Uso de escalas logaritmicas e linearização

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1 Uso de escalas logaritmicas e linearização Notas: Rodrigo Ramos 1 o. sem Versão 1.0 Obs: Esse é um texto de matemática, você deve acompanhá-lo com atenção, com lápis e papel, e ir fazendo as coisas que são pedidas ao longo do texto. Muitos textos e videoaulas também estão disponíveis na rede sobre o assunto (tem o link de um em em Material Extra). 1 Utilização de escalas logaritmicas Reconhecer a relação entre duas dadas quantidades é um problema central para o controle e previsão. Duas leis tendenciais são muito comuns: A exponencial: y = cb ax A lei de potência: y = bx a Um dos recursos mais populares é o uso de escalas logaritmicas, tanto na apresentação de dados, quanto na determinação da relação entre as duas variáveis x e y, e obtenção das constantes é feito a partir Alguns exemplos extraídos do mundo abaixo. Note que os pontos se distribuem não exatamente sobre as linhas, isso é natural no mundo real. As leis (todas, incluindo as leis físicas) feitas para o mundo real são idealizações de padrões. Entretanto ao se realizar medidas no mundo real existem flutuações. Quanto mais próximo se conseguisse eliminar flutuações externas mais próximos os valores se tornam da lei esperada. Abaixo mostraremos leis tendenciais, obtidas não da teoria, mas da prática. Busca-se a partir dos dados disponíveis pela realidade limpar o que haveria de tendência. Caso encontre erros ou coisas do tipo, por favor me avise. [email protected], ou pessoalmente.

2 1.) Exponencial: A Lei de Moore sugerida no início da escalada dos computadores, em : O número de transistores em cada CPU irá dobrar a cada 2 anos 1. Número de transistores em um microprocessador lançado no ano correspondente, desde 1971 (número inicial transistores no primeiro microchip: o Intel 4004.) A lei expressa tem, portanto, a equação (aproximadamente): N = ,5(x 1971), ou se preferir, em base 10: N = (0,5 log 2)(x 1971). 2.) Lei de Potência: Custos de empreendimentos semelhantes em escalas distintas. Abaixo o gráfico construído a partir de uma tabela de custos de estações de tratamento de água, em termos da quantidade de água tratada (que dita a escala da estação, e portanto seu custo de fabricação). 1 Para mais detalhes sobre a lei: Para contrapontos atuais, ligados aos limites da miniaturização, artigos como Moore s Law is dead, long live Moore s Law,

3 Custo de construção (em milhões de dólares) para o fluxo planejado [Design Flow], (em milhões de galões por dia (MGD), 1 galão (US) = 3,78541 litros). A equação da tendência está apresentada no gráfico. 2 3.) Lei de Potência: Sensor de gás HWSensor (modelo MQ-7, eletrônico. Abaixo a curva de sensibilidade obtida no manual deste sensor. Relaciona-se a concentração de um gás a que o sensor está exposto (medido em ppm: parte por milhão ) com a medida da resistência elétrica (R S ) do sensor, dada em relação a um valor de referência R 0. Para o monóxido de carbono, CO (C: concentração, em ppm): R S R 0 CO = 20.2C Fonte: Mais detalhes do estudo:

4 2 Linearizando a exponencial: papel monolog Considere a tabela abaixo, construída com a exponencial 3 : y = 4 3 2x x y O gráfico de y por x é uma curva, figura abaixo. Por sua vez, os mesmos pontos de y por x, em escala logaritmica no eixo-y e linear no eixo-x (gráfico mono-log) a curva vira reta: 3 vou usar pontos como separador decimal

