Aplicações de. Integração

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1 Aplicações de Capítulo 6 Integração

2 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO Neste capítulo exploraremos algumas das aplicações da integral definida, utilizando-a para calcular áreas entre curvas, volumes de sólidos e o trabalho realizado por uma força variável. O tema comum é o seguinte método geral, similar àquele que usamos para encontrar áreas sob as curvas.

3 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO Dividimos uma quantidade Q em um grande número de pequenas partes. Então, aproximamos cada pequena parte por uma f x ( *) i Δx quantidade do tipo e, portanto, aproximamos Q por uma soma de Riemann. Daí, tomamos o limite e expressamos Q como uma integral. Finalmente calculamos a integral utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo ou a Regra do Ponto Médio.

4 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6.1 Áreas Entre Curvas Nesta seção aprenderemos a usar as integrais para encontrar áreas de regiões entre gráficos de duas funções.

5 Considere a região S entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as retas verticais x = a e x = b. Aqui f e g são funções contínuas e f(x) g(x) para todo x em [a, b].

6 Assim como fizemos para áreas sob as curvas na Seção 5.1, dividimos S em n faixas de larguras iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base x altura f ( x*) g( x*). i i

7 Se quiséssemos, poderíamos tomar todos os pontos amostrais como as extremidades direitas, de modo que x * = x. i i

8 A soma de Riemann i= 1 [ ( *) ( *)] é, portanto, uma aproximação do que intuitivamente consideramos como a área de S. n f x g x Δx Essa aproximação parece se tornar cada vez melhor quando n. i i

9 Portanto, definimos a área A da região S como o valor-limite da soma das áreas desses retângulos aproximantes. n A= lim [ f( x*) g( x*) ] Δx i i n i = 1 Definição 1 Reconhecemos o limite em (1) como a integral definida de f - g.

10 A área A da região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x), e pelas retas x = a, x = b, onde f e g são contínuas e f ( x) g( x) para todo x em [a, b], é: b a ( ) ( ) A= f x g x dx Definição 2

11 Observe que, no caso especial onde g(x) = 0, S é a região sob o gráfico de f, e a nossa definição geral de área (1) se reduz à definição anterior (Definição 2 na Seção 5.1).

12 No caso em que f e g forem ambas positivas, você pode ver na Figura por que (2) é verdadeira:

13 Encontre a área da região limitada acima por y = e x, e abaixo por y = x, e limitada nos lados por x = 0 e x = 1. A região é mostrada na Figura. A curva limitante superior é y = e x e a curva limitante inferior y = x. Exemplo 1

14 Exemplo 1 Então, usamos a fórmula (2) da área com y = e x, g(x) = x, a = 0, e b = 1: 1 ( x ) x A= e x dx= e x 1 = e 1 = e 1.5 2

15 Na Figura desenhamos um retângulo aproximante típico com largura x como um lembrete do procedimento pelo qual a área é definida em (1).

16 Em geral, quando determinamos uma integral para uma área, é útil esboçar a região para identificar a curva superior y T, a curva inferior y B, e um retângulo aproximante típico, como na Figura.

17 Então, a área de um retângulo típico é (y T - y B ) x e a equação n = Δ = A lim ( y y ) x y y dx n i = 1 ( ) T B a T B resume o procedimento de adição (no sentido de limite) das áreas de todos os retângulos típicos. b

18 Observe que na Figura da esquerda a fronteira esquerda se reduz a um ponto, enquanto na Figura da direita a fronteira direita é que se reduz a um ponto.

19 No próximo exemplo ambas as fronteiras se reduzem a um ponto, de modo que a primeira etapa será encontrar a e b.

20 Exemplo 2 Encontre a área da região entre as parábolas y = x 2 e y = 2x - x 2. Primeiro encontramos os pontos de intersecção das parábolas, resolvendo suas equações simultaneamente. Isto resulta em x 2 =2x - x 2, ou 2x 2-2x = 0. Portanto, 2x(x - 1) = 0, assim x = 0ou1. Os pontos de intersecção são (0, 0) e (1, 1).

21 Exemplo 2 Vemos na Figura que as fronteiras superior e inferior são: y T = 2x x 2 e y B = x 2

22 Exemplo 2 A área de um retângulo típico é (y T y B ) x = (2x x 2 x 2 ) x a região está entre x = 0 e x = 1. Então, a área total é: 1 1 ( 2) ( ) A = x x dx = x x dx x x = = =

23 Às vezes é difícil, ou mesmo impossível, encontrar os pontos exatos de intersecção de duas curvas. Como mostramos no exemplo a seguir, podemos usar uma calculadora gráfica ou um computador para encontrar valores aproximados para os pontos de intersecção e então prosseguir como anteriormente.

