EXPERIÊNCIA M018-TE CONSTANTE ELÁSTICA DA MOLA

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1 UFSC CFM DEPARTAMENTO DE FÍSICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA, ACÚSTICA E TERMODINÂMICA EXPERIÊNCIA M018-TE CONSTANTE ELÁSTICA DA MOLA 1 OBJETIVOS Determinar experimentalmente o valor da constante elástica k para uma mola. Utilizar análise estatística e cálculo de propagação de erros em medidas experimentais. 2 TEORIA E DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO Molas estão presentes em dispositivos de diversos tipos, e sua compreensão tem aplicações em escalas micro e macroscópicas, de canetas a carros, de átomos a estrelas. Recapitulando a teoria básica, quando esticadas (ou comprimidas), molas exercem uma força restauradora F dada pela lei de Hooke: F = k x, (1) onde x mede a deformação da mola com respeito a seu comprimento natural. Sabemos também que quando penduramos um corpo de massa m na mola e o perturbamos levemente, o sistema oscila como um oscilador harmônico simples cujo período T satisfaz: T = 2π m k. (2) Em ambas equações a constante elástica k mede o grau de rigidez da mola. Molas com k grande exercem grandes forças restauradoras e causam oscilações mais rápidas. Já molas com k pequeno são mais fáceis de esticar e comprimir, e oscilam com períodos maiores. Nesta experiência determinaremos a constante elástica de uma mola de duas maneiras independentes. Parte 1: Na primeira parte usaremos medidas da massa (m) e do período de oscilação (T) de um sistema massa mola para calcular a constante elástica através da relação entre k, m e T dada pela equação 2. A massa será medida diretamente em uma balança analítica. O período de uma oscilação completa será medido com um cronômetro. Porém, como a oscilação é rápida e nossa habilidade de disparar e parar o cronômetro é limitada, ao invés de medir o período diretamente mediremos o tempo t para muitas oscilações, o que torna o procedimento mais preciso. Parte 2: Na segunda parte mediremos a deformação (x) da mola quando nela penduramos uma massa m, e calcularemos k através da lei de Hooke (equação 1). Em ambas partes determinaremos tanto k quanto sua incerteza Δk, obtida através da propagação dos erros nas variáveis envolvidas.

2 3 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL PARTE 1: 1 - Adicione ao suporte duas das massas disponíveis. Meça na balança a massa (m) do conjunto (suporte + massa) e anote na tabela Suspenda a massa m na mola e desloque-a levemente da posição de equilíbrio. Solte a massa e cronometre o tempo t que ela leva para completar n = 20 oscilações. Repita a medida do tempo t até completar a tabela Complete a tabela 1 calculando o período de oscilação do sistema (T = t / 20). Não esqueça de colocar o número de algarismos significativos corretos. PARTE 2: 1 - Adicione ao suporte duas das massas disponíveis. Meça na balança a massa (m) do conjunto (suporte + massa) e anote na tabela Suspenda a mola (sem nenhuma massa pendurada) e marque na haste a posição da parte inferior da mola. Adicione agora o suporte com as massas à mola e meça a deformação (x) resultante usando a trena. Anote o valor na tabela 2. 4 ANÁLISE DOS DADOS PARTE 1: 1 - Complete a tabela 3 calculando os valores solicitados. 2 - Calcule o erro propagado no cálculo de k, preenchendo a tabela 4 com a fórmula utilizada (coloque o cálculo das derivadas parciais e o valor do erro total para cada variável) e o valor numérico encontrado. 3 - Complete a tabela 5, escrevendo os valores encontrados para m, T e k de acordo com a teoria de erros. PARTE 2: 1 - Use a equação 1 com F = mg e os dados da tabela 2 para calcular o valor de k. Utilize o valor da aceleração da gravidade g = 979,15 cm/s 2. Anote o resultado na tabela Considerando o valor de g fornecido como uma constante exata, calcule o erro propagado de k devido às incertezas em m e x. Note que neste caso temos erros de escala, já que temos apenas uma medida para cada variável. Anote o resultado na tabela Escreva seu resultado para k e sua incerteza de acordo com a teoria de erros na tabela 7.

