Capítulo 4 - Valores e Vectores Próprios

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1 Capítulo 4 - Valores e Vectores Próprios Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 17 DeMat-ESTiG

2 Sumário Problemas de Valores e Vectores Próprios Interpretação Geométrica Cálculo através do Polinómio Característico Propriedades Diagonalização de Matrizes Matemática I 2/ 17 DeMat-ESTiG

3 Motivação Problemas de valores próprios ocorrem em muitas áreas da ciência e da engenharia Valores próprios de uma matriz reflectem propriedades essenciais de uma matriz Valores próprios são igualmente importantes na análise de muitos métodos matemáticos Teoria e métodos aplicam-se tanto a matrizes reais como a matrizes complexas Para matrizes complexas utiliza-se a matriz transposta conjugada, A H, em vez da transposta, A T Matemática I 3/ 17 DeMat-ESTiG

4 Valores e Vectores Próprios Problema de valores próprios típico: dada uma matriz A, n n, encontrar um escalar λ e um vector não-nulo x tal que Ax = λx λ é valor próprio e x o vector próprio correspondente λ pode ser complexo mesmo que A seja real Espectro: λ (A) = {λ 1, λ 2,..., λ n }, é o conjunto de todos os valores próprios de A Raio espectral: ρ (A) = max { λ 1, λ 2,..., λ n } Matemática I 4/ 17 DeMat-ESTiG

5 Exemplo 1: Valores e Vectores [ Próprios 1 1 Considere a matriz A = Mostre que x = [1 1 T é vector próprio de A 2. Mostre que y = [ 1 1 T não é vector próprio de A Resposta: [ Ax = [ [ 1 2 = 1 2 [ 1 = 2 1 x é o vector próprio associado ao valor próprio 2 [ [ [ [ Ay = = = = 2x λy y não é vector próprio de A porque não existe nenhum escalar λ tal que Ay = λy Matemática I 5/ 17 DeMat-ESTiG

6 Interpretação Geométrica Interpretação Geométrica x Ax y Ax = λx Ax tem a mesma direcção de x comprimento e sentido de Ax depende de λ Ay y não é valor próprio de A Ay λy Ay não tem a mesma direcção de y Matemática I 6/ 17 DeMat-ESTiG

7 Cálculo dos valores e vectores próprios Seja A uma matriz de ordem n n, queremos determinar um vector x, de ordem n 1 tal que Ax = λx Ax λx = 0 Ax λix = 0 (A λi)x = 0 Temos de resolver o sistema homogéneo (A λi)x = 0 de maneira a encontrar a solução não trivial, pois x 0, para tal o determinante da matriz dos coeficientes tem de ser nulo: A λi = 0 Desenvolvimento deste determinate origina um polinómio de grau n em λ cujas raízes são os valores próprios de A Matemática I 7/ 17 DeMat-ESTiG

8 Determinate e Polinómio Característico Desenvolvimento do determinante característico A λi = 0 origina o polinómio característico c 0 λ n + c 1 λ n c n 1 λ + c n = 0 (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) = 0 cujas n raízes λ 1, λ 2,... λ n são os valores próprios de A Resolução dos n sistemas (A λ i I)x i = 0 para i = 1, 2,..., n permite obter os n vectores próprios correspondentes x 1, x 2,..., x n Como A λi = 0 cada sistema (A λ i I)x i = 0 tem solução múltipla, pelo que cada x i representa uma solução particular extraída arbitrariamente da solução geral Matemática I 8/ 17 DeMat-ESTiG

9 Exemplo 2: Polinómio Característico [ Determinar os valores próprios de [ [ A λi = λ = λ λ = 0 (3 λ)(3 λ) ( 1)( 1) = 0 λ 2 6λ + 8 = 0 λ = 6 ± λ 1 = 2, λ 2 = 4 Matemática I 9/ 17 DeMat-ESTiG