5 Assim, sempre que você tiver uma tendência exponencial em quaisquer dados ao representar graficamente, obterá uma reta. Restas são fáceis de reconhecer e de caracterizar, portanto essa simplicidade extrema é muito utilizada dessa maneira esperta. Cálculo de constantes Sobre esse gráfico monolog, se é uma reta identificamos os coeficientes da reta Y = Ax + B, A e B: altura onde a reta cruza o eixo-y (x=0), B inclinação da reta, A = log y x = log y 2 log y 1 x 2 x 1 = a log b Os valores de B e A, traduzem uma função exponencial y = B 10 Ax. Isso é equivalente à y = c b ax, com B = c, A = a log b. Assim, conferindo para esse exemplo: 1) Do gráfico: B = 4. 2) O coeficiente de inclinação A tem que ser calculado não com y log y, mas com x x. Assim, escolhendo dois pontos da reta: x = 1.25, y = 62.4; x = 2.75, y = A equação fica, então: A = log log = = y = x

6 Você poderia dizer: mas isso é diferente de y = 4 3 ( 2x). Será? Note 3 2 = 10 2 log 3, mas 2 log 3 = Ou seja: y = 4 3 2x = x Pelas aproximações que consideramos no cálculo em vez de obtivemos Se a tabela tivesse mais algarismos esse número estaria mais próximo do valor ideal. Esse procedimento aplicado aqui já pode ser usado por você para ajustar qualquer exponencial no monolog. Pelo fato de você usar papel log decimal a base da sua função sempre será 10, mas já sabemos que a base tanto faz (tanto que sua calculadora tem base 10 e base e, apenas, e nós fazemos cálculos para qualquer base usando propriedades do logaritmo). Exercícios 1. Verifique com uma tabela y = 4 3 2x = x 2. A partir do gráfico da seção de introdução (Lei de Moore), faça você mesmo o seu ajuste para os coeficientes da reta, considere dois pontos quaisquer em cima da linha desenhada. 3. Faça em papel monolog o gráfico das funções: y = 2 x, y = 10 x, y = 2 2 2x. 4. Considere a evolução dapopulação brasileira (tabela abaixo). censo pop. (milhões) fonte: IBGE, aproximação em milhões dos valores originais. a) Coloque os pontos em um gráfico monolog, considere x = 0 em b) Trace sobre os pontos com uma régua uma curva tendencial. c) Obtenha os valores dos parâmetros A e B da curva tendencial, y = B 10 Ax.

7 3 Linearizando a lei de potência: papel dilog Considere a função y = 2x 4, tabelando valores: x y O gráfico de y por x é uma curva, figura abaixo. Em escala log nos dois eixos (dilog), temos uma reta, conforme se vê no gráfico abaixo. Note que não podemos representar o ponto x=0, y=0 no gráfico agora.

8 Cálculo de constantes Sobre esse gráfico monolog, se é uma reta identificamos os coeficientes da reta Y = Ax + B, A e B: altura onde a reta tem x=1, B inclinação da reta, A = log y log x = log y 2 log y 1 log x 2 log x 1 Os valores de B e A, traduzem uma lei de potência y = B x A. Fazendo para esse exemplo, no gráfico acima determinamos: 1) pela leitura direta: B = 2 (altura, y, quando x = 1). 2) Para o coeficiente angular vamos escolher dois pontos da reta:x= 1.25, y=4.9; e x=2.75, y=114.4; Assim: A = log log 4.9 log 2.75 log 1.25 = = Onde o resultado final, novamente, foi aproximado ao valor ideal 4, por conta da tabela conter aproximações. A Lei fica então: y = 2 x 4. Esse procedimento aplicado aqui já pode ser usado por você para ajustar qualquer lei de potência no monolog. Pelo fato de você usar papel log decimal a base da sua função sempre será 10, mas já

