Aula II. Representação gráfica e regressão linear. Prof. Paulo Vitor de Morais

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1 Aula II Representação gráfica e regressão linear Prof. Paulo Vitor de Morais

2 Representação gráfica A representação gráfica é uma forma de representar um conjunto de dados de medidas que permite o estudo do comportamento das grandezas físicas envolvidas nessas medidas; A abordagem gráfica, além de fornecer rapidamente o comportamento do sistema de forma visual, permite obter maiores informações do objeto em estudo; A partir da representação gráfica de uma função é possível fazer a conexão entre duas ou mais grandezas físicas;

3 Nesse contexto, temos que levar em consideração duas grandezas físicas: Grandezas independentes; Grandezas dependentes; Velocidade Dependente Tempo Tempo é uma grandeza independente

4 A representação gráfica pode ser do tipo: pizza ;

5 Coordenadas cartesianas. Nesse caso é um gráfico de dispersão; Barras;

6 Coordenadas polares; Coordenadas esféricas; Entre outras; No caso do gráfico de dispersão, temos: Volume de efluente grandeza dependente; Hora grandeza independente; Logo, o volume de efluente foi coletado em função do tempo; A variável dependente é representada no eixo das ordenadas (y), e a variável independente no eixo das abcissas (x); É possível observar que temos o volume aumentando de forma linear em função do tempo; Dessa forma, podemos traçar uma reta de função do tipo f x = ax + b; a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear;

7 Traçando a reta, temos: O volume coletado em função do tempo fornece a vazão do líquido; V m3 volume m3 = t tempo h Essa informação pode ser extraída do conjunto de dados; Porém, ela pode ser obtida mais facilmente pela representação gráfica por meio do coeficiente angular; Logo, utilizando uma função linear é possível representar o conjunto de dados e estimar a vazão (considerando a vazão constante);

8 Para se chegar à melhor reta que representa conjunto de dados em um gráfico é necessário obter os valores dos coeficientes angular (a) e linear (b);

9 Método gráfico: papel milimetrado Um dos papéis mais utilizados para a construção de gráficos é o de escala milimetrada; Ele possui as escalas principais a cada 10 mm e escalas secundárias a cada 1 mm; As escalas principais dependem do conjunto de dados e da dimensão do papel; Para a construção de gráficos nesse tipo de papel é necessário conhecer a orientação em que se vai representar e os valores para as escalas principais;

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11 Por exemplo: Considere o conjunto de dados a seguir: Imagine que a dimensão do papel milimetrado é 180 mm x 280 mm; 1º - verificar a amplitude de valores das escalas para conhecer a orientação a ser utilizada; Considerando a construção a partir da origem, temos: Amplitude no eixo y = = 300 Amplitude no eixo x = 15 0 = 15 Vemos que a amplitude do eixo y é maior. Assim, vamos seguir as regras: Se a amplitude na escala x é maior, devemos trabalhar com o papel na orientação paisagem; Se a amplitude na escala y é maior, devemos trabalhar com o papel na orientação retrato;

12 2º - calculo dos valores para as escalas principais e secundárias; Utilizamos regra de três entre as dimensões do papel e as escalas do conjunto de dados; Para a dimensão de 280 mm x 180 mm, teremos para o eixo x os seguintes cálculos: Para a escala principal: 280 mm equivalem a 300 (unidades de grandeza) 10 mm equivalem a 10,71 (unidades de grandeza) = 11 (arredondando)* *O arredondamento deve ser feito sempre para um valor maior! Para a escala secundária: 10 mm equivalem a 11 (unidades de grandeza) 1 mm equivale a 1,1 (unidade de grandeza) É necessário marcar apenas os intervalos da escala principal;

13 Para o eixo y e para sua escala principal, temos: 180 mm equivalem a 15 (unidades de grandeza) 10 mm equivalem a 0,83 (unidades de grandeza) = 1 (arredondando). Para a sua escala secundária: 10 mm equivalem a 1 (unidades de grandeza) 1 mm equivale a 0,1 (unidade de grandeza) Agora é só construir o gráfico! Quando a função é linear é possível obter o coeficiente angular (a) e linear (b) de uma reta que se ajuste no conjunto de dados a partir da equação: a = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 Já o coeficiente b pode ser obtido usando o valor da interseção da curva com o eixo y (0;b);

14 Método gráfico: papel em escala logarítmica Há dois papéis em escala log: mono-log e di-log; São utilizados para representar funções logarítmicas na forma de gráficos; Mono-log A aplicação se dá para funções do tipo: f x = AE x mono-log Aplicando o log em ambos os lados da função teremos: log f = log A + x log(e) (contém uma variável logarítmica) Considerando A e E constantes

15 Esta função: Se parece com essa: log f = log A + x log(e) Y = Ax + B Assim, pode-se plotar um gráfico de log f versus x em um papel milimetrado, com coeficiente angular e linear sendo loga e loge, respectivamente. Isso é a linearização a função log f = log A + x log(e) Para representá-la em um papel mono-log, não é necessário calcular o log(f) mas sim utilizar apenas o valor de f; O cálculo do coeficiente angular é da forma: a = y x = logy 2 logy 1 x 2 x 1 para log na base 10; a = y x = lny 2 lny 1 x 2 x 1 e: para log neperiano;

16 O uso do papel di-log é necessário para funções do tipo: f x = Ax n di-log log f(x) = log A + n log(x) (contém duas variáveis logarítmicas) log A é o coeficiente linear e n é o angular; O gráfico plotado fica da forma log f(x) versus log(x) Isso é a linearização a função log f(x) = log A + n log(x) O coeficiente angular é obtido pelas seguintes equações: a = y x = logy 2 logy 1 logx 2 logx 1 a = y x = lny 2 lny 1 lnx 2 lnx 1 O coeficiente linear pode ser obtido escolhendo uma coordenada da reta no plano do gráfico e substituindo os valores de f(x) e n na equação acima;

17 No papel mono-log e di-log, as escalas se iniciam em 10 N e terminam em 10 N+1 ;