24 Encontre a área aproximada da região 2 limitada pelas curvas y = x x + 1 e y = x 4 x. Exemplo 3

25 Se tentássemos encontrar os pontos exatos de intersecção, teríamos de resolver a equação x x = x x Exemplo 3 Essa parece ser uma equação muito difícil de resolver exatamente (de fato, é impossível).

26 Exemplo 3 Um ponto de intersecção é a origem. Dando um zoom em direção do outro ponto de intersecção, descobrimos que x 1,18. Se mais precisão fosse requerida, poderíamos usar o método de Newton ou outro método de determinar raízes, se disponível em nossa calculadora gráfica

27 Exemplo 3 Assim, uma aproximação para a área entre as curvas é: 1.18 x ( 4 A x x) dx 0 2 x + 1 Para integrar o primeiro termo, utilizamos a substituição u = x Então, du = 2x dx e quando x = 1,18, temos u 2,39

28 Exemplo 3 Logo, du ( 4 A ) 2 x x dx 1 u x x = u (1.18) (1.18) =

29 A Figura mostra as curvas de velocidade de dois carros A e B, que partem lado a lado e se movem ao longo da mesma estrada. O que a área entre as curvas representa? Use a Regra do Ponto Médio para estimá-la. Exemplo 4

30 Sabemos da Seção 5.4 que a área sob a curva de velocidade A representa a distância percorrida pelo carro A durante os primeiros 16 segundos. Do mesmo modo, a área sob a curva B éa distância percorrida pelo carro B durante o mesmo período de tempo. Exemplo 4

31 Exemplo 4 Assim, a área entre essas curvas, que é a diferença entre as áreas sob as curvas, é a distância entre os carros após 16 segundos.

32 Obtemos as velocidades a partir do gráfico e as convertemos para metros por segundo Exemplo 4

33 Exemplo 4 Usamos a Regra do Ponto Médio com n = 4 intervalos, de forma que t = 4. Os pontos médios dos intervalos são t e. 3 = 10, t 4 = 14 t = 2, t = 6, 1 2

34 Exemplo 4 Estimamos a distância entre os carros após 16 segundos da seguinte forma:

35 Para encontrar a área entre as curvas y = f(x) e y = g(x), onde f(x) g(x) para alguns valores de x, mas g(x) f(x) para outros valores de x, dividimos a região S dada em várias regiõess 1, S 2, com áreas A 1, A 2,...

36 Então, definimos a área da região S como a soma das áreas das regiões menores S 1, S 2,, ou seja, A = A 1 + A 2 + Como f ( x) g( x) f( x) g( x) = gx ( ) f( x) quando quando f( x) g( x) gx ( ) f( x) temos a seguinte expressão para A.

37 A área entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre x = a e x = b é: b A= f( x) g( x) dx a Definição 3 Quando calculamos a integral em (3), contudo, ainda devemos dividi-la em integrais correspondentes a A 1, A 2,.

38 Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen x, y = cos x, x = 0, e x = π/2. Os pontos de intersecção ocorrem quando sen x = cos x, isto é, quando x = π / 4 (porque 0 x π / 2). Exemplo 5

39 Exemplo 5 Observe cos x sen x quando 0 x π / 4 mas sen x cos x quando π / 4 x π / 2.

40 Portanto, a área pedida é: Exemplo 5

41 Neste exemplo particular, poderíamos ter economizado trabalho observando que a região é simétrica em relação x=π / 4. Então, Exemplo 5

42 Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como uma função de y. Se uma região é limitada por curvas com equações x = f(y), x = g(y), y = c, e y = d, onde f e g são contínuas e f(y) g(y) parac y d, então sua área é: c d [ ( ) ( )] A = f y g y dy

43 Se escrevermos x D para a fronteira direita e x E para a fronteira esquerda, então, como a Figura ilustra, teremos: Aqui um retângulo aproximante típico tem dimensões x D - x E e y.

44 Exemplo 6 Encontre a área limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y 2 = 2x + 6.

45 Resolvendo as duas equações, descobrimos que os pontos de intersecção são (-1, -2) e (5, 4). Isolamos x na equação a parábola e observamos pela Figura que as curvas de fronteira esquerda e direita são: Exemplo 6

46 Devemos integrar entre os valores apropriados de, y = -2 e y = 4. Assim 4 A= x x dy ( ) R ( ) ( ) ( 1 2 4) 2 L = y+ 2 2 y dy = y + y+ dy Exemplo y y = + + 4y = (64) = 18 ( )

47 Poderíamos ter encontrado a área no Exemplo 6 integrando em relação a x em vez de y, mas o cálculo é muito mais complicado.

48 Isso significaria dividir a região em duas e calcular as áreas A 1 e A 2. O método que usamos no Exemplo 6 é muito mais fácil.