Integrais Impróprias

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integrais Impróprias Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Integrais Impróprias 1.Integrais impróprias 2.Integrais com limites de integração infinitos 3.Integrais com integrando infinito 4.Aplicação

3 1. Integrais impróprias A definição da integral definida f ( x ) dx a exige que o intervalo [a, ] seja finito e que f seja limitada em [a, ].

4 1. Integrais impróprias Nesta aula vamos estudar integrais que não satisfazem essas exigências por uma das razões aaixo: 1. Pelo menos um dos limites de integração é infinito. 2. f tem uma descontinuidade infinita no intervalo [a, ].

5 1. Integrais impróprias As integrais que apresentam uma dessas características são denominadas de integrais impróprias. Por exemplo, as integrais 1 e dx dx 1 x e 0 2 x + são impróprias porque pelo menos um dos limites de integração é infinito, como mostram as figuras a seguir.

6 1. Integrais impróprias

7 1. Integrais impróprias Analogamente, as integrais 1 1 dx e x ( x ) 2 dx são impróprias, porque seus integrandos tendem para infinito em algum ponto do intervalo de integração, conforme mostrado nas figuras a seguir.

8 1. Integrais impróprias

9 2. Integrais com limites de integração infinitos Para vermos como calcular uma integral imprópria, consideremos a integral da figura aaixo

10 2. Integrais com limites de integração infinitos Desde que seja um número real maior do que 1 (não importando qual), trata-se de uma integral definida cujo valor é dx = = + 1= 1 2 x x 1

11 2. Integrais com limites de integração infinitos A taela aaixo dá os valores desta integral para diversos valores de. 2 0, , , , , , dx = 1 2 x

12 2. Integrais com limites de integração infinitos Por esta taela, é visível que o valor da integral se aproxima de um limite quando aumenta ilimitadamente. Este limite é representado pela seguinte integral imprópria dx = lim dx = lim 1 1 x x =

13 2. Integrais com limites de integração infinitos Integrais Impróprias (Limites de Integração Infinitos) 1. Sef écontínuaem[a, ),então a f ( x) dx = lim f ( x) dx 2. Sef écontínuaem(-,],então f ( x) dx = lim f ( x) dx 3. Sef écontínuaem(-, ),então a c a a f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx c R c

14 2. Integrais com limites de integração infinitos Em qualquer caso, se o limite existe, a integral imprópria converge; em caso contrário, a integral imprópria diverge. Assim, no terceiro caso, a integral divergirá se qualquer uma das integrais à direita divergir.

15 2. Integrais com limites de integração infinitos Exemplo 1: Determine a convergência ou a divergência da integral imprópria 1 1 dx x

16 2. Integrais com limites de integração infinitos Comecemos aplicando a definição de integral imprópria 1 1 dx = lim x x 1 1 = lim ln [ x] 1 ( ) = lim ln 0 = dx Definição de integral imprópria Determinando a antiderivada Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite

17 2. Integrais com limites de integração infinitos Como o limite é infinito, a integral imprópria diverge.

18 2. Integrais com limites de integração infinitos Ao começar a traalhar com integrais impróprias, começaremos a oservar que integrais aparentemente semelhantes podem ter valores muito diferentes. Considere, por exemplo, as duas integrais impróprias dx x 1 x 2 dx = = 1 Integral divergente Integral convergente

19 2. Integrais com limites de integração infinitos A primeira diverge e a segunda converge para 1. Graficamente, isto significa que as áreas mostradas na figura aaixo são muito diferentes.

20 2. Integrais com limites de integração infinitos A região compreendida entre o gráfico (à esquerda) da figura anterior e o eixo x (para x 1) tem área infinita, e a região entre o gráfico (à direita) e o eixo x (para x 1) tem área finita.

21 2. Integrais com limites de integração infinitos Exemplo 2: Calcule a integral imprópria 0 1 ( 1 2x) 3 2 dx

22 2. Integrais com limites de integração infinitos Comecemos aplicando a definição de integral imprópria 1 1 dx = lim 0 0 a a ( 1 2x) ( 1 2x) 1 = alim 1 2 x 1 = lim 1 a 1 2a = 1 0 = a dx Definição de integral imprópria Determinando a antiderivada Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite

23 2. Integrais com limites de integração infinitos Assim, a integral imprópria converge para 1. Conforme mostra a figura aaixo, isto implica que a região entre o gráfico de y = 1/(1 2x) 3/2 e o eixo x (para x 0) tem área 1.

