MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

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Augusto Felgueiras Marinho
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1 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO É um movimento em que a velocidade varia uniformemente no decorrer do tempo. Isto é, o móvel apresenta iguais variações de velocidade em intervalos de tempo iguais. No MUV a aceleração é constante e diferente de zero. Para demonstrar o movimento uniformemente variado (MUV) fomos ao laboratório para medir as posições de uma bolinha rolando sobre um plano inclinado, em função do tempo. Medimos o tempo que a mesma demorou para sair da posição inicial S o = cm e chegar até as posições 2cm, 4cm, 6cm e 8cm respectivamente. Veja abaixo uma tabela e o gráfico com os valores encontrados. (Obs: Aqui iremos transformar centímetros em metros, para trabalharmos no Sistema Internacional). Lembrese: 2 cm =,2 m S (m) t (s),2,5,4,71,6,87,8 1, Aqui podemos notar que o gráfico não deu uma reta, como no caso do movimento uniforme (MU). Neste caso ele se parece mais com uma parábola. Usando o conhecimento que temos de funções matemáticas, concluímos que a que melhor se ajusta ao gráfico encontrado seria a função do 2º grau. Uma função do 2º grau tem sempre a seguinte forma : Vamos então adaptá-la a nossa experiência. No nosso caso, y = S (O eixo vertical y representa as posições da bolinha nos diferentes instantes de tempo). x = t (O eixo horizontal x representa os instantes de tempo marcados no cronômetro) Fazendo então as devidas substituições na equação do 2º grau acima teremos: Poderíamos determinar agora os valores de a, b e c, somente usando os valores encontrados em nossa experiência. A constante c, por exemplo, pode ser determinada apenas olhando-se para o gráfico. Seu valor é o ponto onde a parábola cruza o eixo vertical. No gráfico acima verifique que c =. Mas ele pode assumir qualquer valor. Para encontrarmos a e b, poderíamos montar um sistema de equações substituindo na equação acima dois pontos da tabela encontrada em nossa experiência. Mas vamos simplificar... Agora veja qual o significado físico das constantes a, b e c. c = S o (c representa a posição inicial do movimento, ou seja, a posição onde o corpo estava no início do movimento, quando t = s) b = v o (b representa a velocidade inicial do corpo, ou seja, a velocidade que o corpo possuía no início do movimento, quando t = s) a = a/2 (a representa a metade do valor da aceleração do corpo, que é constante, ou seja, não varia). Veja então como fica a equação depois de efetuada estas mudanças. Esta equação servirá para representar todos os movimentos uniformemente variados. Seu nome é função horária do espaço no MUV Lembrete: Esta equação somente pode ser usada nos casos onde o movimento seja uniformemente variado, ou seja, nos movimentos onde a aceleração seja constante e diferente de zero. É fácil identificar este tipo de movimento, neles a velocidade muda sempre da mesma maneira. Logo:

2 Aceleração Equação Horária do Espaço Equação Horária da Velocidade 2 v v v a.t a am s s v.t t t t 2 v v a. t Equação de Torricelli Em muitos problemas de MUV não é dado o tempo de movimento, isto é, o movimento é expresso em função das outras grandezas. Os cálculos tornam-se mais fáceis com a utilização da Equação de Torricelli: v² = v² +2.a. s Velocidade Média no MUV v v No movimento uniformemente variado, a velocidade média num vm 2 intervalo de tempo t a t 1 é a média aritmética das velocidades nos extremos do intervalo. Exercícios 1) Partindo do repouso, um avião percorre a pista com aceleração constante, e atinge a velocidade de 36 km/h, em 25 segundos. Qual o valor da aceleração, em m/s 2? 2) É dada a seguinte função horária da velocidade escalar de uma partícula em movimento uniformemente variado: v = t (SI) a) a velocidade inicial e a aceleração escalar da partícula; b) a velocidade escalar no instante 4 s; c) o instante em que a velocidade escalar vale 215 m/s. 3) Uma partícula com velocidade inicial de 2 m/s move-se com aceleração escalar constante igual a - 2 m/s 2. a) Escreva a função horária de sua velocidade escalar. b) Determine o instante em que sua velocidade escalar anula-se. 4) Um objeto é lançado na base de uma ladeira com velocidade inicial de 2 m/s. Ele sobe até um certo ponto e então inicia o movimento de descida. Sabendo que ele levou 4 segundos para atingir a parte mais alta do movimento e supondo sua aceleração constante durante todo o movimento, determine: a) sua aceleração; b) sua equação horária da velocidade; c) a classificação do movimento.

