SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PROBABILIDADE E GEOMETRIA

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1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PROBABILIDADE E GEOMETRIA Leitura e Análise de Texto O π e a agulha de Buffon O estudo da probabilidade, aparentemente, não tem uma ligação direta com a Geometria. A probabilidade trata da razão entre eventos, ao passo que a Geometria relaciona-se ao estudo das formas. Uma interseção entre esses dois assuntos parece um tanto improvável, dada a natureza distinta de cada um. Contudo, ao analisar um problema aparentemente banal, um naturalista francês do século XVIII, conhecido como Conde de Buffon, descobriu uma curiosa ligação entre esses dois assuntos. À primeira vista, o problema parece ser um tanto despretensioso. Ele consistia na observação e contagem de agulhas sobre um plano formado por linhas paralelas. Jogando ao acaso um punhado de agulhas de comprimento menor que a largura entre as linhas paralelas, o Conde de Buffon anotava quantas delas caíam sobre as retas e quantas caíam entre os espaços, sem tocar as linhas. Seu intuito era descobrir qual a probabilidade de uma agulha, jogada ao acaso no tabuleiro, cair sobre uma das linhas. caso favorável caso desfavorável Pode-se fazer isso por meio de sucessivas experimentações, contando-se os casos favoráveis e comparando-os ao total de lançamentos. Contudo, o Conde desejava obter uma fórmula que determinasse essa probabilidade teoricamente. Usando cálculos simples envolvendo ângulos e áreas de figuras planas, ele chegou à seguinte fórmula: P = 2a π. d Nela, P é a probabilidade de a agulha cortar uma das linhas do tabuleiro, a é o comprimento da agulha e d é a distância entre as linhas paralelas. No entanto, o fato mais 40

2 surpreendente da fórmula de Buffon é a presença da constante π. Algo que geralmente é usado para calcular o comprimento ou a área de um círculo aparece no cálculo de probabilidade. Para o caso particular em que a distância entre as linhas é o dobro do comprimento da agulha (d = 2a), a fórmula de Buffon pode ser escrita como P = π 1. Isso nos leva a outra possibilidade de uso da fórmula. Fazendo uma série de lançamentos de agulhas e calculando o valor de P experimentalmente, pode-se determinar o valor aproximado de π. De fato, essa estratégia, quando aplicada em um grande número de lançamentos, resulta em uma aproximação bastante aceitável para o valor de π. Alguns pesquisadores dedicaram-se a esses experimentos e obtiveram resultados surpreendentes: Lazzerini obteve uma aproximação de 3, para π após 3408 lançamentos. Entretanto, pode-se questionar o significado prático de tais procedimentos ou fórmulas. Para que saber a probabilidade de uma agulha cair sobre um feixe de paralelas? Por que determinar o valor de π por meio do lançamento de agulhas, se ele pode ser calculado de inúmeras maneiras mais simples? De fato, à primeira vista, a fórmula de Buffon não tem utilidade prática alguma. Todavia, anos mais tarde, ela serviu de base para uma das invenções mais importantes do século XX: o aparelho de tomografia computadorizada. Mas em vez de empregar linhas paralelas sobre um tabuleiro, esse aparelho trabalha com feixes de radiações paralelas. Usando a fórmula de Buffon, é possível determinar as dimensões de um objeto a partir de um feixe desse tipo, o que, de forma bastante simplificada, está por trás do funcionamento desse aparelho. Conexão Editorial O exemplo da agulha de Buffon é bastante ilustrativo para relativizar o argumento de que alguns assuntos de Matemática não têm aplicações práticas na vida real. Quando começaram os estudos sobre os fenômenos eletromagnéticos, no início do século XIX, muitos pensavam que se tratava de uma pesquisa inútil, sem nenhum interesse prático. Hoje em dia ninguém pode se imaginar vivendo em um mundo sem eletricidade, não é mesmo? 41

3 VOCÊ APRENDEU? 1. Com base no texto apresentado na seção Leitura e Análise de Texto, responda: a) Qual era o intuito original do experimento do Conde de Buffon? b) O que ele acabou descobrindo nessa experiência? c) Como obter um valor aproximado de π com base na experiência do Conde de Buffon? d) Como você avalia a questão da utilidade prática do experimento realizado pelo Conde de Buffon? 42

4 2. Responda as questões a seguir. a) Use a fórmula do Conde de Buffon e calcule a probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma linha de um tabuleiro formado por linhas paralelas distantes 3 cm umas das outras. Use uma calculadora e expresse o resultado em porcentagem (use π 3,14). b) O que acontece com essa probabilidade se a distância entre as linhas do tabuleiro for o dobro do comprimento da agulha? 43

5 c) Qual deve ser a distância entre as linhas de um tabuleiro para que a probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma das linhas seja de 50%? VOCÊ APRENDEU? 3. Considere uma roleta circular com um ponteiro central móvel. Ao girarmos livremente esse ponteiro, ele vai parar em uma determinada região da roleta. a) Na roleta representada a seguir, o ângulo correspondente ao setor I mede 60 e o correspondente ao setor III, 180. Calcule a probabilidade de o ponteiro da roleta, ao ser girado livremente, parar na região II. II I III 44