FÍSICA EXPERIMENTAL III CONTRUÇÃO DE GRÁFICOS

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1 FÍSICA EXPERIMENTAL III José Fernando Fragalli Departamento de Física Udesc/Joinville CONTRUÇÃO DE GRÁFICOS A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante dos nossos olhos o Universo mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática Galileu Galilei

2 1. Introdução Relembrando o Método Científico 2. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros

3 1. INTRODUÇÃO O MÉTODO CIENTÍFICO O Método Científico Definir e/ou indentificar o problema Formar uma hipótese Fazer observações (Medidas de grandezas físicas) Organizare analisardados (Tratamento de Dados) Os experimentos e observações suportam a hipótese? Não Testar hipótese/fazer experimentos Novos experimentos Erro nos experimentos? Sim! Fazer conclusões Publicar resultados 3

4 1. Introdução Relembrando o Método Científico 2. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3. Generalidades sobre Construção de Gráficos 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros

5 2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Representação cartesiana de uma grandeza Seja uma grandeza física dependente u. Vamos admitir que u varie em função de outra grandeza física z, esta agora uma variável independente. Representamos matematicamente o que está escrito acima na forma u = f ( z) Se a função u = f(z) for conhecida de forma explícita pode-se representá-la graficamente em um sistema de coordenadas cartesianas. 5

6 2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Definições: abcissas e ordenadas Um sistema cartesiano consiste de duas retas perpendiculares entre si, tal que a) eixo x (abcissas), onde é representado a variável independente z. b) eixo y (ordenadas), onde é representado a variável dependente u. No laboratório medimos um conjunto de de grandezas (z i,u i ), a partir do qual construímos um gráfico que representa o fenômeno. 6

7 2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Exemplo de representação cartesiana No gráfico cartesiano, a cada par ordenado (x i,y i ) (z i,u i ) corresponde um ponto no eixo das abcissas x i = z i e no eixo das ordenadas y i = u i. O conjunto dos pontos experimentais P i (z i,u i ) é denominado curva da função u = f(z). Como construir um gráfico? Que técnicas utilizar? 7

8 1. Introdução Relembrando o Método Científico 2. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3. Generalidades sobre Construção de Gráficos 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros

9 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Seleção do tipo de escala a ser usada No dia a dia do laboratório em geral usamos três tipos de escala para a construção de gráficos: a) Escala milimetrada: ambos os eixos (abcissa e ordenada) são descritos com escalas lineares, como mostrado ao lado. 9

10 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Mais tipos de escala usadas No dia a dia do laboratório em geral usamos três tipos de escala para a construção de gráficos: b) Escala mono-log: um dos eixos (em geral a abcissa) tem escala linear e o outro (em geral a ordenada) tem escala logarítmica, como mostrado ao lado. 10

11 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Agora o último tipo de escala usada No dia a dia do laboratório em geral usamos três tipos de escala para a construção de gráficos: c) Escala di-log: os dois eixos (abcissa e ordenada) tem escala logarítmica, como mostrado ao lado. 11

12 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Regra geral da escolha da escala Para cada experimento (conjunto de pontos experimentais (xi,yi)) devemos escolher o tipo de escala adequada para representar o fenômeno físico desejado. 12

13 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Definição dos eixos No eixo das abcissas (eixo horizontal) deve ser registrada a variável independente (eixo dos x). Esta variável estás associada à grandeza física que, ao variar, assume valores que não dependem dos valores da outra grandeza física. No eixo das ordenadas (eixo vertical) deve ser registrada a variável dependente (eixo dos y). Esta variável estás associada à grandeza física que, ao variar, depende de como varia a outra grandeza física. 13

14 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Exemplo da definição dos eixos Seja um experimentador medindo o volume (V) que um admite a uma dada temperatura (T). Neste caso, o volume varia de acordo com a temperatura, e não o contrário. Assim, o gráfico y versus x (V T) deve ser de V versus T (V T), e nunca de T versus V, pois V = V(T). 14

15 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Registro da variável independente O símbolo que representa a grandeza da variável independente deve ser registrada na parte inferior do eixo das abcissas, à direita. Importantíssimo: o símbolo da grandeza física deve ser registrado com sua respectiva unidade entre parênteses. 15

16 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Registro da variável dependente O símbolo que representa a grandeza da variável dependente deve ser registrado na parte superior do eixo das ordenadas, à esquerda. Importantíssimo: o símbolo da grandeza física deve ser registrado com sua respectiva unidade entre parênteses. 16

17 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Considerações gerais sobre o registro das variáveis Observe que a unidade da grandeza física pode incluir potências de 10 (notação científica). O expoente de uma potência de 10 pode ser positivo ou negativo. Também podemos usar os prefixos comumente usados para representar potências de