3 5) Um carro viajando em uma estrada retilínea e plana com uma velocidade constante V=72km/h passa por outro que está em repouso no instante t = s. O segundo carro acelera para alcançar o primeiro com aceleração a=2,m/s 2. Determine o tempo que o segundo carro leva para atingir a mesma velocidade do primeiro. 6) Um trem de 1m de comprimento, com velocidade de 3m/s, começa a frear com aceleração constante de módulo 2m/s 2, no instante em que inicia a ultrapassagem de um túnel. Esse trem pára no momento em que seu último vagão está saindo do túnel. O comprimento do túnel é: a) 25 m b) 5 m c) 75 m d) 1m e) 125 m 7) Um caminhão, a 72 km/h, percorre 5m até parar, mantendo a aceleração constante. O tempo de frenagem, em segundos, é igual a a) 1,4 b) 2,5 c) 3,6 d) 5, e) 1, 8) Um automóvel parte do repouso no instante t= e acelera uniformemente com 5,m/s, durante 1s. A velocidade escalar média do automóvel entre os instantes t=6,s e t=1s, em m/s, foi de a) 4 b) 35 c) 3 d) 25 e) 2 9) Um objeto A encontra-se parado quando por ele passa um objeto B com velocidade constante de módulo igual a 8,m/s. No instante da ultrapassagem imprime-se ao objeto A uma aceleração, de módulo igual a,2m/s 2, na mesma direção e sentido da velocidade de B. Qual a velocidade de A quando ele alcançar o objeto B? a) 4, m/s b) 8, m/s c) 16, m/s d) 32, m/s e) 64, m/s 1. Um trem em movimento está a 15m/s quando o maquinista freia, parando o trem em 1s. Admitindo aceleração constante, pode-se concluir que os módulos da aceleração e do deslocamento do trem neste intervalo de tempo valem, em unidades do Sistema Internacional, respectivamente, a),66 e 75 b),66 e 15 c) 1, e 15 d) 1,5 e15 e) 1,5 e 75 11) uma motocicleta possui velocidade de 18 km/h quando o piloto aciona os freios imprimindo uma aceleração de módulo 5m/s 2. Determine a distância percorrida pela motocicleta até parar: (dica: converta as unidades). 12) Considere o gráfico v = f(t) de um móvel que realiza um movimento retilíneo. No instante t =, o móvel se encontrava na posição x =.

4 a) a função horária da velocidade; b) a função horária da posição; c) a posição do móvel no instante 6 s. 13) (Ufsm 27) Ao preparar um corredor para uma prova rápida, o treinador observa que o desempenho dele pode ser descrito, de forma aproximada, pelo seguinte gráfico: A velocidade média desse corredor, em m/s, é de a) 8,5 b) 1, c) 12,5 d) 15, e) 17,5 14 Calcule a aceleração do movimento em cada um destes gráficos: a) a =... b) a =... c) a =... d) a =... 15) Determine a função horária da velocidade escalar a partir do diagrama v x t dado: V (m/s) t (s)

5 16) Um ponto material obedece a função horária: s = t + 5. t2 (m, s), t a) o instante em que passa pela origem; b) a função horária da velocidade escalar; c) o instante em que muda de sentido. 17) Um móvel obedece à função horária: s = t + 2. t 2 (cm, s) t a) o instante em que passa pela origem dos espaços; b) a função horária da velocidade escalar; c) o instante em que o móvel muda de sentido. 18) Escreva V ou F em cada sentença, conforme seja verdadeira ou falsa em relação ao gráfico abaixo, no qual a posição inicial é 2 m: V (m/s) B A C D F E t (s) a) ( ) O movimento foi uniforme nos trechos B e E. b) ( ) O movimento foi uniformemente variado nos trechos A, C, D e F. c) ( ) A velocidade foi negativa nos trechos C e D. d) ( ) A aceleração foi positiva nos trechos A e F. e) ( ) O movimento foi acelerado nos trechos A e D. f) ( ) A aceleração no trecho C foi de 1 m/s 2. g) ( ) O caminho percorrido nos 2 s iniciais vale 2 m. h) ( ) A expressão da velocidade no trecho A é V = t. i) ( ) A expressão da posição no trecho A é S = t + 5 t 2.

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