9 sabemos que a base tanto faz (tanto que sua calculadora tem base 10 e base e, apenas, e nós fazemos cálculos para qualquer base usando propriedades do logaritmo). Note que leis de potência são quaisquer funções do tipo y = bx a, ou seja: uma parábola centrada em zero e na origem, y = ax 2, uma reta (que passe pela origem) y = ax, uma cúbica centrada em zero na origem y = ax 3, uma função raiz-quadrada: y = ax 0, 5. Todas essas curvas tornam-se retas no papel dilog. Exercícios a) Obtenha a função do gráfico dos exemplos no início do texto, para o problema do custo de construção das estações de tratamento de água. b) Obtenha a função do gráfico dos exemplos no início do texto, para o problema dos sensores: a) Considerando a detecção de H 2 ; b) Para a detecção de CH 4. c) d) Considere a tabela abaixo 4. Procura-se pela relação entre a frequência observada, f, e a tensão com que se estica o fio que é da forma de lei de potência, f = B T A. Para tanto o experimentador controla a frequência com que se vibra a corda por meio de um gerador de frequências acoplado à corda por meio de um autofalante e uma haste conectada à corda, e a tensão da corda pelo peso do corpo pendurado em uma das extremidades. A frequência é ajustada para que se obtenha 3 antinós (barriga, ou ventre) da onda estacionária para cada valor do peso pendurado. É anotado o valor da tensão (peso do corpo pendurado) e da frequência para que se produza a onda com 3 antinós. Os resultados obtidos são apresentados na tabela. Tensão (N) Frequência (Hz) a) Coloque no papel dilog os pontos de tensão contra frequência da tabela. 4 Dados extraídos da página experimento Lab: Traverse Waves, Standing Waves on a String.

10 b) Trace uma reta média que represente a tendência passando pela maior quantidade de pontos possível. c) Calcule os coeficientes da lei de potência entre f = B T A 4 Na vida prática Naturalmente que na vida prática, hoje que temos computadores, você não precisa de colocar uma infinidade de dados no papel monolog ou dilog. Mas esse recurso está disponível nos programas de gráficos, como o Excel, LibreOffice, etc... Para o Excel, por exemplo, você pode buscar como se faz no google. Por exemplo nesta referência: Criando gráficos em escala logarítmica no Excel, De modo que a aplicação de gráficos log é muito simples, sempre que você tiver tabelas cujas tendências possam ser exponenciais: coloque o monolog. Se tiver um conjunto de dados tais que se x=0, y=0, coloque no dilog. No curso de cálculo numérico vocês estudarão, ainda, o procedimento de ajuste de retas, que é o jeito correto de determinar a reta que melhor aproxima dados. Em conjunto, essa técnica e a linearização, foram e são ferramentas fundamentais na análise e interpretação de dados. 5 Apêndice 5.1 Exponencial: monolog O exemplo que usamos: y = 4 3 2x, considere a tabela, mas calcule o log dos valores de y: x y log y O gráfico de log y por x, calculado na tabela anterior (log y é a terceira coluna), é uma reta, conforme a figura abaixo. Assim, se isso é uma reta de log y como função de x, então é possível descobrir os parâmetros que caracterizam essa reta diretamente do gráfico. O papel logaritmo atua distorcendo a escala para fingir que você estivesse fazendo o gráfico de log y. Por isso a mesma distância entre 1 e 10, e 10 e

11 O fato da exponencial cair em uma reta é visto diretamente se aplicamos o logaritmo sobre a função exponencial: y = c b ax : Por sua vez o gráfico de log y por log x é uma reta, conforme a figura abaixo. y = cb ax log y = log c b ax log y = log c + log b ax log y = log c + xa log b Note que a última equação é precisamente a de uma reta de log y contra x. A inclinação da reta será, então, dependente de: log y x. 5.2 Lei de potência: dilog O exemplo que usamos: y = 2 x 4, considere a tabela, mas calcule o log dos valores de x e de y: x y logx log y Aplicando novamente o log sobre a função lei de potência: y = b x a : y = bx a log y = log bx a log y = log b + log x a log y = log b + a log x Vemos que isso é uma reta no plano log y contra log x. A inclinação da reta será, então, dependente de log y log x.