18 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS O uso de planilhas no auxílio à construção de gráficos As planilhas de cálculo podem ser muito úteis na confecção de gráficos. Sua utilidade torna-se evidente no momento de distribuir os pontos experimentais através do plano cartesiano. Toda planilhas contém um algoritmo interno que automaticamente otimiza o uso do espaço do gráfico. Por otimização entende-se ocupar o melhor possível o espaço da folha de papel com os pontos experimentais. 18

19 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Alguns detalhes gerais sobre as planilhas O algoritmo interno da planilha já define os fatores de escala que definem o tamanho de cada eixo. Assim, não precisamos nos preocupar com definirmos os fatores de escala em cada eixo. Também nas planilhas de cálculo a escala usada em um eixo é totalmente independente da escala usada no outro. Nas planilhas a escala logarítmica não é flexível: uma vez que ela própria escolhe uma potência de 10 as demais estão automaticamente definidas. 19

20 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS O que em geral as planilhas não fazem... Como todo programa de computador, as planilhas de cálculo vem com uma situação de default, isto é, com uma configuração básica. Esta configuração básica pode e deve ser alterada de acordo com os dados experimentais a serem lançados para a construção do gráfico. Por exemplo, é necessário editar no gráfico os valores que a planilha. Os valores indicados nos eixos devem ter a mesma quantidade de algarismos significativos das medidas. 20

21 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Marcação dos pontos experimentais É fundamental que os pontos experimentais sejam bem marcados no gráfico. Os pontos devem ser identificados por um sinal que não deixe dúvidas sobre sua localização. Exemplos de marcadores: 21

22 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Marcação dos pontos experimentais Depois de marcado o ponto experimental não faça nenhuma marcação adicional. Não faça tracejados desde o ponto até os eixos. Identifique apenas os pontos experimentais! 22

23 Traçado da curva CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS O traçado da curva deve ser suave e contínuo, ajustandose o melhor possível aos pontos experimentais. Nunca una os pontos experimentais por linhas retas. Caso isto seja feito indicaria que a relação entre as grandezas físicas é descontínua, o que dificilmente será verdadeiro. 23

24 3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Determinação da escala do papel: exemplo para papel milimetrado Sejam os dados abaixo de uma experiência de dilatação volumétrica de uma esfera. Neste experimento medimos o volume da esfera para várias temperaturas, com os seguintes dados V( 10-9 m 3 ) 64,1 80,7 97,8 114,9 138,0 162,5 195,0 223,3 260,0 T( C) 60,00 65,00 70,00 75,00 80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 24

25 3. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Indicação dos valores nos eixos 25

26 1. Introdução Relembrando o Método Científico 2. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3. Generalidades sobre Construção de Gráficos 4. Construção de Gráficos Lineares 5. Linearização a partir dos Dados Experimentais 6. Construção de Gráficos na Escala Mono-log 7. Construção de Gráficos na Escala Di-log 8. Considerações Finais

27 4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS LINEARES Exemplo de gráfico linear Sejam os dados abaixo de uma experiência do movimento de um bloco que desce deslizando por um plano inclinado. Sabemos, portanto que o bloco executa um movimento retilíneo uniforme, logo o gráfico de v t deve ser linear. Neste experimento medimos a velocidade do bloco em função do tempo de deslocamento, com os seguintes dados v( 10-3 m/s) 105,0 150,0 240,0 290,0 340,0 430,0 500,0 t( 10-2 s) 1,00 2,50 6,00 8,00 10,00 13,50 16,00 27

28 4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS LINEARES Usando uma planilha de cálculo Usaremos aqui a planilha EXCEL, mas qualquer outra pode ser usada, desde que o estudante tenha familiaridade com ela. t (s) v (m/s) 0,0100 0,1050 0,0250 0,1500 0,0600 0,2400 0,0800 0,2900 0,1000 0,3400 0,1350 0,4300 0,1600 0,5000 No EXCEL na coluna da esquerda devem ser lançados os dados da variável independente e na coluna da direita os dados correspondentes da variável dependente. Os dados devem ser expressos com seus respectivos números de algarismos significativos. 28

29 4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS LINEARES Obtendo o gráfico e a equação da reta A partir dos dados experimentais apresentados, o gráfico finalizado é apresentado abaixo, inclusive com a equação que representa a reta. 0,6000 v (m/s) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado a = 2,598 m / s 2 0,4000 0,2000 v(t) = 2,598 t + 0,0820 v = 0, m / s 0,0000 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 t (s) 0,

