Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 1 / 19

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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 1 / 19

2 Distribuições Contínuas Apresentaremos agora alguns dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias contínuas. Distribuição Uniforme A distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades contínua mais simples de conceituar. No modelo uniforme, a probabilidade de gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral é proporcional ao tamanho do intervalo. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 2 / 19

3 A Distribuição Uniforme Definição:SuponhaqueXsejaumav.a.contínuaquetometodosos valores no intervalo [a, b], no qual a e b sejam ambos finitos. Se a fdpdexfordadapor 1, a x b, f ( x ) = b a 0, para qualquer outro valor, f(x) Diremos que X é uniformemente distribuída sobre o intervalo [a, b] a b x 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 3 / 19

4 Comentários: A Distribuição Uniforme i) Uma v.a. uniformemente distribuída tem uma função densidade de probabilidade que é constante sobre o intervalo de definição. A fim de satisfazer à condição - + f(x)dx =1, essa constante deve ser igual ao inverso do comprimento do intervalo. ii) Uma v.a uniformemente distribuída representa o análogo contínuo dos resultados igualmente prováveis, no seguinte sentido. Para qualquer intervalo [c, d], onde a c < d b, P(c X d) é a mesma para todos os subintervalos que tenham o mesmo comprimento, isto é, d d c P( c X d) = f ( x) dx = c b a Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 4 / 19

5 Ilustração de um experimento uniforme Considere um segmento de comprimento 2π. Vamos unir as duas pontas desse segmento e formar um círculo de raio unitário. O comprimento desse círculo é precisamente 2π. Vamos fixar um ponteiro no centro desse círculo e vamos então girá-lo, observando-o até que ele venha a parar. Por razões de simetria nós vemos que a chance do ponteiro parar em qualquer arco do círculo é a mesma para qualquer arco de um comprimento dado. Seja X o comprimento do arco determinado pela origem e pelo ponto onde o ponteiro para. Assim temos uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (0,2π). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 5 / 19

6 A Distribuição Uniforme Função de distribuição acumulada F ( x) = P ( X x) = f ( s) ds = 0, se x < 0 x a =, se a x < b b a = 1, se x b x 1 a b 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 6 / 19

7 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos 2 b + b 1 1 x E[ X ] = xf ( x) dx = x dx = a b a b a b a = b a 2 1 ( b a)( b + a) = b a 2 a + b = 2 a Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 7 / 19

8 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos Variância da distribuição uniforme 3 b + b x E[ X ] = x f ( x) dx = x dx = a b a b a 3 1 b a = b a b a = 3( b a) 3 3 a 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 8 / 19

9 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos ( ) 2 V a r X E X E X 2 ( ) = [ ] [ ] 3 3 b a a + b = 3 ( b a ) 2 ( b a ) ( b + a b + a ) a + 2 a b + b = 3 ( b a ) 4 = ( 4 b + 4 a b + 4 a ) ( 3 a + 6 a b + 3 b ) b 2 a b + a = ( b a ) = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 9 / 19

10 FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 10 / 19

11 Exemplo 1: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [0, 2]. Qual será a probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 1 e 3/2? Seja Xa v.a.que representa a coordenada do ponto escolhido, então, a fdpde Xserá dada por Portanto 1, x [0, 2] f ( x) = 2 0, x [0, 2] P(1 x 3/ 2) = = = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 11 / 19

12 Exercício 1: Encontre a função de distribuição acumulada de X em que X U[0,1]. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 12 / 19

13 Exercício 2: Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre [ α, α], com α > 0. Determine α de modo que as seguintes relações sejam satisfeitas: a) P(X > 1) = 1/3. b) P(X > 1) = 1/2. c) P( X < 1) = P( X > 1). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 13 / 19

14 Exercício 2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 14 / 19

15 Exercício 3: Mostre que a função densidade de uma variável aleatória uniforme satisfaz as condições de uma função densidade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 15 / 19

16 Distribuições Contínuas de Probabilidade Exercício 4: A espessura de chapas fabricadas numa indústria está uniformemente distribuída entre 0,84 cm e 1,04 cm. a) De um total de 200 chapas inspecionadas, quantas excedem 1,00 cm? b) Qual deve ser a espessura de modo que 40% das chapas não excedam essa espessura? 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 16 / 19

17 Exercício 4: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 17 / 19

18 Exercício 5: Um corpo de bombeiros está para ser construído ao longo de uma estrada de comprimento A, A <. Se incêndios ocorrem de maneira uniforme ao longo desta estrada, onde o corpo de bombeiros deveria ser instalado para minimizar a distância esperada ao incêndio? Isto é, determine a que minimize E[ X a ], onde X, que denota a posição da ocorrência de um incêndio nesta estrada, é uniformemente distribuído em [0, A]. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 18 / 19

19 Exercício 5: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Uniforme 11/13 19 / 19