24 2. Integrais com limites de integração infinitos Exemplo 3: Calcule a integral imprópria 2 x xe 0 2 dx

25 2. Integrais com limites de integração infinitos Apliquemos inicialmente a definição de integral imprópria 2 2 x x 2xe dx = lim 2xe dx 0 0 Definição de integral imprópria = lim x e 2 0 Determinando a antiderivada ( e ) = lim + 1 = 0 + 1= 1 2 Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite

26 2. Integrais com limites de integração infinitos Assim, a integral imprópria converge para 1. Conforme mostrado na figura aaixo, isto implica que a região compreendida entre o gráfico da função dada e o eixo x (para x 0) tem área 1.

27 3. Integrais com integrando infinito Integrais Impróprias (Integrando Infinito) 1. Se f écontínuanointervalo[a,),etende parainfinito em,então a f ( x) dx = lim f ( x) dx c 2. Se f é contínua em (a, ], e tende para infinito em a, então a f ( x) dx = lim f ( x) dx c a + c a c

28 3. Integrais com integrando infinito Integrais Impróprias (Integrando Infinito) 3. Se f é contínua em [a, ], exceto em algum ponto c de (a, ), no qual f tende para infinito, então c f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx a a c Em cada caso, se o limite existe, a integral imprópria converge; caso contrário, a integral imprópria diverge.

29 3. Integrais com integrando infinito Exemplo 4: Calcule a integral imprópria x 1 dx

30 3. Integrais com integrando infinito 1 1 dx = lim dx x 1 x Definição de integral imprópria = lim ( x ) = lim = 0 = ( ) Determinando a antiderivada Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite

31 3. Integrais com integrando infinito Assim, a integral converge para 3/2, o que implica que a área mostrada na figura aaixo tem área 3/2.

32 3. Integrais com integrando infinito Exemplo 5: Calcule a integral imprópria 1 2 x 2 2 2x dx

33 3. Integrais com integrando infinito dx = x 2x x 2 x dx Decompondo em frações parciais 1 1 = lim 2 1 x 2 x dx Definição de integral imprópria = lim ln x 2 ln 2 x 1 Determinando a antiderivada = Calculando o limite

34 3. Integrais com integrando infinito Podemos, então, concluir que a integral diverge. Isto implica que a região mostrada na figura aaixo tem área infinita.

35 3. Integrais com integrando infinito Exemplo 6: Calcule a integral imprópria dx x

36 3. Integrais com integrando infinito Esta integral é imprópria porque o integrando tem uma descontinuidade infinita no valor interior x = 0, conforme se vê na figura aaixo.

37 3. Integrais com integrando infinito Podemos, pois, escrever dx = dx + dx x x x Aplicando a definição de integral imprópria, mostra-se que amas as integrais divergem. Portanto, a integral original tamém diverge.

38 3. Integrais com integrando infinito OBS: Se não tivéssemos reconhecido que a integral do Exemplo 6 é imprópria, teríamos chegado ao resultado incorreto dx = 3 2 x 2x = + = Incorreto

39 3. Integrais com integrando infinito As integrais impróprias em que o integrando tem uma descontinuidade infinita entre os limites de integração são frequentemente esquecidas. Deve-se ficar atento quanto a tais possiilidades.

40 4. Aplicação Exemplo 7: O sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, do gráfico de 1 f ( x) =, 1 x < x é chamado trometa de Gariel (ver figura a seguir). Calcule o volume da trometa de Gariel.

41 4. Aplicação

42 4. Aplicação Podemos determinar o volume da trometa aplicando o Método do Disco Volume = lim π dx 1 2 x π = lim x 1 π = lim π = π 2 1 π 1 x = dx Método do disco Definição de integral imprópria Determinando a antiderivada Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite

43 4. Aplicação Assim, o volume da trometa de Gariel é π unidades cúicas.