Funções Crescentes e Funções Decrescentes

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Crescentes e Funções Decrescentes Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Funções Crescentes e Funções Decrescentes 1.Funções crescentes e funções decrescentes 2.Pontos críticos e sua utilização 3.Uma aplicação: lucro, receita e custo

3 1. Funções crescentes e funções decrescentes Uma função é crescente se seu gráfico sobe quando x se desloca para a direita, e é decrescente se seu gráfico desce quando x se desloca para a direita. A definição a seguir constitui um enunciado mais formal. 3

4 1. Funções crescentes e funções decrescentes Definição de Função Crescente e Função Decrescente Uma função f é crescente em um intervalo se, para qualquer x 1 e x 2 no intervalo, x 2 > x 1 implica f(x 2 ) > f(x 1 ) Uma função f é decrescente em um intervalo se, para qualquer x 1 e x 2 no intervalo, x 2 > x 1 implica f(x 2 ) < f(x 1 ). 4

5 1. Funções crescentes e funções decrescentes y Função Crescente f(x 2 ) f(x 1 ) x 1 x 2 x 5

6 1. Funções crescentes e funções decrescentes y Função Decrescente f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 x 6

7 1. Funções crescentes e funções decrescentes A função da figura a seguir é decrescente no intervalo (-, a), constante no intervalo (a, b) e crescente no intervalo (b, ). Na realidade, pela definição de função crescente e função decrescente, a função exibida na figura é decrescente no intervalo (-, a] e crescente no intervalo [b, ). No presente texto, entretanto, restringimos nosso estudo à determinação de intervalos abertos, nos quais a função é crescente ou decrescente em um intervalo. Pode-se utilizar a derivada de uma função para determinar se a função é crescente ou decrescente em um intervalo. 7

8 1. Funções crescentes e funções decrescentes 8

9 1. Funções crescentes e funções decrescentes Teste para Funções Crescentes e Funções Decrescentes 1. Se f (x) >0 para todo x em (a, b), f é crescente em (a, b). 2. Se f (x) < 0 para todo x em (a, b), f é decrescente em (a, b). 3. Se f (x) = 0 para todo x em (a, b), f é constante em (a, b). 9

10 1. Funções crescentes e funções decrescentes Exemplo 1: Mostre que a função f ( x) é decrescente no intervalo aberto (-, 0) e crescente no intervalo aberto (0, ). = x 2 A derivada de f é f ' ( x) = 2x 10

11 1. Funções crescentes e funções decrescentes No intervalo aberto (-, 0), o fato de x ser negativo implica que f (x) = 2x é também negativa. Logo, pelo teste para uma função decrescente, podemos concluir que f é decrescente nesse intervalo. Analogamente, no intervalo (0, ), como x é positivo, também o é 2x. Logo, concluímos que f é crescente nesse intervalo, como pode ser observado na figura a seguir. 11

12 1. Funções crescentes e funções decrescentes 12

13 1. Funções crescentes e funções decrescentes Exemplo 2: De 1970 a 1980, o consumo C de aves (em libras sem osso por pessoa por dia) admite como modelo C = 33,5 + 0,074t 2, 0 t 20, onde t = 0 corresponde a Mostre que o consumo de aves cresceu de 1970 a

14 1. Funções crescentes e funções decrescentes A derivada deste modelo é dc/dt = 0,148t. Para t positivo, a derivada é positiva. Portanto, a função é crescente, o que implica que o consumo de aves aumentou de 1970 a

15 No Exemplo 1, foram dados dois intervalos um em que a função era decrescente e um em que era crescente. Suponhamos agora que tivéssemos de determinar esses intervalos. Para isto, poderíamos ter levado em conta o fato de que, para uma função contínua, f (x) só pode mudar de sinal em valores de x para os quais f (x) = 0 ou em valores de x para os quais f (x) não é definida, conforme mostra a figura a seguir. Esses dois tipos de números são chamados pontos críticos de f. 15

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17 Definição de Ponto Crítico Se f é definida em c, então c é um ponto crítico de f se f (c) = 0 ou se f não é definida em c. Nota: Esta definição exige que o ponto crítico esteja no domínio da função. 17

18 Diretrizes para Determinar os Intervalos de Crescimento e Decrescimento 1. Achar a derivada de f. 2. Determinar os pontos críticos de f e utilizá-los para estabelecer os intervalos de teste; isto é, achar todos os valores de x para os quais f (x) = 0 ou f (x) não é definida. 3. Testar o sinal de f (x) para um valor arbitrário em cada um dos intervalos de teste. 4. Utilizar o teste das funções crescentes ou decrescentes para decidir se é crescente ou decrescente em cada intervalo. 18

19 Exemplo 3: Ache os intervalos abertos em que a função f ( x) = x x 2 é crescente ou decrescente. 19

20 Comecemos calculando a derivada de f. Em seguida, igualemos a derivada a zero e resolvamos a equação para achar os pontos críticos. ( ) 3 3 Diferenciando a função original ' 2 f x = x x Igualando a zero a derivada x x = 3( x)( x 1) = 0 Fatorando x = 0, x = 1 Pontos críticos 20