30 1. Introdução Relembrando o Método Científico 2. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3. Generalidades sobre Construção de Gráficos 4. Construção de Gráficos Lineares 5. Linearização a partir dos Dados Experimentais 6. Construção de Gráficos na Escala Mono-log 7. Construção de Gráficos na Escala Di-log 8. Considerações Finais

31 5. LINEARIZAÇÃO A PARTIR DE DADOS EXPERIMENTAIS Exemplo de linearização a partir de dados experimentais Sejam os dados abaixo de uma experiência do movimento de um móvel que se move em movimento retilíneo por uma estrada. Não sabemos o tipo de movimento do móvel, e para que tenhamos uma ideia deste movimento devemos construir um gráfico da sua posição em função do tempo. Neste experimento obtivemos medidas da posição do móvel em função do tempo como mostrados na tabela abaixo. x(m) 58,0 84,0 105,0 150,0 188,0 240,0 t(s) 5,25 7,00 8,00 10,00 11,50 13,00 31

32 5. LINEARIZAÇÃO A PARTIR DE DADOS EXPERIMENTAIS Usando a planilha de cálculo Novamente usaremos aqui a planilha EXCEL, ressaltando mais uma vez que qualquer outra pode ser usada, desde que o estudante tenha familiaridade com ela. t (s) x (m) 5,25 58,0 7,00 84,0 8,00 105,0 10,00 150,0 11,50 188,0 13,00 240,0 No EXCEL na coluna da esquerda devem ser lançados os dados da variável independente e na coluna da direita os dados correspondentes da variável dependente. Os dados devem ser expressos com seus respectivos números de algarismos significativos. 32

33 4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS LINEARES Obtendo o gráfico não linearizado A partir dos dados experimentais apresentados, o gráfico de x t finalizado é apresentado abaixo. 300,0 x (m) 200,0 100,0 Móvel em um movimento retilíneo O gráfico ao lado aparenta ter a forma de uma parábola. Assim, podemos tentar linearizar esta curva fazendo o gráfico de x t 2. 0,0 0,00 5,00 10,00 t (s) 15,00 33

34 5. LINEARIZAÇÃO A PARTIR DE DADOS EXPERIMENTAIS Construindo uma nova tabela Construímos então uma outra tabela, agora com os dados de x e t 2. t (s 2 ) x (m) 27,6 58,0 49,0 84,0 64,0 105,0 100,0 150,0 132,3 188,0 169,0 240,0 No EXCEL na coluna da esquerda devem ser lançados os dados da variável independente e na coluna da direita os dados correspondentes da variável dependente. No cálculo de t 2 deve ser levado em conta o arredondamento seguindo as regras já estabelecidas. 34

35 5. LINEARIZAÇÃO A PARTIR DE DADOS EXPERIMENTAIS Obtendo o gráfico linearizado A partir dos dados experimentais apresentados, o gráfico de x t 2 finalizado é apresentado abaixo. 300,0 x (m) Movimento de um móvel em movimento retilíneo 200,0 100,0 x(t) = 1,277 t ,2 0,0 0,0 60,0 120,0 180,0 t 2 (s 2 ) 35

36 5. LINEARIZAÇÃO A PARTIR DE DADOS EXPERIMENTAIS Obtendo os parâmetros do movimento Como vemos, o gráfico de x t 2 é linear. Isto significa que o móvel executa um movimento uniformemente variável, com velocidade inicial nula. Logo, a equação que representa este movimento é escrita na forma x ( ) 2 t = x + a t Com a equação da reta obtida experimentalmente, temos então que a = 2,554 m / s 2 x 2 0 = 22, m 36

37 1. Introdução Relembrando o Método Científico 2. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3. Generalidades sobre Construção de Gráficos 4. Construção de Gráficos Lineares 5. Linearização a partir dos Dados Experimentais 6. Construção de Gráficos na Escala Mono-log 7. Construção de Gráficos na Escala Di-log 8. Considerações Finais

38 6. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA MONO-LOG Exemplo de gráfico mono-log Sejam os dados abaixo de uma experiência em que o vapor d água tem sua pressão medida em várias temperaturas, com os dados mostrados na tabela abaixo. Sabemos que o comportamento da pressão em função da temperatura é dado por Queremos determinar o valor da constante λ, sabendo que o valor da constante dos gases é R = 8,314 J/mol K. P(mm Hg) 2,149 4,579 14,532 50, , ,239 T(K) 263,2 273,1 293,2 313,1 333,1 353,2 P ( ) R T T = P e 0 λ 38