3 UFSC - CFM DEPARTAMENTO DE FÍSICA FSC FÍSICA EXPERIMENTAL I T Q NR DIA DA SEMANA: TURNO: DATA: GRUPO: COMPONENTES: EXPERIÊNCIA M018-TE CONSTANTE ELÁSTICA DA MOLA DADOS FICTÍCIOS TABELA 1 m (g) t (s) T (s) 100,00 ± 0,01 14,00 ± 0,01 0, ,03 ± 0,01 0, ,06 ± 0,01 0, ,09 ± 0,01 0, ,12 ± 0,01 0,7060 Obs: Muita gente usa parênteses e unidades nas tabelas. Não precisa! TABELA 2 m (g) x (cm) 100,00 ± 0,01 18,13 ± 0,05 TABELA 3 Parte 1 Média de T T 0, s Desvio padrão de T σ(t) 0, s Erro aleatório provável em T E ap (T) 0, s Erro total em T (= E esc + E ap ) ΔT 0, s Constante elástica da mola k = 4π 2 m / T ,44790 g/s 2 Erros comuns: (1) Não indicar as unidades; (2) Errar o ΔT esc = Δt esc /20 = 0,0005 s

4 TABELA 4 Erro propagado em k Parte 1 Fórmula e cálculos Valor Para os matematicamente curiosos: uma maneira mais elegante/compacta de exprimir o mesmo resultado: 23,0879 g / s 2 Erros comuns: (1) Derivadas, (2) Não escrever a formula (só as contas); (3) Usar o ΔT errado na conta; (4) Esquecer unidades de Δk; (5) Erros de conta! TABELA 5 Resultado final Parte 1 m = ( 100,00 ± 0,01 ) g T = ( 0,703 ± 0,002 ) s k = ( 509 ± 2 ) x 10 1 g / s 2 Erros comuns: (1) Não arredondar na casa do erro; (2) Usar vários algarismos significativos para o erro

5 TABELA 6 Parte 2 k = mg /x = 100,00 * 979,15 / 18,13 = 5400,7170 g / s 2 Fórmula e cálculos Valor Δk = Para os matematicamente curiosos: uma maneira mais elegante/compacta de exprimir o mesmo resultado: 15,434 g / s 2 Erros comuns: Os mesmos da tabela 4. TABELA 7 Resultado final Parte 2 k = ( 540 ± 2 ) x 10 1 g / s 2 Erros comuns: Os mesmos da tabela 5.

6 5 QUESTIONÁRIO 5.1 Compare as constantes elásticas obtidas nas partes 1 e 2 da experiência. Lembre que em ambas partes determinamos tanto k como Δk, de modo que essa comparação envolve a comparação de dois intervalos de valores: k 1 ± Δk 1 e k 2 ± Δk 2. As duas determinações são compatíveis entre si? Comente. Erros comuns: (1) Não comparar intervalos. (2) Não comentar o resultado. (3) Comparar os erros em k achando que eles deveriam ser iguais ou parecidos. 5.2 Suponha que você precise determinar k com maior precisão na 1 a parte da experiência. O que vale mais a pena: Comprar uma balança com maior precisão ou medir o tempo de forma mais precisa? Justifique sua resposta com base nas contribuições de Δm e ΔT ao erro propagado Δk. Erros comuns: (1) Não comparar os Δk s devido a Δm e ΔT, tal qual usados na propagação de erros (apesar de isso ser dito explicitamente no enunciado da questão). Para os dados da experiência Δk(T) = 8π 2 mt -3 ΔT = 22,58 g/s 2 é muito maior que Δk(m) = 4π 2 T -2 Δm = 0,51 g/s 2, portanto o gargalo está no período, não na massa. (2) Comparar Δm com ΔT, como se coisas com unidades diferentes pudessem ser comparadas... (0,01 gramas > 0,002 segundos?) 5.3 Podemos combinar as duas partes da experiência para estimar o valor da aceleração da gravidade. Da equação 1 temos que g = k x / m. Como a mola é a mesma nas partes 1 e 2, podemos calcular g usando o valor de k obtido na parte 1 e as determinações de x e m da parte 2. Calcule o valor de g dessa maneira. Não é preciso calcular o erro propagado Δg, mas escreva o resultado obedecendo as regras de operações com algarismos significativos. Qual o erro percentual em comparação com o valor tabelado de g? Erros comuns: (1) Não arredondar g como manda o figurino. Neste caso, g = k x / m = 5085,44790 x 18,13 / 100,00 deve ser escrito com 3 algarismos significativos (o número de significativos de k segundo a tabela 5); (2) Esquecer a unidade de g.