21 Como não há valores de x para os quais f não seja definida, decorre que x = 0 e x = 1 são os únicos pontos críticos. Assim, os intervalos que devem ser testados são (-, 0), (0, 1) e (1, ). A tabela abaixo apresenta o resultado do teste desses três intervalos. Intervalo (-, 0) (0, 1) (1, ) Valor de teste x = -1 x = ½ x = 2 Sinal de f (x) f (-1) = 6 > 0 f (½) = -¾ < 0 f (2) = 6 > 0 Conclusão Crescente Decrescente Crescente 21

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23 A função do Exemplo 3 não somente é contínua em toda a reta real, mas também diferenciável ali. Para tais funções, os únicos pontos críticos são aqueles para os quais f (x) = 0. O próximo exemplo considera uma função contínua que tem ambos os tipos de ponto crítico os números para os quais f (x) = 0 e os que f (x) não é definida. 23

24 Exemplo 4: Determine os intervalos abertos em que a função ( x ) 2 f ( x) = 4 é crescente ou decrescente

25 Comecemos achando a derivada da função. 1 ' f ( x) = ( x 4 ) (2 x) Diferenciar 3 4x = Simplificar ( x ) Vemos que a derivada é zero quando x = 0 e que não é definida para x = ± 2. Assim, os pontos críticos são x = -2, x = 0 e x = 2. Pontos críticos 25

26 Isto implica que os intervalos de teste são (-, -2), (-2, 0), (0, 2) e (2, ) Intervalos de teste A tabela abaixo resume os resultados do teste nesses quatro intervalos; a figura a seguir exibe o gráfico da função. Intervalo (-, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, ) Valor de teste x = -3 x = -1 x = 1 x = 3 Sinal de f (x) f (-3) < 0 f (-1) > 0 f (1) < 0 f (3) > 0 Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente 26

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28 Nota: Na tabela anterior, não é necessário calcular f (x) para os valores de teste basta determinar seu sinal. Assim é que podemos determinar o sinal de f (-3) como segue: f ' 4( 3) negativo ( 3) = = = 1 3(9 4) 3 positivo negativo 28

29 As funções nos Exemplos 1 a 4 são contínuas em toda a reta real. Se há valores isolados de x para os quais a função não seja contínua, tais valores devem ser utilizados, juntamente com os pontos críticos, para determinar os intervalos de teste. 29

30 Por exemplo, a função f ( x) = 4 x x não é contínua quando x = 0. Como a derivada de f, 4 2( x 1) f '( x) = 3 x é zero quando x = ± 1, devemos tomar os seguintes valores para determinar os intervalos de teste: x = -1, x = 1 (Pontos críticos) x = 0 (Descontinuidade) 30

31 Intervalo (-, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, ) Valor de teste x = -2 x = -½ x = ½ x = 2 Sinal de f (x) f (-2) < 0 f (-½) > 0 f (½) < 0 f (2) > 0 Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente Após testar f (x), constatamos que a função é decrescente nos intervalos (-, -1) e (0, 1), e crescente nos intervalos (-1, 0) e (1, ), conforme mostra a figura a seguir. 31

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33 Exemplo 5: Mostre que a função f(x) = x 3 3x 2 + 3x é crescente em toda a reta real. Pela derivada de f, f (x) = 3x 2 6x + 3 = 3(x 1) 2, podemos ver que o único ponto crítico é x = 1. Assim, os intervalos de teste são (-, 1) e (1, ). A tabela a seguir resume o teste nesses dois intervalos. Pela figura a seguir, vemos que f é crescente em toda a reta real mesmo que f (1) = 0. 33

34 Intervalo (-, 1) (1, ) Valor de teste x = 0 x = 2 Sinal de f (x) f (0) = 3(0-1) 2 > 0 f (2) = 3(2-1) 2 > 0 Conclusão Crescente Crescente 34

35 3. Uma aplicação: lucro, receita e custo Exemplo 6: Um distribuidor nacional de brinquedos estabelece os seguintes modelos de custo e receita para um de seus jogos. C = 2,4x 0,0002x 2, 0 x R = 7,2x 0,001x 2, 0 x Determine o intervalo em que a função lucro é crescente. 35

36 3. Uma aplicação: lucro, receita e custo O lucro na produção de x unidades é P = R C = (7,2x 0,001x 2 ) (2,4x 0,0002x 2 ) = 4,8x 0,0008x 2. 36

37 3. Uma aplicação: lucro, receita e custo Para achar o intervalo em que o lucro é crescente, façamos o lucro marginal P igual a zero e resolvamos em relação a x. P ' = 4,8 0,0016 x Diferenciando a função lucro ' 4,8 0,0016x = 0 Fazendo P igual a 0. 0,0016x = 4,8 Subtraindo 4,8 de ambos os membros 4,8 x = Dividindo ambos os membros por -0,0016 0,0016 x = unidades Simplificando 37

38 3. Uma aplicação: lucro, receita e custo No intervalo (0, 3.000), P é positiva e o lucro é crescente. No intervalo (3.000, 6.000), P é negativa e o lucro é decrescente. A figura abaixo ilustra os gráficos das funções custo, receita e lucro. 38