39 6. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA MONO-LOG Usando a planilha de cálculo Usaremos novamente aqui a planilha EXCEL, mas ressaltamos de novo que qualquer outra pode ser usada, desde que o estudante tenha familiaridade com ela. T (K) T -1 (K -1 ) P (mm Hg) 263,1 0, , ,1 0, , ,2 0, , ,1 0, , ,1 0, , ,2 0, ,239 Como sabemos o comportamento da pressão em função da temperatura, já apresentamos a tabela com o inverso da temperatura na coluna da esquerda e a pressão na coluna da direita. Os dados de T -1 são expressos seguindo os critérios de arredondamento previamente estabelecidos. 39

40 6. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA MONO-LOG Obtendo o gráfico linearizado em papel mono-log A partir dos dados experimentais apresentados, o gráfico de P T -1 finalizado na forma de papel mono-log é apresentado abaixo. P (mm Hg) 100 Pressão de Vapor d'água P(T) = 1E+09 e -5283/T 1 0,0025 0,003 0,0035 0,004 T -1 (K -1 ) 40

41 6. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA MONO-LOG Obtendo o gráfico linearizado em papel milimetrado A partir dos dados experimentais apresentados, o gráfico de P T -1 finalizado na forma de papel milimetrado, mas com a curva que representa o fenômeno, é apresentado abaixo. 400 P (mm Hg) Pressão de Vapor d'água P(T) = 1E+09 e -5283/T 0 0,0025 0,003 0,0035 0,004 T -1 (K -1 ) 41

42 6. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA MONO-LOG Cálculo do parâmetro λ Os dois gráficos fornecem a mesma função para P(T), o que não é estranho já que os dados experimentais são os mesmos. A partir da curva experimental para P(T) e com o valor da constante dos gases é R = 8,314 J/mol K, calculamos o valor do parâmetro λ. λ = 43,92 kj / mol 42

43 1. Introdução Relembrando o Método Científico 2. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3. Generalidades sobre Construção de Gráficos 4. Construção de Gráficos Lineares 5. Linearização a partir dos Dados Experimentais 6. Construção de Gráficos na Escala Mono-log 7. Construção de Gráficos na Escala Di-log 8. Considerações Finais

44 7. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA DI-LOG Exemplo de gráfico di-log Sejam os dados abaixo de uma experiência em que se mede a dependência da intensidade de uma onda eletromagnética com o módulo do campo elétrico. Sabemos que o comportamento desta intensidade com o campo elétrico é dado por I ( E) = A E n Neste experimento medimos a intensidade da onda eletromagnética em função do módulo do campo elétrico. I(W/m 2 ) E(V/m)

45 7. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA DI-LOG Usando a planilha de cálculo Mais uma vez usaremos aqui a planilha EXCEL, ressaltando que qualquer outra pode ser usada, desde que o estudante tenha familiaridade com ela. E (V/m) I (W/m 2 ) No EXCEL na coluna da esquerda devem ser lançados os dados da variável independente e na coluna da direita os dados correspondentes da variável dependente. Os dados devem ser expressos com seus respectivos números de algarismos significativos. 45

46 7. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA MONO-LOG Obtendo o gráfico linearizado em papel mono-log A partir dos dados experimentais apresentados, o gráfico de I E finalizado na forma de papel di-log é apresentado abaixo. Intensidade de uma Onda Eletromagnética I (W/m 2 ) 400 I(E) = 0,003 E 1, E (V/m) 46

47 7. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA MONO-LOG Obtendo o gráfico linearizado em papel milimetrado A partir dos dados experimentais apresentados, o gráfico de I E finalizado na forma de papel milimetrado, mas com a curva que representa o fenômeno, é apresentado abaixo. I (W/m 2 ) Intensidade de uma Onda Eletromagnética I(E) = 0,003 E 1, E (V/m) 47

48 7. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA MONO-LOG Cálculo dos parâmetros A e n Os dois gráficos fornecem a mesma função para I(E), o que não é estranho já que os dados experimentais são os mesmos. A partir da curva experimental para I(E) calculamos o valor do parâmetro n. 1,98 W m 0,003 2 m V n =1, 98 A = 48

49 1. Introdução Relembrando o Método Científico 2. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3. Generalidades sobre Construção de Gráficos 4. Construção de Gráficos Lineares 5. Linearização a partir dos Dados Experimentais 6. Construção de Gráficos na Escala Mono-log 7. Construção de Gráficos na Escala Di-log 8. Considerações Finais

50 Cálculo do parâmetro 8. CONSIDERAÇÕES FINAIS Os dois gráficos fornecem a mesma função para I(E), o que não é estranho já que os dados experimentais são os mesmos. A partir da curva experimental para I(E) calculamos o valor do parâmetro n. n =1,98 50