10 Exemplo 3: Determinar os Vectores Próprios [ 3 1 Determinar os vectores próprios de 1 3 ([ [ ) [ [ x11 0 (A λ 1 I) x 1 = 0 2 = x 21 0 [ [ [ x11 0 = x 21 0 [ [ [ { 1 1 x11 0 x11 x = 21 = x = 0 { [ x11 = x 21 α x 21 = α IR\ {0} x 1 = α se α = 1 x 1 = [ 1 = α 1 [ 1 1 com α IR\ {0} Matemática I 10/ 17 DeMat-ESTiG

11 Exemplo 3, continuação Determinar o vector próprio x 2 associado ao valor próprio λ 2 = 4 ([ [ ) [ [ x12 0 (A λ 2 I) x 2 = 0 4 = x 22 0 [ [ [ x12 0 = x 22 0 [ [ [ { 1 1 x12 0 x12 x = 22 = = 0 x 22 { [ x12 = x 22 α x 22 = α IR\ {0} x 2 = α se α = 1 x 2 = [ 1 = α 1 [ 1 1 com α IR\ {0} Matemática I 11/ 17 DeMat-ESTiG

12 Propriedades Valores próprios de matriz diagonal são os próprios elementos da diagonal Valores próprios de matriz triangular são os elementos da diagonal Matriz A de ordem n possui exactamente n valores próprios Se A for simétrica (A = A T ) os seus valores próprios são todos reais e os respectivos vectores próprios são ortogonais Matemática I 12/ 17 DeMat-ESTiG

13 Invariantes de uma Matriz a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Considerando A = a n1 a n2 a nn Traço de A é igual à soma de todos os elementos da diagonal principal de A: tr(a) = a 11 + a a nn Traço é igual à soma dos valores próprios tr(a) = λ 1 + λ λ n Determinate de A é igual ao produto dos valores próprios A = λ 1 λ 2... λ n Se um dos valores próprios de A for nulo a matriz A é singular Matemática I 13/ 17 DeMat-ESTiG

14 Singularidade e Não-Singularidade Uma matriz A, n n, é não-singular se verificar qualquer uma das seguintes propriedades 1. Existe a inversa de A, designada por A 1 2. A 0 3. Para qualquer z 0, Az 0 4. Nenhum valor próprio de A é nulo: λ = 0 / λ(a) Matemática I 14/ 17 DeMat-ESTiG

15 Diagonalização de uma Matriz Uma matriz B é semelhante a uma matriz A se existir uma matriz invertível P tal que B = P 1 AP Uma matriz A é diagonalizável se ela for semelhante a uma matriz diagonal. Diz-se também que A pode ser diagonalizada Matriz A, de ordem n, é diagonalizável se possuir exactamente n vectores próprios linearmente independentes. Neste caso A é semelhante a uma matriz diagonal D, com D = P 1 AP, cujos elementos diagonais são os valores próprios de A, enquanto que P é uma matriz cujas colunas são os vectores próprios de A Se uma matriz A, de ordem n, possui n valores próprios reais e distintos então os respectivos vectores próprios são linearmente independentes Matemática I 15/ 17 DeMat-ESTiG

16 Exemplo 4 [ Mostre que a matriz A = é diagonalizável. 1. Como a matriz é simétrica (A = A T ), possui 2 vectores próprios orthogonais, como tal é diagonalizável. 2. Determinar P tal que P 1 AP = D em que D é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os valores próprios de A e P é uma matriz cujas colunas são os respectivos vectores próprios. Matemática I 16/ 17 DeMat-ESTiG

17 Bibliografia Bernard Kolman, "Introdução à Álgebra Linear com Aplicações", Prentice-Hall do Brasil, 1998 Ia. S. Bugrov e S. M. Nikolski, "Matemática para Engenharia, Vol. 1 - Elementos de Álgebra Linear e de Geometria Analítica", Editora Mir Moscovo, 1986 Matemática I 17/ 17 DeMat-ESTiG