Capítulo 8 - Integral Definido

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1 Capítulo 8 - Integral Definido Carlos Balsa [email protected] Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 211/212 Matemática I 1/ 16 DeMat-ESTiG

2 Sumário Area sob uma Curva Integral Definido Aplicações do Integral Definido Matemática I 2/ 16 DeMat-ESTiG

3 Como Calcular a Área sob uma Função? y = f (x) a Como calcular a área a sombreado? b Situada entre a função y = f (x) e o eixo dos x Limitada à esquerda por x = a e à direita por x = b Matemática I 3/ 16 DeMat-ESTiG

4 Decomposição da Area em Múltiplos Rectângulos a = x c1 x 1 c2 x 2c3 x 3 c4 x 4 c 5 x 5 c 6 b = x 6 Matemática I 4/ 16 DeMat-ESTiG

5 Decomposição da Area em Múltiplos Rectângulos, continuação Decompondo o intervalo [a; b] em vários sub-intervalos [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ] Com a = x < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b Em cada intervalo escolhemos um ponto c k para k = 1, 2,..., n Área aproximada por (soma de Riemann) R = f (c 1 ) x 1 + f (c 2 ) x f (c n ) x n Matemática I 5/ 16 DeMat-ESTiG

6 Exemplo 1: área sob uma função constante f (x) = k Calcular a área sob a função f (x) = k no intervalo [; x] 1. Decompor o intervalo [; x] em sub-intervalos de amplitude x 2. Somar as áreas correspondentes a cada sub-intervalo: Área = f (x 1 ) x + f (x 2 ) x f (x n ) x = k x + k x k x = k( x + x x) = kx Área é dada pela função kx, por exemplo, se x = 2 a área = 2k Se k for negativo área = kx Como (kx) = k = f (x), a função que nos dá a área é primitiva de f (x), i.é, área = F (x) Matemática I 6/ 16 DeMat-ESTiG

7 Decomposição da Area em Múltiplos Rectângulos, continuação a Quando função não é constante a decomposição em sub-intervalos não aproxima tão bem a área total Quanto maior for o número de sub-intervalos melhor será a aproximação Matemática I 7/ 16 DeMat-ESTiG b

8 Integral Definido Soma de Riemann: S n = n i=1 f (x i) x i para i = 1, 2,..., n Área entre a e b é aproximada pela soma de Riemann (área S n ) Área = lim n S n = lim n n i=1 f (x i) x i Se todos os intervalos tiverem a mesma amplitude x por sua vez lim n n f (x i ) x = i=1 lim x lim x n f (x i ) x = i=1 b a n f (x i ) x i=1 f (x)dx Matemática I 8/ 16 DeMat-ESTiG

9 Teorema Fundamenta do Cálculo Se f for uma função cujo integral b f (x)dx existe, e se F é uma a primitiva de f no interval [a, b], verifica-se que b a f (x)dx = F(b) F(a) Abreviadamente, podemos escrever: F (b) F(a) def = [ F (x) ] b = [ F (x) ] b x=a a Matemática I 9/ 16 DeMat-ESTiG

10 Exemplo 2: Teorema Fundamenta do Cálculo Calcular 1 2 (2 x x 2 )dx Começamos por calcular a primitiva de f (x) = 2 x x 2 (2 x x 2 )dx = 2x x 2 2 x c Pelo teorema fundamental do cálculo 1 (2 x x 2 )dx = [2x x 2 2 x 3 = 2 [2(1) (1)2 2 (1)3 3 + c ] = ( ) ( ) ] c 2 [2( 2) ( 2)2 2 ( 2)3 3 ] + c = 9 2 Matemática I 1/ 16 DeMat-ESTiG

11 Aplicações do Integral Definido Entre outras aplicações, o integral definido pode ser utilizado para calcular áreas e volumes definidos analiticamente por funções Áreas sob funções Áreas entre funções Volumes definidos pela rotação de funções em torno de um eixo Matemática I 11/ 16 DeMat-ESTiG

12 Exemplo 3: calcular área sob uma função Determinar a área entre o eixo x e y = x 3 de x = 1 até x = 1 Resolvendo de forma imediata obtemos 1 [ ] x x dx = = = 1 Processo correcto consiste em calcular a área entre y = x 3 e y = Área = = 1 1 ( x 3 )dx + 1 ] [ x 4 = 4 ( = 1 4 x 3 dx ] 1 [ x ) = 1 2 x 3 dx (x 3 )dx Matemática I 12/ 16 DeMat-ESTiG

13 Exemplo 4: área entre funções Determinar a área entre as funções y = x e y = x 3 de x = 1 até x = 1 Área = = 1 (x 3 x)dx + [ x 4 4 x 2 2 = ] 1 1 (x x 3 )dx [ x x 4 4 ] 1 = 1 2 Matemática I 13/ 16 DeMat-ESTiG

14 Exemplo 5: volume de revolução Determinar o volume do sólido que resulta da rotação en torno do eixo x da função y = x de x = até x = 2 Sólido resulta da soma de todas as circunferências de espessura dx e raio x desde até 2 V = = = π πf (x) 2 dx πx 2 dx x 2 dx ] 2 [ x 3 = π 3 [ 8 = π 3 ] = 8π 3 3 Matemática I 14/ 16 DeMat-ESTiG

15 Exemplo 6: volume de revolução Determinar o volume do sólido que resulta da rotação en torno do eixo y da função y = x 2 de y = até y = 4 Quando a rotação é em torno do eixo y, devemos ter uma função x = f (y), neste caso x = y (para y 4) V = = π = π [ y 2 = π 2 πf (y) 2 dy ( y) 2 dy ydy ] 4 = π [8 ] = 8π Matemática I 15/ 16 DeMat-ESTiG

16 Bibliografia Eduardo J.C. Martinho, J. da Costa Oliveira e M. Amaral Fortes, "Matemática para o Estudo da Física". Fundação Calouste Gulbenkian, Dale Ewen e Michael A. Topper, Cálculo Técnico, Hemus, 1981 Earl W. Swokowski, "Cálculo Com Geometria Analítica, Volume 1". McGraw-Hill, Matemática I 16/ 16 DeMat-ESTiG