: R = p x q então, R = (-2q + 400). q é a função receita. Para esboçar
Introdução Generalização
Cálculo 2 - Capítulo 2.9 - Derivação implícita 1 Capítulo 2.9 - Derivação implícita 2.9.1 - Introdução 2.9.3 - Generalização 2.9.2 - Derivação implícita Veremos agora uma importante aplicação da regra
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano Época especial
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 07 - Época especial Proposta de resolução GRUPO I. Como o número a formar deve ser maior que 0 000, então para o algarismo das dezenas de milhar existem apenas 3 escolhas
Semana 5 Zeros das Funções_2ª parte
1 CÁLCULO NUMÉRICO Semana 5 Zeros das Funções_2ª parte Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1 2 LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES PELO MÉTODO GRÁFICO Vejamos dois procedimentos gráficos que podem ser utilizados para
Função Afim. Definição. Gráfico
Função Afim Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função
Os únicos candidatos a extremantes locais são os pontos críticos de f pois o D f 2 é aberto. f
CAPÍTULO 16 Exercícios 16 1 Seja (x y) x y xy x y Os únicos candidatos a extremantes locais são os pontos críticos de pois o D é aberto De ( x x y ) x y ( y x y ) y x 1 resulta que os candidatos a extremantes
Funções de Uma Variável - 1 a Avaliação - Turma B3 31 de outubro de Prof. Armando Caputi
Funções de Uma Variável - 1 a Avaliação - Turma B 1 de outubro de 017 - Prof. Armando Caputi 1 Determine o domínio da função g(x) = arctan ( ln(x x + ) ) (justifique) e a equação da reta tangente ao seu
Capítulo 1 Funções reais de uma variável 1.3 Derivadas de funções definidas implicitamente
11-1-13 1.3 Derivadas de funções definidas implicitamente Uma equação do tipo f(,y) = nem sempre permite obter eplicitamente y como função de. Por eemplo, y 1 y 1 não é uma função y 1 y 1 y 1 y 1 3 1.3
Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais. Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Taas de Variação:
Funções EXERCÍCIOS ( ) ( )
Funções Quando relacionamos grandezas variáveis, onde variando uma interfere no valor de outra, estamos trabalhando com conceito de função. Por eemplo, um taista abastece seu carro no posto de combustível
PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO
PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO EXTREMOS: MÁXIMOS E MÍ IMOS As questões de optimização estão relacionados com a escolha da melhor alternativa para a resolução de um problema com base em critérios particulares.